Forma di Bode e diagrammi di Bode dei termini elementari

Il diagramma di Bode rappresenta la risposta in frequenza $W(j\omega)$ (Risposta di regime permanente e risposta transitoriaCon ingresso $u=e^{j\tilde\omega t}\delta_{-1}(t)$ e $\tilde\omega$ non polo di $W$, l'uscita è $y=y_{rp}+y_{tr}$ con $y_{rp}(t)=W(j\tilde\omega)e^{j\tilde\omega t}$ (regime permanente) e $y_{tr}$ combinazione dei modi di $a(s)$ (transitorio, a condizioni iniziali nulle solo dei poli di $W$). Per $u=A\cos(\tilde\omega t+\varphi)$: $y_{rp}=A|W(j\tilde\omega)|\cos(\tilde\omega t+\varphi+\arg W(j\tilde\omega))$. Se il sistema è stabile il transitorio si spegne.Risposta di regime permanente e risposta transitoria →) con due grafici: il modulo $|W(j\omega)|_{dB}=20\log_{10}|W(j\omega)|$ e la fase $\arg W(j\omega)$, entrambi in funzione di $\omega$ su scala logaritmica. Il motivo della scala logaritmica: modulo di un prodotto = prodotto dei moduli e fase di un prodotto = somma delle fasi, quindi in dB e in gradi i diagrammi dei fattori si sommano. Un'introduzione orientata ai circuiti è in Funzione di trasferimento e diagrammi di BodeLa risposta in frequenza di un amplificatore è A(jω) = A(s) con s = jω. Scritta in forma fattorizzata (costante, zeri e poli come fattori (1+s/ω_i)), modulo in dB e fase si ottengono sommando i contributi di ogni fattore. Diagramma asintotico del modulo: polo = −20 dB/decade dopo ω_p, zero = +20 dB/decade, polo o zero nell'origine = pendenza costante ±20 dB/dec; fase: ogni polo (zero) reale aggiunge −90° (+90°) con un tratto lineare che parte da ω/10 e finisce in 10ω (±45°/decade). Per un ingresso sinusoidale A sin(ω0 t + φ) l'uscita è |A(jω0)| A sin(ω0 t + φ + ∠A(jω0)).Funzione di trasferimento e diagrammi di Bode →; qui si fissano le convenzioni usate nel corso.

La forma di Bode

Ogni funzione razionale a coefficienti reali si scrive nella forma di Bode: $$W(s)=\frac{K_B}{s^{h}}\ \frac{\displaystyle\prod_i(1+T_i's)\ \prod_i\Big(1+2\xi_i'\tfrac{s}{\omega_{ni}'}+\tfrac{s^2}{\omega_{ni}'^2}\Big)}{\displaystyle\prod_i(1+T_is)\ \prod_i\Big(1+2\xi_i\tfrac{s}{\omega_{ni}}+\tfrac{s^2}{\omega_{ni}^2}\Big)},$$ con $h\in\mathbb Z$ e tutti i fattori con termine noto uguale a $1$:

• $K_B\in\mathbb R$ è il guadagno di Bodevalore del limite di s^h W(s) per s che tende a 0: il guadagno in continua quando non ci sono poli o zeri nell'origine (può essere negativo): $K_B=\lim_{s\to0}s^hW(s)$, con $h$ scelto in modo che il limite sia finito e non nullo;
• $h>0$ è il numero di poli nell'origine, $h<0$ il numero di zeri nell'origine (cambia il segno di $h$: $s^{-h}$ al denominatore);
• i fattori binomi $(1+Ts)$ corrispondono a radici reali $s=-\frac1T$; se $T>0$ la radice è stabile, se $T<0$ instabile (si scrive $(1-\frac s{z})$ con $z>0$);
• i fattori trinomi corrispondono a coppie complesse coniugate; $\omega_n>0$ è la pulsazione naturale, $\xi$ lo smorzamento: $\xi\in(0,1)$ per radici complesse a parte reale negativa, $\xi=0$ per radici immaginarie pure, $\xi<0$ per radici complesse a parte reale positiva (instabili).

Esempio di riduzione. $G(s)=\dfrac{s^2+2s+100}{s(s-10)}$. Il termine noto del numeratore è $100$, del denominatore $-10$ (il fattore $s-10=-10(1-\frac s{10})$) e c'è un polo in $0$: $h=1$, $K_B=\lim_{s\to0}sG(s)=\frac{100}{-10}=-10$ e $$G(s)=-10\cdot\frac{1+0{,}02\,s+\frac{s^2}{100}}{s\,(1-\frac s{10})}.$$ Dal trinomio: $\omega_n=10$ e $2\xi/\omega_n=0{,}02\Rightarrow\xi=0{,}1$ (zeri complessi a parte reale negativa); polo reale instabile in $10$.

Diagramma di Bode dei termini elementari

Il modulo in dB e la fase di $W(j\omega)$ si scrivono come somma dei contributi di:

1. Costante $K_B$. Modulo $20\log_{10}|K_B|$ dB (retta orizzontale). Fase $0^\circ$ se $K_B>0$; se $K_B<0$ si prende $+180^\circ$ (o $-180^\circ$: è una convenzione, l'importante è mantenerla in tutto il tracciato).

2. Monomio $s^{-h}$ (polo di molteplicità $h$ nell'origine). $|(j\omega)^{-h}|=\omega^{-h}$: retta con pendenza $-20h$ dB/decade che passa per $0$ dB in $\omega=1$ rad/s. Fase costante $-90^\circ h$. Uno zero nell'origine ($h=-1$) ha pendenza $+20$ dB/dec e fase $+90^\circ$.

