Esercizio 7Bode e Nyquist di un polo nell'origine con zeri complessi e polo instabile (temi d'esame febbraio 2024 e agosto 2021)

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Teoria usata: Forma di Bode e diagrammi di Bode dei termini elementariLa forma di Bode scrive $W(s)=\frac{K_B}{s^h}\frac{\prod(1+T_i's)\prod(1+2\xi_i'\frac s{\omega_{ni}'}+\frac{s^2}{\omega_{ni}'^2})}{\prod(1+T_is)\prod(1+2\xi_i\frac s{\omega_{ni}}+\frac{s^2}{\omega_{ni}^2})}$ con $K_B=\lim_{s\to0}s^hW(s)$. Il diagramma di Bode (modulo in dB e fase, su asse $\omega$ logaritmico) si ottiene sommando i contributi dei termini elementari: costante, $s^{\mp1}$ ($\mp20$ dB/dec, $\mp90^\circ$), binomio ($\pm20$ dB/dec dopo $1/|T|$, fase $\pm90^\circ$, opposta se instabile), trinomio ($\pm40$ dB/dec dopo $\omega_n$, fase $\pm180^\circ$, picco $20\log2\xi$).Forma di Bode e diagrammi di Bode dei termini elementari →, Diagrammi di Nyquist - tracciamento, asintoti e intersezioniIl diagramma di Nyquist di $G(s)$ è la curva ${G(j\omega):\omega\in\mathbb R}$ nel piano complesso, percorsa per $\omega$ crescente; per $\omega<0$ è il simmetrico rispetto all'asse reale di quella per $\omega>0$. Si traccia combinando modulo e fase di Bode: per $\omega\to0^+$ parte da $K_B$ (se $h=0$) o da infinito con angolo $\arg K_B-90^\circ h$ (asintoto verticale $\mathrm{Re}=K_B(\sum T_i'-\sum T_i)$ per $h=1$), per $\omega\to\infty$ arriva nell'origine con angolo $-90^\circ(n-m)$. Le intersezioni con gli assi si trovano da $\mathrm{Im},G(j\omega)=0$ e $\mathrm{Re},G(j\omega)=0$.Diagrammi di Nyquist - tracciamento, asintoti e intersezioni →, Criterio di Nyquist - poli sull'asse immaginario e guadagno variabileSe $G$ ha poli sull'asse immaginario il diagramma va all'infinito e si chiude al finito con archi di raggio infinito percorsi in senso orario: un polo di molteplicità $\mu$ in $j\omega_0$ ($\omega_0\ge0$) aggiunge un arco di ampiezza $\mu\pi$ tra $G(j(\omega_0-\epsilon))$ e $G(j(\omega_0+\epsilon))$ (per $\omega_0=0$ gli estremi sono i rami $\omega\to0^\mp$). Poi vale ancora $N=n_{G+}-n_{W+}$, con $n_{G+}$ che non conta i poli immaginari. Per $W=\frac{KG}{1+KG}$, $K\in\mathbb R\setminus{0}$, il punto critico è $-\frac1K$: si conta $N$ in ciascun intervallo dell'asse reale tra le intersezioni del diagramma; quando $-\frac1K$ è sul diagramma $W$ ha poli immaginari (caso critico).Criterio di Nyquist - poli sull'asse immaginario e guadagno variabile →, Criterio di Routh-HurwitzIl criterio di Routh stabilisce se un polinomio $P(s)=p_ns^n+\dots+p_0$ è di Hurwitz senza calcolarne le radici. Si costruisce la tabella (righe $n,n-1,\dots,0$) con $\text{nuovo}=\frac{\text{pivot}\cdot a-\text{prec.}\cdot b}{\text{pivot}}$; se la tabella va a compimento, il numero di variazioni di segno nella prima colonna è il numero di radici con $\mathrm{Re}>0$, le permanenze il numero con $\mathrm{Re}<0$. Elemento nullo in prima colonna: $P$ non è Hurwitz; riga nulla: radici simmetriche (spesso immaginarie) date dal polinomio ausiliario. Con parametro $K$ nei coefficienti dà gli intervalli di stabilità.Criterio di Routh-Hurwitz →.

