Sistemi dinamici e modelli ingresso-uscita SISO

Il corso studia come controllare un sistema: far sì che una grandezza fisica (la posizione di un carrello, una temperatura, una tensione) segua un valore desiderato. Per farlo serve prima un modello matematico del sistema, abbastanza semplice da essere trattato con strumenti analitici e grafici. Questa nota fissa il linguaggio che si userà in tutte le altre; la parte matematica (equazioni differenziali, Laplace) è un ripasso di Equazioni differenziali lineari a coefficienti costantiUn'EDOLCC $\sum a_ky^{(k)}=\sum b_kx^{(k)}$ descrive molti sistemi fisici (circuiti RC, massa-molla-smorzatore). Le soluzioni dell'omogenea formano uno spazio vettoriale di dimensione $n$ con base $t^he^{\lambda t}$ ($\lambda$ radici del polinomio caratteristico $a(s)$). La soluzione generale è libera (dalle condizioni iniziali) più forzata (dall'ingresso); il sistema LTI causale associato ha funzione di trasferimento $b(s)/a(s)$.Equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti → e Laplace unilatera, funzione di trasferimento e stabilitàCon la trasformata unilatera $X(s)=\int_{0^-}^\infty x(t)e^{-st}dt$ le derivate diventano $\mathcal L[y']=sY-y(0^-)$: un problema di Cauchy causale si riduce a un'equazione algebrica, $Y=\frac{b}{a}X+\frac{\text{termini iniziali}}{a}$ (forzata + libera). La funzione di trasferimento è $H(s)=b(s)/a(s)$; il sistema causale è BIBO stabile se e solo se $H$ è propria e tutti i poli hanno parte reale negativa.Laplace unilatera, funzione di trasferimento e stabilità →, che vanno consultate se qualcosa non è chiaro.

Fenomeno, sistema, modello

Un fenomeno è un insieme di grandezze fisiche che variano nel tempo. Un sistema fisico è la porzione di realtà che le produce, delimitata scegliendo quali grandezze sono ingressi (quelle che possiamo imporre dall'esterno: una tensione, una forza, la potenza di una resistenza) e quali uscite (quelle che vogliamo osservare o far seguire un valore: la posizione, la temperatura). Il sistema è dinamico se l'uscita al tempo $t$ non dipende solo dall'ingresso allo stesso istante, ma anche dalla sua storia: un condensatore ricorda la carica ricevuta, un carrello conserva la velocità.

Si lavora con modelli SISO (single input, single output: un ingresso $u(t)$ e un'uscita $y(t)$), a tempo continuo, lineari e tempo-invarianti (LTI): i coefficienti non cambiano nel tempo e vale la sovrapposizione degli effetti.

Il modello ingresso/uscita

Un modello I/O LTI è un'equazione differenziale lineare a coefficienti costanti: $$a_n\,y^{(n)}(t)+\dots+a_1y'(t)+a_0y(t)=b_m\,u^{(m)}(t)+\dots+b_1u'(t)+b_0u(t),\qquad t\ge0,$$ con $a_i,b_i\in\mathbb R$, $a_n\ne0$, $b_m\ne0$. Il numero $n$ è l'ordine del modello. Si dice che il modello è:

• proprio se $n\ge m$; strettamente proprio se $n>m$ (la derivata di ordine massimo dell'uscita supera quella dell'ingresso). Un modello con $m>n$ non è fisicamente realizzabile: dovrebbe derivare l'ingresso più volte dell'uscita, e un ingresso discontinuo darebbe un'uscita con impulsi.
• causalel'uscita a un istante dipende solo dall'ingresso fino a quell'istante, mai da quello futuro: l'uscita al tempo $t$ dipende solo dall'ingresso in istanti $\le t$ (l'effetto non anticipa la causa). Un modello descritto da un'equazione differenziale risolta "in avanti" a partire da condizioni iniziali è causale.

