Esercizio 26integratore con operazionale quasi ideale e luogo delle radici (tema d'esame luglio 2014)

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Teoria usata: Amplificatori operazionali in retroazione e stabilitàUn amplificatore operazionale in configurazione invertente o non invertente con impedenze $Z_1,Z_2$ è un sistema in retroazione: con guadagno reale $A(s)$ (invece di $\infty$) vale $W_r(s)=W_{id}(s),\frac{L(s)}{1+L(s)}$ con $W_{id}=-\frac{Z_2}{Z_1}$ (invertente) o $1+\frac{Z_2}{Z_1}$ (non invertente) e guadagno d'anello $L=A\beta$, $\beta=\frac{Z_1}{Z_1+Z_2}$. $W_r\to W_{id}$ per $A\to\infty$; la stabilità di $W_r$ si studia sull'equazione caratteristica $1+L=0$ con Routh o luogo delle radici; scambiare i morsetti $\pm$ cambia il segno della retroazione.Amplificatori operazionali in retroazione e stabilità →, Luogo delle radici - definizione e regole di tracciamentoPer $G=\frac{n(s)}{d(s)}$ (monici, coprimi, $n=\deg d\ge m=\deg n$) e $W_K=\frac{KG}{1+KG}$, il luogo positivo è l'insieme dei $s$ con $d(s)+Kn(s)=0$ per qualche $K>0$ (i poli di $W_K$ al variare di $K$). Regole: $n$ rami simmetrici rispetto all'asse reale, partono dai poli ($K=0$) e finiscono negli $m$ zeri o negli $n-m$ asintoti; un punto reale è nel luogo positivo se alla sua destra ci sono un numero dispari di poli+zeri reali (con molteplicità); asintoti con direzioni $\frac{(2i+1)\pi}{n-m}$ e centro $x_B=\frac{\sum p_i-\sum z_i}{n-m}$; il guadagno in un punto è $K=-\frac{d(s)}{n(s)}$.Luogo delle radici - definizione e regole di tracciamento →, Luogo delle radici - punti doppi e intersezioni con l'asse immaginarioI punti doppi (multipli) del luogo sono i valori $s$ per cui $d+Kn$ ha una radice multipla: soddisfano $d'(s)n(s)-d(s)n'(s)=0$ con $K=-\frac{d}{n}$. Dall'equazione si tolgono le radici che sono poli o zeri multipli di $G$ (corrispondono a $K=0$ o $\infty$); una soluzione è punto doppio del luogo positivo (negativo) solo se $K(s)$ è reale positivo (negativo). Le intersezioni con l'asse immaginario si trovano da $d(j\omega)+Kn(j\omega)=0$ (due equazioni reali in $\omega,K$) o con la tabella di Routh in $K$ (riga nulla).Luogo delle radici - punti doppi e intersezioni con l'asse immaginario →, Criterio di Routh-HurwitzIl criterio di Routh stabilisce se un polinomio $P(s)=p_ns^n+\dots+p_0$ è di Hurwitz senza calcolarne le radici. Si costruisce la tabella (righe $n,n-1,\dots,0$) con $\text{nuovo}=\frac{\text{pivot}\cdot a-\text{prec.}\cdot b}{\text{pivot}}$; se la tabella va a compimento, il numero di variazioni di segno nella prima colonna è il numero di radici con $\mathrm{Re}>0$, le permanenze il numero con $\mathrm{Re}<0$. Elemento nullo in prima colonna: $P$ non è Hurwitz; riga nulla: radici simmetriche (spesso immaginarie) date dal polinomio ausiliario. Con parametro $K$ nei coefficienti dà gli intervalli di stabilità.Criterio di Routh-Hurwitz →.

(i) Le funzioni di trasferimento

Operazionale ideale. $V_-=V_+=0$ (corto virtuale): la corrente $\frac uR$ attraversa $Z_2$, quindi $y=-\frac{Z_2}{Z_1}u$: $$W_{id}(s)=-\frac{Z_2}{Z_1}=-\frac1{sRC}=-\frac1s.$$ (Un integratore invertente.)

