Reti anticipatrici

La rete anticipatrice (lead networkrete di compensazione che anticipa la fase) è il controllore che, nella sintesi per tentativi (Problema di regolazione e sintesi per tentativiProblema di regolazione: data $G$ propria, senza poli in $\mathrm{Re}>0$, con $G(0)\ne0$ (cioè $G=\frac{K_B(G)}{s^r}G_1$, $G_1(0)=1$), progettare $C$ propria tale che $W=\frac{CG}{1+CG}$ sia BIBO stabile, di tipo $k$ con $|e_{rp}^{(k+1)}|\le e^$, con $\omega_A\simeq\omega_A^$ e $m_\varphi\ge m_\varphi^$. Sintesi per tentativi: Passo 1 $C'=\frac{K_B(C')}{s^\alpha}$ ($\alpha=\max(k-r,0)$, $|K_B(C')|$ minimo che soddisfa l'errore, segno di $K_B(G)$); Passo 2 $C''$ con $K_B(C'')=1$ che porta $\omega_A$ e $m_\varphi$ ai valori voluti in quattro casi ($\omega_A\gtrless\omega_A^$, $m_\varphi(\omega_A^)\gtrless m_\varphi^$): guadagno, rete anticipatrice, attenuatrice, a sella. Il criterio di Bode garantisce la stabilità.Problema di regolazione e sintesi per tentativi →), serve quando $\omega_A<\omega_A^*$ e la fase in $\omega_A^*$ è insufficiente (caso ②): bisogna alzare il modulo di $M$ dB e aumentare la fase di almeno $\Phi$ gradi in $\omega_A^*$.

Definizione e diagramma di Bode

$$\boxed{C_{ant}(s)=\frac{1+\frac sz}{1+\frac sp}=\frac{1+sT}{1+\alpha Ts},\qquad0<z<p,\quad T=\tfrac1z,\ \alpha=\tfrac zp\in(0,1).}$$ Ha $K_B(C_{ant})=1$: non modifica tipo né errore a regime. È un zero stabilezero a parte reale negativa in $z$ seguito, più a destra, da un polo stabile in $p$. Diagramma di Bode:

• Modulo: $0$ dB per $\omega<z$, poi cresce a $+20$ dB/dec tra $z$ e $p$, poi resta costante a $20\log\frac pz=20\log\frac1\alpha$ dB per $\omega>p$.
• Fase: parte da $0^\circ$, sale a $+90^\circ$ (per effetto dello zero), poi il polo la riporta a $0^\circ$: una "gobba" positiva tra $z$ e $p$ (da qui il nome: la rete "anticipa" la fase).

Il massimo di fase è $$\varphi_{max}=\arcsin\frac{1-\alpha}{1+\alpha}=\arcsin\frac{p-z}{p+z},\qquad\text{in }\omega_{max}=\frac1{T\sqrt\alpha}=\sqrt{zp},$$ dove il modulo vale $10\log\frac1\alpha$ dB (metà del guadagno totale in dB). Per $\alpha=0{,}1$ ($p=10z$): $\varphi_{max}=54{,}9^\circ$ in $\omega_{max}=\sqrt{10}\,z$, con $+10$ dB. Una rete a un solo zero+polo non può dare più di $90^\circ$; con $\alpha\to0$ ($p\gg z$) $\varphi_{max}\to90^\circ$.

Il progetto

Siano calcolati $M$ (dB da guadagnare in $\omega_A^*$) e $\Phi$ (gradi di fase da guadagnare), con $M>0$ perché $\omega_A<\omega_A^*$.

