Risposta al gradino e suoi parametri

La risposta al gradino descrive come il sistema reagisce a un ingresso che passa bruscamente da $0$ a $1$: è il test più semplice per giudicare la velocità, la precisione e le oscillazioni di un sistema di controllo. Per un modello con funzione di trasferimento $W(s)$ si definisce $$w_{-1}(t)=\big(w*\delta_{-1}\big)(t)=\int_0^tw(\tau)\,d\tau\qquad\text{(forzata all'ingresso }\delta_{-1}),\qquad W_{-1}(s)=\frac{W(s)}s.$$

Ipotesi e proprietà

Si lavora sotto tre ipotesi:

1. $W$ strettamente propria;
2. $W$ BIBO stabile;
3. $W(0)\ne0$.

Sotto queste ipotesi:

• $w_{-1}$ è limitata (il gradino è un ingresso limitato e il sistema è BIBO stabile).
• $\boxed{\lim_{t\to\infty}w_{-1}(t)=W(0)}$. Infatti il gradino è l'esponenziale $e^{j0\cdot t}\delta_{-1}$ con $\tilde\omega=0$: per il teorema sul regime permanenteCon ingresso $u=e^{j\tilde\omega t}\delta_{-1}(t)$ e $\tilde\omega$ non polo di $W$, l'uscita è $y=y_{rp}+y_{tr}$ con $y_{rp}(t)=W(j\tilde\omega)e^{j\tilde\omega t}$ (regime permanente) e $y_{tr}$ combinazione dei modi di $a(s)$ (transitorio, a condizioni iniziali nulle solo dei poli di $W$). Per $u=A\cos(\tilde\omega t+\varphi)$: $y_{rp}=A|W(j\tilde\omega)|\cos(\tilde\omega t+\varphi+\arg W(j\tilde\omega))$. Se il sistema è stabile il transitorio si spegne.Risposta di regime permanente e risposta transitoria → l'uscita tende a $W(j0)=W(0)$. Questo valore è non nullo per l'ipotesi 3.
• $w_{-1}(0)=0$: la risposta impulsiva di una $W$ strettamente propria non contiene impulsi, quindi $\int_0^{0^+}w=0$.

Qualitativamente le risposte hanno due possibili andamenti:

• monotono (cresce o decresce senza oscillare fino al valore finale);
• non monotono: supera il valore finale e oscilla attorno a esso (sovraelongazionequanto la risposta supera il valore finale, in percentuale), eventualmente con un tratto iniziale nella direzione sbagliata (sottoelongazione).

I tre parametri

Sia $W(0)$ il valore finale (positivo o negativo).

1. Tempo di salitaprimo istante in cui la risposta entra nella banda del 10% attorno al valore finale (rise time, al 10%): $$t_r=\min\Big\{t\ge0:\ \big|w_{-1}(t)-W(0)\big|\le0{,}1\,|W(0)|\Big\}.$$ È il primo istante in cui la risposta entra nella banda del $10\%$ attorno al valore finale (per una risposta crescente da $0$, quando raggiunge il $90\%$ di $W(0)$).

2. Tempo di assestamento (settling time, al 10%): $$t_s=\min\Big\{\bar t\ge0:\ \big|w_{-1}(t)-W(0)\big|\le0{,}1\,|W(0)|\ \ \forall\,t\ge\bar t\Big\}.$$ È l'istante da cui in poi la risposta resta nella banda: $t_s\ge t_r$, con $t_s=t_r$ se la risposta è monotona.

3. Sovraelongazione percentuale: $$S=\frac{\max_{t\ge0}w_{-1}(t)-W(0)}{W(0)}\cdot100\%.$$ Per una risposta monotona crescente $S=0$.

Interpretazione. $t_r$ misura la rapidità del sistema (quanto presto "arriva"); $S$ misura le oscillazioni; $t_s$ la durata del transitorio. Si cercano compromessi: una risposta troppo rapida richiede una banda larga, che fa passare i rumori ad alta frequenza (Risposta al gradino e risposta in frequenza - sistemi del primo e del secondo ordineParametri della risposta in frequenza: banda passante $B_p$ (modulo entro $3$ dB da $|W(0)|$), pulsazione di risonanza $\omega_r$, picco di risonanza $M_r$. Per sistemi del 1° e 2° ordine strettamente propri, BIBO stabili, con $W(0)\ne0$ e senza zeri instabili: risposta al gradino monotona $\Leftrightarrow$ modulo monotono (niente picco); oscillazioni $\Leftrightarrow$ picco di risonanza; $B_p,t_r\approx2{,}3$ (proporzionalità inversa). Per $\frac{\omega_n^2}{s^2+2\xi\omega_ns+\omega_n^2}$: $S=100e^{-\pi\xi/\sqrt{1-\xi^2}}$, $M_r=\frac1{2\xi\sqrt{1-\xi^2}}$.Risposta al gradino e risposta in frequenza - sistemi del primo e del secondo ordine →).

