Esercizio 16luogo delle radici con parametro incognito da un punto doppio (tema d'esame giugno 2023)

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Teoria usata: Luogo delle radici - punti doppi e intersezioni con l'asse immaginarioI punti doppi (multipli) del luogo sono i valori $s$ per cui $d+Kn$ ha una radice multipla: soddisfano $d'(s)n(s)-d(s)n'(s)=0$ con $K=-\frac{d}{n}$. Dall'equazione si tolgono le radici che sono poli o zeri multipli di $G$ (corrispondono a $K=0$ o $\infty$); una soluzione è punto doppio del luogo positivo (negativo) solo se $K(s)$ è reale positivo (negativo). Le intersezioni con l'asse immaginario si trovano da $d(j\omega)+Kn(j\omega)=0$ (due equazioni reali in $\omega,K$) o con la tabella di Routh in $K$ (riga nulla).Luogo delle radici - punti doppi e intersezioni con l'asse immaginario →, Luogo delle radici - definizione e regole di tracciamentoPer $G=\frac{n(s)}{d(s)}$ (monici, coprimi, $n=\deg d\ge m=\deg n$) e $W_K=\frac{KG}{1+KG}$, il luogo positivo è l'insieme dei $s$ con $d(s)+Kn(s)=0$ per qualche $K>0$ (i poli di $W_K$ al variare di $K$). Regole: $n$ rami simmetrici rispetto all'asse reale, partono dai poli ($K=0$) e finiscono negli $m$ zeri o negli $n-m$ asintoti; un punto reale è nel luogo positivo se alla sua destra ci sono un numero dispari di poli+zeri reali (con molteplicità); asintoti con direzioni $\frac{(2i+1)\pi}{n-m}$ e centro $x_B=\frac{\sum p_i-\sum z_i}{n-m}$; il guadagno in un punto è $K=-\frac{d(s)}{n(s)}$.Luogo delle radici - definizione e regole di tracciamento →, Luogo negativo delle radiciIl luogo negativo $\mathcal L_-$ ($K<0$) ha la condizione di fase con multipli pari di $\pi$: un punto reale è nel luogo negativo se alla sua destra ci sono un numero pari di poli+zeri reali; gli asintoti hanno direzioni $\frac{2i\pi}{n-m}$ ($i=0,\dots,n-m-1$) e lo stesso centro; punti doppi e intersezioni con l'asse immaginario si trovano con le stesse equazioni, accettando $K<0$. Ogni punto reale (non polo/zero) appartiene esattamente a uno dei due luoghi.Luogo negativo delle radici →, Luogo delle radici - stabilità BIBO al variare di KPer studiare la stabilità BIBO di $W_K=\frac{KG}{1+KG}$ al variare di $K\in\mathbb R\setminus{0}$ si tracciano luogo positivo e negativo (rami, asse reale, asintoti, punti doppi con il segno di $K$, intersezioni con l'asse immaginario con il loro $K$) e si segue come i rami si muovono rispetto all'asse immaginario: il numero di poli in $\mathrm{Re}>0$ cambia solo agli attraversamenti. $W_K$ è BIBO stabile per i soli $K$ con tutti i rami in $\mathrm{Re}<0$; ai $K$ critici (attraversamento) ci sono poli immaginari. La tabella di Routh su $d+Kn$ dà gli stessi risultati.Luogo delle radici - stabilità BIBO al variare di K →, Criterio di Routh-HurwitzIl criterio di Routh stabilisce se un polinomio $P(s)=p_ns^n+\dots+p_0$ è di Hurwitz senza calcolarne le radici. Si costruisce la tabella (righe $n,n-1,\dots,0$) con $\text{nuovo}=\frac{\text{pivot}\cdot a-\text{prec.}\cdot b}{\text{pivot}}$; se la tabella va a compimento, il numero di variazioni di segno nella prima colonna è il numero di radici con $\mathrm{Re}>0$, le permanenze il numero con $\mathrm{Re}<0$. Elemento nullo in prima colonna: $P$ non è Hurwitz; riga nulla: radici simmetriche (spesso immaginarie) date dal polinomio ausiliario. Con parametro $K$ nei coefficienti dà gli intervalli di stabilità.Criterio di Routh-Hurwitz →.

1. Determinazione di $a$

Con $n(s)=(s+1)^2$ e $d(s)=s^2(s+a)=s^3+as^2$, si ha $d'(s)=3s^2+2as$ e $n'(s)=2(s+1)$: $$d'n-dn'=s(3s+2a)(s+1)^2-s^2(s+a)\cdot2(s+1)=s(s+1)\big[(3s+2a)(s+1)-2s(s+a)\big]=s(s+1)\big(s^2+3s+2a\big).$$ L'equazione dei candidati punti doppi è dunque $s\,(s+1)\,(s^2+3s+2a)=0$. Le radici $s=0$ (polo doppio, $K=0$) e $s=-1$ (zero doppio, $K=\infty$) non sono punti doppi. Imponendo che $s=1$ sia una soluzione di $s^2+3s+2a=0$: $1+3+2a=0\Rightarrow\boxed{a=-2}$. La seconda soluzione è $s=-3-1=-4$ (somma delle radici $-3$). Quindi $$G(s)=\frac{(s+1)^2}{s^2(s-2)}.$$ Valori di $K=-\frac dn$ nei due punti: $K(1)=-\frac{1\cdot(1-2)}{4}=\frac14$ e $K(-4)=-\frac{16\cdot(-6)}{9}=\frac{32}3$. Entrambi positivi: due punti doppi del luogo positivo.

