Reiezione dei disturbi e inseguimento di segnali sinusoidali

Nelle applicazioni il sistema in retroazione deve anche reiettare i disturbi (variazioni esterne che spostano l'uscita: un carico, una raffica di vento) e inseguire riferimenti più complicati di un gradino. Entrambi i problemi si risolvono ragionando sui poli della catena aperta.

Reiezione di un disturbo costante

Ipotesi: $G$ propria con $G(0)\ne0$ e senza poli instabili (a meno di un polo nell'origine), $C$ propria tale che $W=\frac{CG}{1+CG}$ sia BIBO stabile, condizioni iniziali nulle (pura evoluzione forzata). Si studia un disturbo a gradino $d(t)=d_0\delta_{-1}(t)$, e si dice che è reiettato se la componente dell'uscita dovuta al solo disturbo tende a zero: $\lim_{t\to\infty}y_d(t)=0$. Per la sovrapposizione $y=y_r+y_d$ con $y_r$ dovuta al riferimento.

Disturbo all'ingresso del processo

Lo schema ha $d$ che si somma all'uscita del controllore: $$Y=G\,(D+C\,E),\quad E=R-Y\ \Longrightarrow\ Y=\underbrace{\frac{CG}{1+CG}}_{W}R+\underbrace{\frac{G}{1+CG}}_{W_d}D.$$ Poiché $W$ è BIBO stabile, anche $W_d=\frac{G}{1+CG}$ lo è (stessi poli), e per il valore finale (Laplace per i modelli I-O - fratti semplici e risposta del sistemaPer calcolare l'uscita di un modello I/O con Laplace si scrive $Y(s)=\frac{b(s)U(s)+c(s)}{a(s)}$ (forzata + libera), si decompone in fratti semplici e si antitrasforma con la tabella dei modi: $\frac1{(s-\lambda)^{k+1}}\leftrightarrow\frac{t^k}{k!}e^{\lambda t}$, coppie complesse $\to e^{\sigma t}\cos/\sin\omega t$. I poli di $Y$ determinano i modi dell'uscita; il teorema del valore finale dà il limite a regime se $sY(s)$ ha poli solo in $\mathrm{Re}<0$.Laplace per i modelli I-O - fratti semplici e risposta del sistema →) $$y_d(\infty)=\lim_{s\to0}s\,\frac{W_d(s)\,d_0}s=W_d(0)\,d_0.$$ Con $G=\frac{n_G}{d_G}$ e $C=\frac{n_C}{d_C}$: $W_d=\frac{n_Gd_C}{d_Gd_C+n_Gn_C}$, quindi $W_d(0)=0\iff n_G(0)\,d_C(0)=0\iff d_C(0)=0$ (perché $G(0)\ne0$ significa $n_G(0)\ne0$). Cioè:

Un disturbo costante all'ingresso del processo è reiettato se e solo se $C(s)$ ha un polo nell'origine (un integratore nel controllore).

Se invece $C(0)$ è finito: $y_d(\infty)=\frac{G(0)}{1+C(0)G(0)}d_0\ne0$: l'effetto residuo si riduce alzando il guadagno del controllore, ma non si annulla.

Disturbo all'uscita

Con $d$ che si somma all'uscita ($y=y_{processo}+d$): $$Y=\frac{CG}{1+CG}R+\frac1{1+CG}D,\qquad y_d(\infty)=\frac1{1+\tilde G(0)}\,d_0,\quad\tilde G=CG.$$ È nullo se e solo se $\tilde G(0)=\infty$: $CG$ ha un polo nell'origine (tipo $\ge1$). Qui basta che l'integratore sia da qualche parte nell'anello: nel controllore o nel processo.

Contrasto. Con $G=\frac1s$ (un integratore nel processo, come un carrello a velocità controllata) e $C=K$ costante:

• disturbo all'ingresso: $W_d=\frac G{1+KG}=\frac1{s+K}$, $W_d(0)=\frac1K\ne0$: non reiettato (l'integratore sta dopo il punto in cui entra il disturbo);
• disturbo all'uscita: $\frac1{1+K/s}=\frac s{s+K}$, valore in $0$ nullo: reiettato.

Regola: un disturbo costante è reiettato quando c'è un integratore tra il punto in cui si calcola l'errore e il punto in cui il disturbo entra nel ramo diretto (percorso dall'errore verso l'uscita): quell'integratore costringe l'errore a zero a regime e quindi annulla anche l'effetto del disturbo. Un integratore che sta dopo il punto di ingresso del disturbo non basta.

Esempio numerico. $G=\frac1{s+1}$, disturbo all'ingresso: con $C=4$ (solo proporzionale) $W_d=\frac1{s+5}$, $W_d(0)=\frac15$: l'uscita si sposta di $\frac{d_0}5$ a regime; con un integratore, $C=\frac4s$: $W_d=\frac s{s^2+s+4}$, $W_d(0)=0$ ✓ (verificato col calcolo simbolico).

Inseguimento di un riferimento sinusoidale

Problema. Con $W$ BIBO stabile e condizioni iniziali nulle, per quali condizioni il sistema segue con errore nullo a regime un riferimento $r(t)=A\cos(\omega_0t+\varphi)\delta_{-1}(t)$, $\omega_0>0$ ($\lim_{t\to\infty}e(t)=0$)?