Caso $\Phi\in[0^\circ,90^\circ)$: una rete con uno zero. Si colloca lo zero in $z$ in modo che in $\omega_A^*$ il modulo dello zero valga esattamente $M$: $\sqrt{1+(\omega_A^*/z)^2}=10^{M/20}$, cioè $$z=\frac{\omega_A^*}{\sqrt{10^{M/10}-1}}\ \approx\ \omega_A^*\cdot10^{-M/20}\quad(M\gtrsim15\ \text{dB}).$$ (Quindi lo zero sta a $\frac M{20}$ decadi prima di $\omega_A^*$: $20$ dB $\to$ una decade, $40$ dB $\to$ due.) La fase che lo zero aggiunge in $\omega_A^*$ è $\arctan\frac{\omega_A^*}z=\arccos10^{-M/20}$: $84{,}3^\circ$ per $M=20$ dB, $89{,}4^\circ$ per $40$ dB, ma solo $60^\circ$ per $6$ dB e $45^\circ$ per $3$ dB. Se questa fase non basta ($\Phi$ più grande di $\arccos10^{-M/20}$) con un solo zero non si può soddisfare $\Phi$ senza sovrastimare il modulo: serve una rete a sella (caso ④) oppure due zeri.

Il polo $p$ rende la rete propria: va messo dopo $\omega_A^*$ di almeno una decade (costa $\arctan\frac{\omega_A^*}p\le5{,}7^\circ$, ma modifica il modulo di $\le0{,}04$ dB), meglio due ($0{,}6^\circ$). Si può usare un polo ancora più lontano, a patto che non esca dalla banda di validità del modello.

Caso $\Phi\in[90^\circ,180^\circ)$: due zeri. Uno zero non basta ($<90^\circ$). Si mettono due zeri (anche coincidenti), ciascuno a $\frac M{40}$ decadi prima di $\omega_A^*$ (ciascuno porta $\frac M2$ dB e quasi $90^\circ$), e due poli molto dopo $\omega_A^*$: $$C''(s)=\frac{\big(1+\frac s{z}\big)^2}{\big(1+\frac s{p}\big)^2}\quad\text{con }z=\omega_A^*\,10^{-M/40},\ p\ge10\,\omega_A^*.$$ Se la richiesta è un controllore non necessariamente proprio (come per i PID) i poli si omettono.

Condizione per la stabilità finale: zeri e poli stabili ($z,p>0$), $C''$ con $K_B=1$ e il controllo del margine alla fine (Pulsazione di attraversamento, margine di fase e criterio di BodeLa pulsazione di attraversamento $\omega_A$ è la $\omega>0$ in cui $|G(j\omega)|=1$ (0 dB); il margine di fase è $m_\varphi=180^\circ+\arg G(j\omega_A)$: quanta fase si può ancora perdere prima di arrivare a $-180^\circ$. Criterio di Bode: se $G$ è strettamente propria, ha guadagno di Bode $K_B>0$, nessun polo con $\mathrm{Re}>0$ e $\omega_A$ è ben definita (esiste ed è unica), allora $W=\frac G{1+G}$ è BIBO stabile $\iff m_\varphi>0$. Più $m_\varphi$ è grande, più il sistema è lontano dall'instabilità e meno oscilla.Pulsazione di attraversamento, margine di fase e criterio di Bode →).