3. Binomio $(1+Ts)$, $T>0$ (zero reale stabile). $|1+j\omega T|=\sqrt{1+\omega^2T^2}$. Asintoti: $0$ dB per $\omega<\frac1T$, retta $+20$ dB/dec per $\omega>\frac1T$ (si incontrano nella pulsazione di spezzamentopulsazione in cui cambia la pendenza dell'asintoto di modulo $\frac1T$). Scostamento reale massimo in $\frac1T$: $+3$ dB (infatti $20\log\sqrt2=3{,}01$); a $\frac{0{,}1}T$ e $\frac{10}T$ è solo $0{,}04$ dB. Fase: $\arctan(\omega T)$, da $0^\circ$ a $+90^\circ$, uguale a $45^\circ$ nella pulsazione di spezzamento; approssimata a tratti con un segmento che sale linearmente (in scala log) da $\frac{0{,}1}T$ a $\frac{10}T$, cioè $+45^\circ$ per decade. Il polo stabile $\frac1{1+Ts}$ ha modulo e fase opposti: $-20$ dB/dec e $-90^\circ$.

4. Binomio con $T<0$ (zero o polo instabile). $|1-\frac{j\omega}z|=\sqrt{1+\frac{\omega^2}{z^2}}$ ha lo stesso modulo del caso stabile, ma la fase è opposta: il fattore $(1-\frac sz)$ ha fase $-\arctan\frac\omega z$ (da $0$ a $-90^\circ$). Dunque:

Questa è la differenza tra sistemi a fase minimatutti zeri e poli a parte reale negativa (tutti gli zeri e i poli stabili) e non a fase minima (almeno uno zero instabile, con una variazione di fase "sbagliata" rispetto al modulo).

5. Trinomio $1+2\xi\frac s{\omega_n}+\frac{s^2}{\omega_n^2}$ (coppia complessa, $0<\xi<1$). Valore: $\left|1-u^2+2j\xi u\right|=\sqrt{(1-u^2)^2+4\xi^2u^2}$ con $u=\frac\omega{\omega_n}$. Asintoti (se zeri): $0$ dB per $\omega<\omega_n$, $+40$ dB/dec dopo. Scostamento: nella pulsazione naturale il modulo vale $2\xi$, cioè $20\log_{10}(2\xi)$ dB (negativo per $\xi<\frac12$): per $\xi=0{,}1$ è $-14$ dB, una antirisonanza (picco verso il basso). Se invece la coppia è al denominatore ($\frac1{\text{trinomio}}$) il modulo ha un picco di risonanza verso l'alto: $$\omega_r=\omega_n\sqrt{1-2\xi^2}\ \ (\xi<\tfrac1{\sqrt2}),\qquad M_r=\frac1{2\xi\sqrt{1-\xi^2}}\approx\frac1{2\xi}.$$ Per $\xi=0{,}1$: $\omega_r=0{,}99\omega_n$, $M_r=5{,}03$, cioè $14{,}0$ dB. Fase del trinomio: da $0^\circ$ a $+180^\circ$ (zeri), passando per $+90^\circ$ in $\omega_n$; quanto più $\xi$ è piccolo tanto più il passaggio è brusco: $\xi\to0$ dà un salto di $180^\circ$ in $\omega_n$. Per i poli il segno è opposto: $0\to-180^\circ$.

Caso limite $\xi=0$ (radici $\pm j\omega_n$): il modulo del trinomio $|1-u^2|$ si annulla in $\omega_n$ (antirisonanza infinita, $-\infty$ dB) e la fase compie un salto istantaneo di $+180^\circ$ in $\omega_n$ (zeri) o $-180^\circ$ (poli, con modulo che diverge a $+\infty$). Caso $\xi<0$ (radici instabili): stesso modulo del caso $|\xi|$, fase opposta.

Riepilogo delle regole di somma

• Ogni zero (reale o complesso) aumenta la pendenza del modulo di $20$ dB/dec (di $40$ per una coppia) dopo la sua pulsazione; ogni polo la diminuisce. Vale per radici stabili e instabili.
• La fase di zeri e poli stabili va nel verso "naturale" ($+$ per zeri, $-$ per poli); per radici instabili va nel verso opposto.
• I diagrammi asintotici si ottengono sommando le rette; il diagramma reale se ne discosta soltanto vicino alle pulsazioni di spezzamento (e molto per $\xi$ piccolo).
• Una variazione di fase di $\pm90^\circ$ (o $\pm180^\circ$) si distribuisce su due decadi centrate nella pulsazione di spezzamento.

Errori comuni

• Dimenticare che il fattore deve avere termine noto $1$: $(s+10)$ non è $(1+\frac s{10})$ ma $10(1+\frac s{10})$: la costante va in $K_B$.
• Non sistemare il segno di $K_B$ quando una radice è positiva: $s-10$ è $-10(1-\frac s{10})$, e il segno meno entra in $K_B$.
• Attribuire a un polo/zero instabile la fase di quello stabile: il modulo è uguale, la fase è opposta.
• Confondere la pulsazione naturale del trinomio con la pulsazione del picco $\omega_r$ (coincidono solo per $\xi$ piccolo).
• Contare per i trinomi $\pm20$ dB/dec: la pendenza cambia di $\pm40$ dB/dec.