Esempio 1: sistema del primo ordine

$W(s)=\dfrac K{s+p}$ con $p>0$: $W_{-1}=\frac K{s(s+p)}=\frac{K/p}s-\frac{K/p}{s+p}$, quindi $$w_{-1}(t)=\frac Kp\left(1-e^{-pt}\right),\qquad W(0)=\frac Kp.$$ La risposta è monotona ($w_{-1}'=Ke^{-pt}$ ha sempre il segno di $K$): $S=0$, $t_r=t_s$. Dall'equazione $\big|w_{-1}-\frac Kp\big|=0{,}1\frac Kp\iff e^{-pt_r}=0{,}1$: $$\boxed{t_r=t_s=\frac{\ln10}p\approx\frac{2{,}31}p.}$$ Con $K=11$ e $p=10$ (valori che si ricavano in un tema d'esame da $W(0)=1{,}1$ e $t_r=0{,}23$ s, Esercizio 4 · sistema del primo ordine da valore a regime e tempo di salita (tema d'esame febbraio 2024)):

Esempio 2: zero instabile e sottoelongazione

$W(s)=\dfrac{1-s}{(1+s)(1+\frac s{10})}$, $W(0)=1$. Si riscrive $W=\frac{10(1-s)}{(s+1)(s+10)}$, quindi $W_{-1}=\frac{10(1-s)}{s(s+1)(s+10)}=\frac1s-\frac{20/9}{s+1}+\frac{11/9}{s+10}$ (metodo dei limiti: in $s=0$ il residuo è $\frac{10}{1\cdot10}=1$, in $s=-1$ è $\frac{10\cdot2}{(-1)(9)}=-\frac{20}9$, in $s=-10$ è $\frac{10\cdot11}{(-10)(-9)}=\frac{11}9$). La risposta al gradino è $$w_{-1}(t)=1-\tfrac{20}9e^{-t}+\tfrac{11}9e^{-10t},\qquad t\ge0.$$ Vale $w_{-1}(0)=0$ e $w_{-1}'(0)=\frac{20}9-\frac{110}9=-10<0$: la risposta scende prima di salire. Il minimo è $-0{,}655$ in $t=0{,}189$ s (undershoot), poi cresce verso $1$; $t_r=3{,}10$ s.

Gli zeri a parte reale positiva rendono il sistema a fase non minimasistema con almeno uno zero a parte reale positiva: la risposta parte nel verso sbagliato (come in un velivolo a decollo verticale o un elicottero) e questo comporta un ritardo che nessun controllo può eliminare, solo ridurre. Nel seguito le relazioni tra risposta al gradino e risposta in frequenza si ricavano escludendo gli zeri instabili.

Esempio 3: poli complessi e sovraelongazione

$W(s)=\dfrac{1+\frac s{10}}{1+0{,}2s+s^2}$ (poli complessi in $-0{,}1\pm0{,}995j$, zero reale stabile in $-10$), $W(0)=1$. Poiché $\frac{1+0{,}1s}{s(s^2+0{,}2s+1)}=\frac1s-\frac{s+0{,}1}{(s+0{,}1)^2+0{,}99}$: $$w_{-1}(t)=1-e^{-0{,}1t}\cos\!\big(\sqrt{0{,}99}\,t\big).$$ Oscillazioni smorzate attorno a $1$, con massimo in $t=3{,}06$ s di valore $1{,}733$: $S=73\%$. Per il tempo di salita basta trovare il primo $t$ con $w_{-1}\ge0{,}9$: $t_r=1{,}46$ s. Il tempo di assestamento è grande ($22{,}4$ s) perché lo smorzamento è piccolo: l'inviluppo $e^{-0{,}1t}$ scende sotto $0{,}1$ solo per $t\gtrsim\ln10/0{,}1=23$ s.

Errori comuni

• Definire $t_s$ come "il primo istante in cui entra nella banda": quello è $t_r$; $t_s$ è l'istante dopo il quale non esce più.
• Calcolare la sovraelongazione rispetto a $1$ invece che a $W(0)$ (valore finale), o dimenticare di dividere per $W(0)$.
• Dire che $w_{-1}(t)\to1$: il limite è $W(0)$, che vale $1$ solo se il guadagno statico è unitario.
• Usare queste definizioni con $W$ non BIBO stabile o con $W(0)=0$: il valore finale non esiste o è nullo.