(i) Diagrammi di Bode

Forma di Bode. Il termine noto di $s^2+2s+100$ è $100$, quello di $s-10=-10\left(1-\frac s{10}\right)$ è $-10$: $K_B=\lim_{s\to0}sG(s)=\frac{100}{-10}=-10$, $h=1$ e $$G(s)=-10\cdot\frac{1+0{,}02\,s+\frac{s^2}{100}}{s\left(1-\frac s{10}\right)}.$$

• $K_B=-10$: modulo $20$ dB, fase $+180^\circ$ (convenzione per $K_B<0$);
• polo nell'origine: pendenza $-20$ dB/dec, fase $-90^\circ$;
• zeri complessi con $\omega_n=10$ e $2\xi/\omega_n=0{,}02\Rightarrow\xi=0{,}1$ (a parte reale negativa);
• polo reale instabile in $10$.

Modulo asintotico. Parte con $-20$ dB/dec passando per $20$ dB in $\omega=1$. In $\omega=10$ la coppia di zeri aggiunge $+40$ dB/dec e il polo toglie $20$: la pendenza passa da $-20$ a $0$ e il modulo resta piatto a $0$ dB per $\omega>10$. Il modulo reale ha una antirisonanza in $\omega=10$ (picco verso il basso): $20\log(2\xi)=-14$ dB per gli zeri, più il contributo di $-3$ dB del polo, totale circa $-17$ dB (esatto: $|G(10j)|=0{,}141=-17$ dB).

Fase. Parte da $180^\circ-90^\circ=+90^\circ$. La coppia di zeri complessi stabili porta $+180^\circ$ (brusca perché $\xi$ è piccolo) attorno a $\omega=10$; il polo instabile aggiunge $+90^\circ$ (fase opposta a quella del polo stabile). La fase sale sempre, da $90^\circ$ a $360^\circ$ (valori esatti: $90{,}7^\circ$ in $0{,}1$; $103{,}7^\circ$ in $2$; $124{,}2^\circ$ in $5$; $325{,}8^\circ$ in $20$; $359{,}3^\circ$ in $1000$).

(ii) Diagramma di Nyquist

Sostituendo $s=j\omega$: $s^2+2s+100=100-\omega^2+2j\omega$ e $s(s-10)=-\omega^2-10j\omega$. Razionalizzando (moltiplicando per il coniugato del denominatore, $\omega^2+100$ in modulo quadro) si ottiene $$\mathrm{Re}\,G(j\omega)=\frac{\omega^2-120}{\omega^2+100},\qquad\mathrm{Im}\,G(j\omega)=\frac{1000-12\omega^2}{\omega\,(\omega^2+100)}.$$

Estremi.

• $\omega\to0^+$: $\mathrm{Re}\to-\frac{120}{100}=-1{,}2$, $\mathrm{Im}\to+\infty$. Asintoto verticale $\mathrm{Re}=-1{,}2$ (conferma: $K_B\tau=-10\cdot(0{,}02+0{,}1)=-1{,}2$, con $\tau=\sum T'-\sum T=0{,}02-(-0{,}1)$).
• $\omega\to+\infty$: $G\to1$: il diagramma termina nel punto $(1,0)$, da sotto ($\mathrm{Im}\approx-\frac{12}\omega<0$).

Intersezioni. $\mathrm{Im}=0\iff\omega^2=\frac{1000}{12}=\frac{250}3$, $\omega_1=9{,}13$: il punto vale $\mathrm{Re}=\frac{83{,}3-120}{183{,}3}=-0{,}2$. $\mathrm{Re}=0\iff\omega_2=\sqrt{120}=10{,}95$: il punto vale $\mathrm{Im}=\frac{1000-1440}{10{,}95\cdot220}=-0{,}183$. Quindi:

• taglia il semiasse reale negativo in $-0{,}2$ (per $\omega=\omega_1$), e solo lì;
• taglia il semiasse immaginario negativo in $-0{,}183\,j$ (per $\omega=\omega_2$).