Con la trasformata di Laplace (unilatera) e indicando $a(s)=\sum a_is^i$, $b(s)=\sum b_is^i$, l'equazione diventa $a(s)Y(s)-(\text{termini dalle condizioni iniziali})=b(s)U(s)$.

Evoluzione libera, forzata, complessiva

Per la linearità l'uscita è la somma di due contributi: $$y(t)=\underbrace{y_\ell(t)}_{\text{evoluzione libera}}+\underbrace{y_f(t)}_{\text{evoluzione forzata}}.$$

• Evoluzione libera $y_\ell$: uscita con ingresso nullo a partire dalle condizioni iniziali $y(0),\dots,y^{(n-1)}(0)$. Dipende solo dallo stato iniziale. È la soluzione dell'equazione omogenea $a(\tfrac d{dt})y=0$.
• Evoluzione forzata $y_f$: uscita con condizioni iniziali nulle all'ingresso $u(t)$. Dipende solo dall'ingresso.

Se il sistema non è dato "a riposo" non si può dire quanto vale l'uscita senza le condizioni iniziali; per questo molte domande d'esame specificano "a partire da condizioni iniziali nulle" (cioè evoluzione forzata pura).

Modi elementari e evoluzione libera

L'equazione omogenea $a_ny^{(n)}+\dots+a_0y=0$ si risolve cercando $y=e^{\lambda t}$: $\lambda$ deve essere radice di $a(\lambda)=0$ (equazione caratteristicaequazione a(λ)=0 che si ottiene cercando soluzioni esponenziali dell'equazione omogenea). Ogni radice $\lambda$ di molteplicità $\mu$ dà $\mu$ modi elementarile funzioni t^k e^(λt) (con seno e coseno per le radici complesse) di cui è fatta ogni soluzione libera $e^{\lambda t},\,te^{\lambda t},\dots,t^{\mu-1}e^{\lambda t}$; per una coppia complessa coniugata $\lambda=\sigma\pm j\omega$ si usano le parti reale e immaginaria $t^ke^{\sigma t}\cos\omega t$ e $t^ke^{\sigma t}\sin\omega t$. L'evoluzione libera è una combinazione lineare di questi modi, con coefficienti fissati dalle $n$ condizioni iniziali.

Il comportamento di un modo dipende solo dalla parte reale della radice: $\sigma<0$ decade a zero, $\sigma=0$ resta limitato (costante, oscillazione costante) o cresce come potenza di $t$ se la radice è multipla, $\sigma>0$ cresce esponenzialmente. Questo è il punto di partenza della stabilità (Stabilità asintotica e BIBO dei modelli I-OIl modello è asintoticamente stabile se la libera tende a zero per ogni stato iniziale: tutte le radici di $a(s)$ hanno $\mathrm{Re}<0$ ($a(s)$ di Hurwitz). È BIBO stabile se a ogni ingresso limitato corrisponde un'uscita forzata limitata: equivale a $\int_0^\infty|w|<\infty$, cioè a poli di $W(s)$ (ridotta) tutti in $\mathrm{Re}<0$. Asintotica $\Rightarrow$ BIBO, non viceversa (cancellazioni polo-zero instabili). Poli immaginari semplici: non BIBO (risonanza).Stabilità asintotica e BIBO dei modelli I-O →).

Esempio. $y''+2y'+5y=u$ (che è il modello di un oscillatore smorzato, per esempio una massa $m=1$ con smorzatore $c=2$ e molla $k=5$ spinta dalla forza $u$). Equazione caratteristica $\lambda^2+2\lambda+5=0\Rightarrow\lambda=-1\pm2j$. L'evoluzione libera è $y_\ell(t)=e^{-t}\left(c_1\cos2t+c_2\sin2t\right)$; con $y(0)=1$, $y'(0)=0$ si ha $c_1=1$ e, derivando, $y'(0)=-c_1+2c_2=0\Rightarrow c_2=\tfrac12$: $y_\ell=e^{-t}\left(\cos2t+\tfrac12\sin2t\right)$.

