Criterio di Nyquist - versione ristretta e criterio ridotto

Il criterio di Nyquist decide la stabilità BIBO del sistema in retroazione $W=\frac{G}{1+G}$ (Schemi di controllo in retroazione e funzioni di trasferimentoNello schema in retroazione unitaria negativa (controllore $C$, processo $G$) la FdT in catena aperta è $\tilde G=CG$ e quella in catena chiusa $W=\frac{\tilde G}{1+\tilde G}$; l'errore è $E=\frac{R}{1+\tilde G}=(1-W)R$. Zeri di $W$ = zeri di $\tilde G$, poli di $W$ = zeri di $1+\tilde G$. La BIBO stabilità di $W$ è un'altra cosa dalla stabilità di $G$: la retroazione sposta i poli. Le cancellazioni di fattori instabili tra $C$ e $G$ sono proibite.Schemi di controllo in retroazione e funzioni di trasferimento →) a partire dal diagramma di Nyquist di $G$ in catena aperta (Diagrammi di Nyquist - tracciamento, asintoti e intersezioniIl diagramma di Nyquist di $G(s)$ è la curva ${G(j\omega):\omega\in\mathbb R}$ nel piano complesso, percorsa per $\omega$ crescente; per $\omega<0$ è il simmetrico rispetto all'asse reale di quella per $\omega>0$. Si traccia combinando modulo e fase di Bode: per $\omega\to0^+$ parte da $K_B$ (se $h=0$) o da infinito con angolo $\arg K_B-90^\circ h$ (asintoto verticale $\mathrm{Re}=K_B(\sum T_i'-\sum T_i)$ per $h=1$), per $\omega\to\infty$ arriva nell'origine con angolo $-90^\circ(n-m)$. Le intersezioni con gli assi si trovano da $\mathrm{Im},G(j\omega)=0$ e $\mathrm{Re},G(j\omega)=0$.Diagrammi di Nyquist - tracciamento, asintoti e intersezioni →). È un criterio grafico: non serve calcolare le radici di $1+G$, basta contare quante volte il diagramma gira attorno a un punto.

Enunciato (versione ristretta)

Sia $G(s)\in\mathbb R(s)$ una funzione razionale propria, di cui si conosce il numero $n_{G+}$ dei poli con parte reale positiva, e sia noto il diagramma di Nyquist completo ($\omega\in(-\infty,+\infty)$). Si suppone che:

• (C1) il diagramma di Nyquist rimanga interamente al finito: $|G(j\omega)|<R$ per ogni $\omega\in\mathbb R$ (equivale a: $G$ non ha poli sull'asse immaginario);
• (C2) il diagramma non passi per il punto criticoil punto −1+j0, la cui posizione rispetto al diagramma decide la stabilità $-1+j0$ (equivale a: $W$ non ha poli sull'asse immaginario, perché $G(j\tilde\omega)=-1\iff1+G(j\tilde\omega)=0$).

Si indica con $N$ il numero di giri che il diagramma compie attorno al punto critico quando $\omega$ va da $-\infty$ a $+\infty$, contati con segno $+$ se antiorari e $-$ se orari, e con $n_{W+}$ il numero di poli di $W$ con parte reale positiva. Allora $$\boxed{N=n_{G+}-n_{W+}}.$$ Di conseguenza $$W\ \text{è BIBO stabile}\iff N=n_{G+}.$$ In particolare, se $G$ è BIBO stabile ($n_{G+}=0$), $W$ è BIBO stabile $\iff N=0$: è il criterio ridotto.

Osservazione. Nella versione ridotta, "$N=0$" significa che il diagramma non circonda il punto $-1$ (o lo circonda un numero di volte antiorario e orario che si compensano). Se il sistema è instabile ($N<0$) il numero di poli instabili è $n_{W+}=n_{G+}-N=n_{G+}+|N|$: ogni giro orario aggiunge un polo instabile.

Perché funziona: il principio dell'argomento

Si considera $f(s)=1+G(s)=\frac{d+n}d$ (con $G=\frac nd$). I suoi zeri sono i poli di $W$; i suoi poli sono i poli di $G$. Si percorre in senso orario il cammino di Nyquist: l'asse immaginario da $-j\infty$ a $+j\infty$, chiuso da una semicirconferenza di raggio infinito nel semipiano destro. Per ipotesi C1 il cammino non incontra poli di $G$, per C2 non incontra zeri di $f$. Il principio dell'argomentoil numero di giri di f(s) attorno a 0 lungo un cammino chiuso è pari agli zeri meno i poli di f racchiusi dal cammino (teorema dell'indicatore logaritmico) afferma che, mentre $s$ percorre il cammino in senso orario, l'immagine $f(s)$ compie attorno all'origine un numero di giri orari pari a $$\#\text{zeri di }f\ \text{in }\mathrm{Re}>0-\#\text{poli di }f\ \text{in }\mathrm{Re}>0=n_{W+}-n_{G+}.$$ Poiché $f(s)=1+G(s)$, girare attorno a $0$ con $f$ è la stessa cosa che girare attorno a $-1$ con $G$. Sulla semicirconferenza infinita $G(s)\to G(\infty)$ (costante finita, $0$ se $G$ è strettamente propria), quindi non dà contributo: restano i giri del diagramma completo $G(j\omega)$. I giri orari sono $-N$, da cui $-N=n_{W+}-n_{G+}$, cioè $N=n_{G+}-n_{W+}$. $\square$