2. Asse reale e asintoti

$n=3$, $m=2$ (poli $0$ doppio, $2$; zero $-1$ doppio), quindi $n-m=1$: un solo asintoto, l'asse reale; direzione $\pi$ nel luogo positivo e $0$ nel negativo (il centro è irrilevante).

Poli e zeri reali a destra: $\alpha>2$: $0$ (pari); $\alpha\in(0,2)$: $1$ (dispari); $\alpha\in(-1,0)$: i poli in $0$ e in $2$: $3$ (dispari); $\alpha<-1$: $5$ (dispari). Il luogo positivo contiene la semiretta $(-\infty,2)$; il luogo negativo la semiretta $(2,+\infty)$.

3. Intersezioni con l'asse immaginario

$d+Kn=s^3+(K-2)s^2+2Ks+K$. In $s=j\omega$: $-j\omega^3-(K-2)\omega^2+2jK\omega+K=0$: $$\begin{cases}K-(K-2)\omega^2=0,\\ \omega\,(2K-\omega^2)=0.\end{cases}$$ La seconda dà $\omega=0$ (nella prima $K=0$: partenza dai poli in $0$) oppure $\omega^2=2K$. Sostituendo nella prima: $K-(K-2)\cdot2K=K(1-2K+4)=K(5-2K)=0\Rightarrow K=\frac52$, $\omega^2=5$. Il luogo positivo attraversa l'asse immaginario in $\pm j\sqrt5$ per $K=\frac52$; il luogo negativo (con $K<0$) non lo attraversa.

4. I due luoghi

Luogo positivo. Dal polo doppio $0$ parte un ramo verso sinistra (lungo $(-1,0)$) che raggiunge lo zero $-1$ e uno verso destra (lungo $(0,2)$) che incontra il ramo che parte dal polo $2$ e va verso sinistra: i due si incontrano nel punto doppio $s=1$ ($K=\frac14$) e lasciano l'asse reale in direzione verticale. Descrivono un arco, attraversano l'asse immaginario in $\pm j\sqrt5$ ($K=\frac52$) e rientrano nell'asse reale nel punto doppio $s=-4$ ($K=\frac{32}3$): lì uno si dirige verso l'altro zero in $-1$ e l'altro va a $-\infty$ (asintoto di direzione $\pi$).

Luogo negativo. Contenuto nell'asse reale $(2,+\infty)$: il ramo che parte dal polo $2$ va a $+\infty$. I due rami che partono dal polo doppio $0$ non hanno tratti reali (attorno a $0$ l'asse reale appartiene al luogo positivo): escono dall'asse come coppia complessa coniugata e raggiungono lo zero doppio $-1$ dal piano complesso (per $K=-1$ i poli sono $3{,}63$ e $-0{,}31\pm0{,}42j$).

5. Stabilità BIBO e numero di poli instabili

Risposta. $W$ è BIBO stabile se e solo se $K>\frac52$. Per $K<0$ ha un polo instabile (reale positivo) e due poli stabili; per $0<K<\frac52$ ne ha due: reali per $0<K\le\frac14$ e complessi coniugati per $\frac14<K<\frac52$. Per $K=\frac52$ ha due poli immaginari coniugati e uno reale negativo. Controllo numerico: $K=0{,}2$: $1{,}42,\ 0{,}61,\ -0{,}23$; $K=0{,}3$: $0{,}98\pm0{,}40j,\ -0{,}27$; $K=2$: $0{,}24\pm2{,}04j,\ -0{,}47$; $K=2{,}5$: $\pm2{,}236j,\ -0{,}5$; $K=3$: $-0{,}24\pm2{,}39j,\ -0{,}52$.

Verifica con Routh

$d+Kn=s^3+(K-2)s^2+2Ks+K$. Per un polinomio di terzo grado: tutti i coefficienti positivi ($K>2$ e $K>0$) e $p_2p_1>p_3p_0$: $(K-2)\cdot2K>1\cdot K\iff2(K-2)>1\iff K>\frac52$ ✓ (per $K>0$). Per $K<0$ il termine noto è negativo: non Hurwitz ✓; la tabella (prima colonna $1,\ K-2,\ \frac{K(2K-5)}{K-2},\ K$) ha segni $+,-,-,-$: una sola variazione, un polo instabile ✓. Il caso $K=\frac52$: $p_2p_1=p_3p_0$ e il polinomio ausiliario è $\frac12s^2+\frac52$ ($s=\pm j\sqrt5$) ✓.

Errori comuni

• Dimenticare di eliminare dall'equazione i fattori $s$ (polo doppio, $K=0$) e $s+1$ (zero doppio, $K=\infty$) e prenderli come punti doppi.
• Imporre che $s=1$ sia punto doppio senza usare l'equazione ridotta: è sufficiente imporre che $s=1$ sia radice di $s^2+3s+2a$.
• Collocare il passaggio da radici reali a complesse in un valore di $K$ diverso da $\frac14$: avviene esattamente nel punto doppio $s=1$, cioè per $K=K(1)=\frac14$.
• Dimenticare il luogo negativo: per ogni $K<0$ c'è un polo reale positivo.
• Includere $K=\frac52$ tra i $K$ di stabilità (poli immaginari).