Operazionale quasi ideale. Con $V_+=0$ e $V_-=\frac{Z_2u+Z_1y}{Z_1+Z_2}$ si ha $y=G_{op}\,(0-V_-)$, da cui (come in Amplificatori operazionali in retroazione e stabilitàUn amplificatore operazionale in configurazione invertente o non invertente con impedenze $Z_1,Z_2$ è un sistema in retroazione: con guadagno reale $A(s)$ (invece di $\infty$) vale $W_r(s)=W_{id}(s),\frac{L(s)}{1+L(s)}$ con $W_{id}=-\frac{Z_2}{Z_1}$ (invertente) o $1+\frac{Z_2}{Z_1}$ (non invertente) e guadagno d'anello $L=A\beta$, $\beta=\frac{Z_1}{Z_1+Z_2}$. $W_r\to W_{id}$ per $A\to\infty$; la stabilità di $W_r$ si studia sull'equazione caratteristica $1+L=0$ con Routh o luogo delle radici; scambiare i morsetti $\pm$ cambia il segno della retroazione.Amplificatori operazionali in retroazione e stabilità →) $$W_r(s)=-\frac{G_{op}\,Z_2}{Z_1+Z_2+G_{op}\,Z_1}.$$ Con $Z_1=1$ (si pone $R=1$, $C=1$), $Z_2=\frac1s$ e $G_{op}=\frac K{(1+s)^3}$: numeratore $-\frac K{(1+s)^3s}$, denominatore $1+\frac1s+\frac K{(1+s)^3}$. Moltiplicando numeratore e denominatore per $s(1+s)^3$: $$W_r(s)=-\frac{K}{s(1+s)^3+(1+s)^3+Ks}=-\frac K{(1+s)^4+Ks}.$$ Per $K\to\infty$: $W_r\to-\frac Ks\cdot\frac1K=-\frac1s=W_{id}$ ✓.

(ii) Il rapporto come retroazione

$$R(s)=\frac{W_r}{W_{id}}=\frac{-K/((1+s)^4+Ks)}{-1/s}=\frac{K\,s}{(1+s)^4+K\,s}=\frac{K\,\frac s{(1+s)^4}}{1+K\,\frac s{(1+s)^4}}.$$ Quindi $$\boxed{\tilde G(s)=\frac s{(s+1)^4}}\qquad\text{e}\qquad R(s)=\frac{K\tilde G}{1+K\tilde G}.$$ (Coincide con $\frac{L}{1+L}$, $L=G_{op}\beta=\frac K{(1+s)^3}\cdot\frac s{s+1}$, essendo $\beta=\frac{Z_1}{Z_1+Z_2}=\frac s{s+1}$.) $R$ è BIBO stabile se e solo se lo è $W_r$ (hanno lo stesso denominatore).

(iii) Luogo positivo di $\tilde G(s)=\dfrac s{(s+1)^4}$

$n=4$ poli (tutti in $-1$, polo quadruplo) e $m=1$ zero (nell'origine): $4$ rami partono da $-1$, uno finisce nello zero $0$ e $n-m=3$ vanno all'infinito.

Asse reale. Per $\alpha\in(-1,0)$: a destra c'è lo zero in $0$: $1$ (dispari) ✓. Per $\alpha<-1$: a destra ci sono lo zero e i quattro poli in $-1$: $5$ (dispari) ✓. Per $\alpha>0$: $0$ (pari) ✗. Il luogo positivo contiene $(-\infty,0)$.

Asintoti. $n-m=3$: direzioni $\frac\pi3,\ \pi,\ \frac{5\pi}3$; centro $x_B=\dfrac{(-1)\cdot4-0}3=-\dfrac43$.

Punti doppi. $d'n-dn'=4(s+1)^3s-(s+1)^4=(s+1)^3(3s-1)$. Il fattore $(s+1)^3$ è il polo quadruplo ($K=0$: non è un punto doppio). Resta $s=\frac13$ con $K=-\frac dn=-\frac{(4/3)^4}{1/3}=-9{,}48<0$: appartiene al luogo negativo (semiasse positivo) e non al positivo. Il luogo positivo non ha punti doppi (fuori dal polo quadruplo).

Intersezioni con l'asse immaginario. $d+K\tilde n=(s+1)^4+Ks=s^4+4s^3+6s^2+(4+K)s+1$. In $s=j\omega$: parte reale $\omega^4-6\omega^2+1=0\Rightarrow\omega^2=3\pm2\sqrt2=5{,}828$ oppure $0{,}172$ (cioè $\omega=1+\sqrt2=2{,}414$ oppure $\omega=\sqrt2-1=0{,}414$); parte immaginaria $-4\omega^3+(4+K)\omega=0\Rightarrow K=4\omega^2-4$. Con $\omega^2=5{,}828$: $K=19{,}31=8+8\sqrt2>0$ ✓ (luogo positivo); con $\omega^2=0{,}172$: $K=-3{,}31<0$ (luogo negativo). Quindi il luogo positivo attraversa l'asse immaginario in $\pm2{,}414\,j$ per $K=19{,}31$.