Il segno è la cosa da ricordare: antiorario $+$, orario $-$, e $N=n_{G+}-n_{W+}$. Per una $G$ stabile, un giro orario attorno a $-1$ significa un polo instabile di $W$.

Come si usa

1. Si traccia il diagramma di Nyquist completo ($\omega\ge0$ e il simmetrico) con le frecce.
2. Si controlla che valgano C1 e C2.
3. Si conta $N$: si osserva come gira il diagramma attorno a $-1$. Conviene tracciare una semiretta che parte da $-1$ in una direzione qualsiasi e contare con segno i suoi attraversamenti: attraversamento in senso antiorario $+1$, orario $-1$ (più preciso che contare "a occhio" i giri).
4. Si legge $n_{W+}=n_{G+}-N$.

Esempio. $G(s)=\dfrac1{(s+1)^3}$ ($n_{G+}=0$, nessun polo sull'asse immaginario: C1 vale). Il diagramma è $G(j\omega)=\frac1{(1+j\omega)^3}$, con parte reale $-\frac{3\omega^2-1}{(1+\omega^2)^3}$ e parte immaginaria $\frac{\omega(\omega^2-3)}{(1+\omega^2)^3}$. La parte immaginaria si annulla in $\omega=\sqrt3$ e lì $G(j\sqrt3)=-\frac18$: il diagramma taglia l'asse reale negativo in $-0{,}125$, quindi non circonda $-1$ ($N=0$), $W=\frac G{1+G}$ è BIBO stabile ✓ (infatti $1+G=\frac{(s+1)^3+1}{(s+1)^3}$ ha poli di $W$ nelle radici di $s^3+3s^2+3s+2$, tutte con $\mathrm{Re}<0$).

Con un guadagno $K$. Se la catena aperta è $KG$ con $K>0$, il punto critico per il diagramma di $G$ diventa $-\frac1K$: per $K=10$ è $-0{,}1$, che è a destra di $-0{,}125$, quindi dentro la curva: il diagramma lo circonda due volte in senso orario ($N=-2$) e $n_{W+}=2$ (verificato con i poli di $(s+1)^3+10$: due radici con $\mathrm{Re}>0$). Il limite di stabilità è $K=8$ ($-\frac1K=-\frac18$), come dà anche Routh su $s^3+3s^2+3s+1+K$: stabile $\iff-1<K<8$. Questo caso con $K$ variabile è il tema di Criterio di Nyquist - poli sull'asse immaginario e guadagno variabileSe $G$ ha poli sull'asse immaginario il diagramma va all'infinito e si chiude al finito con archi di raggio infinito percorsi in senso orario: un polo di molteplicità $\mu$ in $j\omega_0$ ($\omega_0\ge0$) aggiunge un arco di ampiezza $\mu\pi$ tra $G(j(\omega_0-\epsilon))$ e $G(j(\omega_0+\epsilon))$ (per $\omega_0=0$ gli estremi sono i rami $\omega\to0^\mp$). Poi vale ancora $N=n_{G+}-n_{W+}$, con $n_{G+}$ che non conta i poli immaginari. Per $W=\frac{KG}{1+KG}$, $K\in\mathbb R\setminus{0}$, il punto critico è $-\frac1K$: si conta $N$ in ciascun intervallo dell'asse reale tra le intersezioni del diagramma; quando $-\frac1K$ è sul diagramma $W$ ha poli immaginari (caso critico).Criterio di Nyquist - poli sull'asse immaginario e guadagno variabile →.

Errori comuni

• Scambiare il segno di $N$ (antiorario $=+$) o la relazione $N=n_{G+}-n_{W+}$ con $n_{W+}-n_{G+}$.
• Applicare la versione ristretta quando $G$ ha poli sull'asse immaginario: il diagramma non è chiuso al finito (serve la versione generale).
• Dimenticare il tratto $\omega<0$: il diagramma da usare è quello completo.
• Contare il numero di poli di $G$ con parte reale $\ge0$ invece di $>0$ (i poli sull'asse non rientrano in $n_{G+}$).
• Pensare che il criterio dica quali poli sono instabili: dice solo quanti.