Risultato. Si definisce la catena aperta $\tilde G=CG$ con rappresentazione irriducibile $\tilde G=\frac{\tilde n}{\tilde d}$. L'errore ha trasformata $$E=R-WR=(1-W)R=\frac1{1+\tilde G}R=\frac{\tilde d}{\tilde d+\tilde n}\,R,\qquad R(s)=\frac{Bs+C_0}{s^2+\omega_0^2}\ \ (B,C_0\in\mathbb R\ \text{dipendenti da }A,\varphi).$$ Poiché $W$ è BIBO stabile, $\tilde d+\tilde n$ è di Hurwitz (poli di $W$) e il fattore $\frac{\tilde d}{\tilde d+\tilde n}=1-W$ è BIBO stabile. Allora $E(s)$ si scompone in: un termine che ha per poli quelli di $1-W$ (stabili, a $\mathrm{Re}<0$: decadono) più un termine $\frac{Ds+F}{s^2+\omega_0^2}$ proveniente dai poli $\pm j\omega_0$ del riferimento, a meno che questi poli siano cancellati dal numeratore $\tilde d$. Il secondo termine ha antitrasformata $D\cos\omega_0t+\frac F{\omega_0}\sin\omega_0t$, che non tende a zero se $D,F$ non sono entrambi nulli. Quindi $$e(t)\to0\iff\pm j\omega_0\ \text{non sono poli di }E\iff\tilde d(s)\ \text{è multiplo di }s^2+\omega_0^2.$$

Principio del modello internoper inseguire o reiettare un segnale, l'anello deve contenere un modello del suo generatore. Il sistema retroazionato ($W$ BIBO stabile) insegue con errore nullo $A\cos(\omega_0t+\varphi)\delta_{-1}$ se e solo se $\tilde G=CG$ ha una coppia di poli immaginari coniugati $\pm j\omega_0$: cioè il generatore del segnale di riferimento è "contenuto" nell'anello.

(Come per il gradino: il tipo $\ge1$ equivale al polo nell'origine di $\tilde G$, che è il "modello" del gradino $\frac1s$.) Analogamente, per un riferimento esponenziale $Ae^{\alpha t}\delta_{-1}$ con $\alpha>0$ servirebbe un polo di $\tilde G$ in $\alpha$; per un disturbo sinusoidale all'uscita servono poli $\pm j\omega_0$ in $\tilde G$.

Come si ottiene con il controllore. Si inserisce nel controllore il fattore $\frac1{s^2+\omega_0^2}$ (o $\frac{1}{1+s^2/\omega_0^2}$): $C=\frac{N_C(s)}{s^2+\omega_0^2}$. Il numeratore $N_C$ serve a stabilizzare e a dare il margine di fase. In un problema di sintesi con $\omega_A^*$ e $m_\varphi^*$ si tiene conto che, ai fini del calcolo della fase, due poli immaginari $\pm j\omega_0$ danno $-180^\circ$ per $\omega>\omega_0$ (e due zeri immaginari $+180^\circ$), come nel tracciamento dei diagrammi di Bode (Forma di Bode e diagrammi di Bode dei termini elementariLa forma di Bode scrive $W(s)=\frac{K_B}{s^h}\frac{\prod(1+T_i's)\prod(1+2\xi_i'\frac s{\omega_{ni}'}+\frac{s^2}{\omega_{ni}'^2})}{\prod(1+T_is)\prod(1+2\xi_i\frac s{\omega_{ni}}+\frac{s^2}{\omega_{ni}^2})}$ con $K_B=\lim_{s\to0}s^hW(s)$. Il diagramma di Bode (modulo in dB e fase, su asse $\omega$ logaritmico) si ottiene sommando i contributi dei termini elementari: costante, $s^{\mp1}$ ($\mp20$ dB/dec, $\mp90^\circ$), binomio ($\pm20$ dB/dec dopo $1/|T|$, fase $\pm90^\circ$, opposta se instabile), trinomio ($\pm40$ dB/dec dopo $\omega_n$, fase $\pm180^\circ$, picco $20\log2\xi$).Forma di Bode e diagrammi di Bode dei termini elementari →); un salto che va compensato da zeri a fase positiva (Esercizio 24 · inseguimento di una sinusoide con controllore a poli immaginari (tema d'esame febbraio 2022)).

Esempio (verificato). $G=\frac1{s+10}$ e $C=\frac{100(s+1)}{s^2+1}$ (poli di $C$ in $\pm j$, $\omega_0=1$). La catena aperta $\tilde G=\frac{100(s+1)}{(s^2+1)(s+10)}$ ha i poli $\pm j$ e l'equazione caratteristica $s^3+10s^2+101s+110=0$ ha radici $-1{,}22$ e $-4{,}39\pm8{,}43j$: $W$ è BIBO stabile. Per $r=\sin t$ l'errore $E=\frac{1}{1+\tilde G}R=\frac{(s^2+1)(s+10)}{s^3+10s^2+101s+110}\cdot\frac1{s^2+1}$ non ha poli in $\pm j$ (si cancellano) e quindi $e(t)\to0$ (la simulazione dà $|e|<10^{-7}$ dopo $60$ s, dopo un massimo di $0{,}12$ nel transitorio).

Errori comuni

• Dire che un integratore nel processo reietta un disturbo costante all'ingresso del processo: serve nel controllore (prima del punto di ingresso).
• Dimenticare di richiedere la stabilità BIBO di $W$: senza di essa i limiti non esistono.
• Mettere i poli $\pm j\omega_0$ nel controllore e non verificare la stabilità: il sistema retroazionato può diventare instabile (servono zeri che compensino il $-180^\circ$).
• Confondere la richiesta "inseguire $\sin\omega_0t$" con "tipo 2": si tratta di poli $\pm j\omega_0$, non di integratori.
• Usare i poli immaginari con $\omega_0$ diverso da quello del riferimento: il disturbo/segnale non è eliminato.