Tracciato ($\omega\ge0$): parte parallelamente all'asintoto verticale in $-1{,}2+j\infty$ (secondo quadrante), scende ruotando in senso antiorario, taglia l'asse reale negativo in $-0{,}2$ ($\omega_1=9{,}13$), passa nel terzo quadrante, taglia l'asse immaginario negativo in $-0{,}183j$ ($\omega_2=10{,}95$) e termina in $(1,0)$ dal quarto quadrante. Il tratto per $\omega<0$ è il simmetrico.

(iii) Stabilità di $W=\dfrac{KG}{1+KG}$

Dati. Poli di $G$: $0$ e $10$: $n_{G+}=1$ (il polo nell'origine non conta). Chiusura al finito per il polo nell'origine ($\mu=1$): arco orario di raggio infinito da $G(j0^-)$ (verso $-j\infty$) a $G(j0^+)$ (verso $+j\infty$): passa per il semiasse reale negativo all'infinito. Il diagramma chiuso termina in $(1,0)$ (grado relativo $0$: $G(\infty)=1$).

Attraversamenti dell'asse reale del diagramma chiuso, contati per la semiretta a destra del punto critico $p=-\frac1K$:

• $x=-0{,}2$ (per $\omega=\pm9{,}13$): due volte verso il basso ($-1$ ciascuna);
• $x=1$: il diagramma arriva in $1$ da sotto (per $\omega\to+\infty$) e riparte da sopra (per $\omega\to-\infty$): una volta verso l'alto ($+1$).

Con $n_{W+}=n_{G+}-N=1-N$:

Valori critici: $K=5$ ($p=-0{,}2$): il diagramma passa per il punto critico, $W$ ha due poli immaginari $\pm j9{,}13$ (non stabile); $K=-1$ ($p=1=G(\infty)$): $W$ non è propria (il polinomio $d+Kn$ ha grado $1$ mentre il numeratore ha grado $2$), quindi non è BIBO stabile. Conclusione: $W$ è BIBO stabile se e solo se $$K<-1\quad\text{oppure}\quad K>5.$$ Per $0<K<5$ ha due poli instabili, per $-1<K<0$ ne ha uno.

Verifica con Routh

$d(s)+Kn(s)=s^2-10s+K(s^2+2s+100)=(1+K)s^2+(2K-10)s+100K$. Per un polinomio di secondo grado la condizione di Hurwitz è che i tre coefficienti abbiano lo stesso segno: $1+K>0,\ 2K-10>0,\ K>0\Rightarrow K>5$; oppure $1+K<0,\ 2K-10<0,\ K<0\Rightarrow K<-1$. Si ritrova $K>5$ o $K<-1$ ✓. Per $K=5$ il polinomio è $6s^2+500$: radici $\pm j9{,}13$ ✓; per $K=-1$ è $-12s-100$ (grado $1$, $W$ impropria ✓).

Controllo numerico: $K=-3$ e $K=-1{,}5$: nessun polo instabile; $K=-0{,}5$ e $-0{,}1$: uno; $K=1$ e $4$: due; $K=6$ e $30$: nessuno.

Errori comuni

• Attribuire a $K_B$ un segno positivo: $s-10=-10\left(1-\frac s{10}\right)$ ha segno meno.
• Dimenticare di cambiare in $+180^\circ$ la fase iniziale quando $K_B<0$ (la fase parte da $90^\circ$, non da $-90^\circ$).
• Non riconoscere il caso $K=-1$ ($W$ impropria): anche se i poli sembrano stabili ($-12s-100$), $W$ non è BIBO stabile.
• Scambiare l'ordine degli intervalli di $K$ rispetto a $p=-\frac1K$.
• Contare il polo nell'origine tra i $n_{G+}$.