Risposta impulsiva e funzione di trasferimento

L'evoluzione forzata si calcola con la convoluzione (Sistemi LTI, risposta impulsiva e convoluzioneUn sistema lineare tempo-invariante (LTI) è completamente descritto dalla sua risposta impulsiva $h=\Sigma[\delta]$: l'uscita è la convoluzione $y=x*h$, cioè $y(t)=\int x(u)h(t-u)du$ (somma $\sum_k x(k)h(n-k)$ nel discreto). Il teorema discende da linearità e tempo-invarianza applicate alla scomposizione del segnale in impulsi.Sistemi LTI, risposta impulsiva e convoluzione →): $$y_f(t)=(w*u)(t)=\int_0^tw(t-\tau)u(\tau)\,d\tau,$$ dove $w(t)$ è la risposta impulsiva (evoluzione forzata all'ingresso $u=\delta(t)$, impulso di Dirac). Nel dominio di Laplace la convoluzione diventa prodotto: $$Y_f(s)=W(s)\,U(s),\qquad W(s)=\mathcal L[w](s)=\frac{b(s)}{a(s)}=\frac{b_ms^m+\dots+b_0}{a_ns^n+\dots+a_0}.$$ $W(s)$ si chiama funzione di trasferimentorapporto tra la trasformata dell'uscita e quella dell'ingresso a condizioni iniziali nulle (FdT): si legge direttamente dai coefficienti dell'equazione. Se $n\ge m$, $W$ è propria (strettamente propria se $n>m$). Le radici di $a(s)$ sono i poli, quelle di $b(s)$ gli zeri; si assume sempre che $a(s)$ e $b(s)$ non abbiano radici in comune (altrimenti si semplificano: un fattore comune corrisponde a un modo che non compare nella forzata).

Esempio. Dall'equazione $y''+2y'+5y=u$: $W(s)=\dfrac1{s^2+2s+5}$, $w(t)=\tfrac12e^{-t}\sin2t\,\delta_{-1}(t)$ (verificata con la simulazione numerica). La risposta a un gradino unitario ha trasformata $\frac{W(s)}s$ e vale $$y_f(t)=\tfrac15\left[1-e^{-t}\left(\cos2t+\tfrac12\sin2t\right)\right],\qquad t\ge0,$$ che parte da $0$, oscilla attorno al valore di regime $W(0)=\tfrac15$ e vi tende (massimo $0{,}2416$ in $t=\tfrac\pi2$).

Tre esempi fisici

Il carrello ha due poli nell'origine: con una forza costante la velocità cresce linearmente e la posizione quadraticamente, quindi il sistema non è stabile e va controllato in retroazione (Schemi di controllo in retroazione e funzioni di trasferimentoNello schema in retroazione unitaria negativa (controllore $C$, processo $G$) la FdT in catena aperta è $\tilde G=CG$ e quella in catena chiusa $W=\frac{\tilde G}{1+\tilde G}$; l'errore è $E=\frac{R}{1+\tilde G}=(1-W)R$. Zeri di $W$ = zeri di $\tilde G$, poli di $W$ = zeri di $1+\tilde G$. La BIBO stabilità di $W$ è un'altra cosa dalla stabilità di $G$: la retroazione sposta i poli. Le cancellazioni di fattori instabili tra $C$ e $G$ sono proibite.Schemi di controllo in retroazione e funzioni di trasferimento →).

Errori comuni

• Confondere ingresso e uscita nella lettura dell'equazione: i coefficienti di $y$ e delle sue derivate vanno al denominatore, quelli di $u$ al numeratore.
• Dimenticare che l'evoluzione libera dipende dalle condizioni iniziali e non dall'ingresso, e che la risposta impulsiva è un'evoluzione forzata.
• Semplificare male polinomi che hanno un fattore comune: i modi cancellati non compaiono in $W(s)$ ma esistono nell'evoluzione libera.
• Usare $m>n$: non sarebbe un modello causale realizzabile.