Tracciato. Dal polo quadruplo $-1$ i $4$ rami partono con angoli $0^\circ,\,90^\circ,\,180^\circ,\,270^\circ$ (vicino a $-1$ l'equazione $(s+1)^4+Ks=0$ diventa $(s+1)^4\approx K$, le cui quattro radici hanno argomenti $0^\circ,90^\circ,180^\circ,270^\circ$): uno va verso destra lungo l'asse reale e raggiunge lo zero in $0$; uno va verso sinistra lungo $(-\infty,-1)$ fino a $-\infty$ (asintoto di direzione $\pi$); i due rami complessi coniugati salgono e scendono verticalmente, curvano a destra verso gli asintoti di direzione $\pm\frac\pi3$ centrati in $-\frac43$ e attraversano l'asse immaginario in $\pm2{,}414j$ per $K=19{,}31$, passando nel semipiano destro.

(iv) Stabilità BIBO di $R(s)$ per $K>0$

Per $0<K<19{,}31$ tutti i poli sono in $\mathrm{Re}<0$; per $K=19{,}31$ ci sono due poli immaginari $\pm2{,}414j$; per $K>19{,}31$ due poli in $\mathrm{Re}>0$. Controllo numerico: $K=10$: $-3{,}42,\ -0{,}254\pm1{,}98j,\ -0{,}074$; $K=19$: $-3{,}94,\ -0{,}044,\ -0{,}007\pm2{,}40j$; $K=19{,}5$: $+0{,}004\pm2{,}42j$, $-3{,}97,\ -0{,}043$; $K=30$: $0{,}208\pm2{,}77j$.

Risposta. $R(s)$ (e quindi $W_r$) è BIBO stabile se e solo se $0<K<8+8\sqrt2\approx19{,}31$.

Verifica con Routh. $s^4+4s^3+6s^2+(4+K)s+1$: $$\begin{array}{c|ccc}4&1&6&1\\3&4&4+K&\\2&\frac{20-K}4&1&\\1&\frac{(20-K)(4+K)-16}{20-K}&&\\0&1&&\end{array}$$ Condizioni: $20-K>0$ e $(20-K)(4+K)-16>0\iff K^2-16K-64<0\iff K<8+8\sqrt2$ (per $K>0$): quindi $K<19{,}31$ ✓.

Interpretazione. Un operazionale reale ha un guadagno in continua $K$ dell'ordine di $10^5$: con una risposta a tre poli come quella del testo il circuito sarebbe instabile. Nella pratica l'operazionale ha un solo polo dominante (compensazione in frequenza), per cui il guadagno d'anello $L=G_{op}\beta$ ha fase sempre sopra $-180^\circ$ e il circuito è stabile per ogni guadagno (Amplificatori operazionali in retroazione e stabilitàUn amplificatore operazionale in configurazione invertente o non invertente con impedenze $Z_1,Z_2$ è un sistema in retroazione: con guadagno reale $A(s)$ (invece di $\infty$) vale $W_r(s)=W_{id}(s),\frac{L(s)}{1+L(s)}$ con $W_{id}=-\frac{Z_2}{Z_1}$ (invertente) o $1+\frac{Z_2}{Z_1}$ (non invertente) e guadagno d'anello $L=A\beta$, $\beta=\frac{Z_1}{Z_1+Z_2}$. $W_r\to W_{id}$ per $A\to\infty$; la stabilità di $W_r$ si studia sull'equazione caratteristica $1+L=0$ con Routh o luogo delle radici; scambiare i morsetti $\pm$ cambia il segno della retroazione.Amplificatori operazionali in retroazione e stabilità →, esempio con un polo).

Errori comuni

• Dimenticare la formula $W_r=-\frac{G_{op}Z_2}{Z_1+Z_2+G_{op}Z_1}$ e usare il solo rapporto delle impedenze.
• Esprimere $\tilde G$ senza il fattore $\beta$: il polo di $\tilde G$ è in $-1$ (quadruplo: tre dal guadagno dell'operazionale e uno da $\beta$) e c'è uno zero nell'origine ($\beta=\frac s{s+1}$).
• Prendere $s=\frac13$ come punto doppio del luogo positivo: ha $K<0$.
• Accettare $K=19{,}31$ come valore di stabilità (poli immaginari).
• Dimenticare la condizione $K>0$ del testo: per $K<0$ (retroazione positiva) $W_r$ non è mai stabile.