Esempio 1: uno zero

Il caso ② già visto (Problema di regolazione e sintesi per tentativiProblema di regolazione: data $G$ propria, senza poli in $\mathrm{Re}>0$, con $G(0)\ne0$ (cioè $G=\frac{K_B(G)}{s^r}G_1$, $G_1(0)=1$), progettare $C$ propria tale che $W=\frac{CG}{1+CG}$ sia BIBO stabile, di tipo $k$ con $|e_{rp}^{(k+1)}|\le e^$, con $\omega_A\simeq\omega_A^$ e $m_\varphi\ge m_\varphi^$. Sintesi per tentativi: Passo 1 $C'=\frac{K_B(C')}{s^\alpha}$ ($\alpha=\max(k-r,0)$, $|K_B(C')|$ minimo che soddisfa l'errore, segno di $K_B(G)$); Passo 2 $C''$ con $K_B(C'')=1$ che porta $\omega_A$ e $m_\varphi$ ai valori voluti in quattro casi ($\omega_A\gtrless\omega_A^$, $m_\varphi(\omega_A^)\gtrless m_\varphi^$): guadagno, rete anticipatrice, attenuatrice, a sella. Il criterio di Bode garantisce la stabilità.Problema di regolazione e sintesi per tentativi →): $C'G=\frac{10}{(1+s)(1+s/10)}$, $\omega_A^*=100$ rad/s, $m_\varphi^*=90^\circ$: $M=40{,}04$ dB, $\Phi=83{,}7^\circ<90^\circ$. Zero a $\frac{100}{\sqrt{10^{4{,}004}-1}}\approx1{,}0$ rad/s, polo in $10^4$: $$C''=\frac{1+s}{1+s/10^4}\ \Longrightarrow\ C'C''G=\frac{10}{(1+\frac s{10})(1+\frac s{10^4})},\ \ \omega_A=99{,}5,\ \ m_\varphi=95{,}2^\circ.$$ Il polo di $G$ in $1$ viene "compensato" dallo zero: la cancellazione è lecita perché il polo è stabile (cancellazione non incrociata tra elementi instabili: Schemi di controllo in retroazione e funzioni di trasferimentoNello schema in retroazione unitaria negativa (controllore $C$, processo $G$) la FdT in catena aperta è $\tilde G=CG$ e quella in catena chiusa $W=\frac{\tilde G}{1+\tilde G}$; l'errore è $E=\frac{R}{1+\tilde G}=(1-W)R$. Zeri di $W$ = zeri di $\tilde G$, poli di $W$ = zeri di $1+\tilde G$. La BIBO stabilità di $W$ è un'altra cosa dalla stabilità di $G$: la retroazione sposta i poli. Le cancellazioni di fattori instabili tra $C$ e $G$ sono proibite.Schemi di controllo in retroazione e funzioni di trasferimento →).

Esempio 2: due zeri

$C'G=\dfrac{100}{s(1+s)(1+\frac s{10})}$, $\omega_A^*=100$, $m_\varphi^*=90^\circ$. In $\omega=100$: modulo $-60{,}04$ dB e fase $-90^\circ-89{,}43^\circ-84{,}29^\circ=-263{,}7^\circ$, quindi $m_\varphi(\omega_A^*)=-83{,}7^\circ$: $M=60$ dB, $\Phi=90-(-83{,}7)=173{,}7^\circ>90^\circ$: due zeri, ciascuno a $\frac{60}{40}=1{,}5$ decadi prima di $100$, cioè in $z=\frac{100}{10^{1{,}5}}=3{,}16$ rad/s, e due poli in $10^4$: $$C''(s)=\frac{\big(1+\frac s{3{,}16}\big)^2}{\big(1+\frac s{10^4}\big)^2}.$$ Verifica: $C'C''G$ ha $\omega_A=99{,}6$ rad/s e fase $-88{,}5^\circ$, cioè $m_\varphi=91{,}5^\circ\ge90^\circ$ ✓. Senza i due zeri il sistema in anello chiuso sarebbe instabile ($m_\varphi=-83{,}7^\circ$).

Errori comuni

• Mettere lo zero dopo $\omega_A^*$: il modulo non sale e la fase aggiunta è piccola.
• Dimenticare il polo (rete non propria) o metterlo troppo vicino a $\omega_A^*$ (toglie fase e modulo in $\omega_A^*$).
• Credere che un solo zero basti per $\Phi\ge90^\circ$: serve un secondo zero.
• Calcolare la posizione dello zero senza controllare che dia esattamente $M$ dB: uno zero più vicino darebbe troppo modulo e sposterebbe $\omega_A$ oltre $\omega_A^*$.
• Cambiare $K_B$: la rete ha $K_B=1$; un fattore diverso viola la specifica sull'errore.