Pulsazione di attraversamento, margine di fase e criterio di Bode

Il criterio di Nyquist (Criterio di Nyquist - versione ristretta e criterio ridottoSia $G$ razionale propria, di cui si conosce il numero $n_{G+}$ di poli con $\mathrm{Re}>0$, e il diagramma di Nyquist completo. Sotto C1 (il diagramma resta al finito, cioè $G$ non ha poli sull'asse immaginario) e C2 (il diagramma non passa per il punto critico $-1+j0$) si ha $N=n_{G+}-n_{W+}$, con $N$ numero di giri del diagramma attorno a $-1$ contati $+$ in senso antiorario e $-$ in senso orario e $n_{W+}$ numero di poli con $\mathrm{Re}>0$ di $W=\frac G{1+G}$. Quindi $W$ è BIBO stabile $\iff N=n_{G+}$; se $G$ è BIBO stabile ($n_{G+}=0$), $W$ è stabile $\iff N=0$ (criterio ridotto).Criterio di Nyquist - versione ristretta e criterio ridotto →) richiede di tracciare il diagramma completo e di contare i giri. Quando la funzione in catena aperta $G$ è "semplice" basta molto meno: leggere sul diagramma di Bode dove il modulo attraversa 0 dB e quanto vale la fase lì. Questa è la strada normale della sintesi del controllore (Problema di regolazione e sintesi per tentativiProblema di regolazione: data $G$ propria, senza poli in $\mathrm{Re}>0$, con $G(0)\ne0$ (cioè $G=\frac{K_B(G)}{s^r}G_1$, $G_1(0)=1$), progettare $C$ propria tale che $W=\frac{CG}{1+CG}$ sia BIBO stabile, di tipo $k$ con $|e_{rp}^{(k+1)}|\le e^$, con $\omega_A\simeq\omega_A^$ e $m_\varphi\ge m_\varphi^$. Sintesi per tentativi: Passo 1 $C'=\frac{K_B(C')}{s^\alpha}$ ($\alpha=\max(k-r,0)$, $|K_B(C')|$ minimo che soddisfa l'errore, segno di $K_B(G)$); Passo 2 $C''$ con $K_B(C'')=1$ che porta $\omega_A$ e $m_\varphi$ ai valori voluti in quattro casi ($\omega_A\gtrless\omega_A^$, $m_\varphi(\omega_A^)\gtrless m_\varphi^$): guadagno, rete anticipatrice, attenuatrice, a sella. Il criterio di Bode garantisce la stabilità.Problema di regolazione e sintesi per tentativi →).

Definizioni

Sia $G(s)$ la funzione di trasferimento in catena aperta.

• Pulsazione di attraversamentopulsazione in cui il modulo della catena aperta vale 1, cioè 0 dB $\omega_A>0$: pulsazione per cui $|G(j\omega_A)|=1$, cioè $|G(j\omega_A)|_{dB}=0$. Nel diagramma di Nyquist è il punto in cui la curva incontra la circonferenza unitaria. Si dice che $\omega_A$ è ben definita se esiste ed è unica.
• Margine di fase180 gradi più la fase di G in ωA: quanta fase si può ancora perdere prima dell'instabilità $m_\varphi$: calcolato in $\omega_A$, $$m_\varphi=\arg G(j\omega_A)-(-180^\circ)=\arg G(j\omega_A)+180^\circ.$$ È l'angolo che separa la fase di $G$ in $\omega_A$ da $-180^\circ$ (il punto critico $-1$ ha fase $-180^\circ$ e modulo $1$): se $m_\varphi>0$ il punto $G(j\omega_A)$ sulla circonferenza unitaria "sta prima" del punto critico, se $m_\varphi<0$ "lo ha già superato". La fase è quella continua del diagramma di Bode (Forma di Bode e diagrammi di Bode dei termini elementariLa forma di Bode scrive $W(s)=\frac{K_B}{s^h}\frac{\prod(1+T_i's)\prod(1+2\xi_i'\frac s{\omega_{ni}'}+\frac{s^2}{\omega_{ni}'^2})}{\prod(1+T_is)\prod(1+2\xi_i\frac s{\omega_{ni}}+\frac{s^2}{\omega_{ni}^2})}$ con $K_B=\lim_{s\to0}s^hW(s)$. Il diagramma di Bode (modulo in dB e fase, su asse $\omega$ logaritmico) si ottiene sommando i contributi dei termini elementari: costante, $s^{\mp1}$ ($\mp20$ dB/dec, $\mp90^\circ$), binomio ($\pm20$ dB/dec dopo $1/|T|$, fase $\pm90^\circ$, opposta se instabile), trinomio ($\pm40$ dB/dec dopo $\omega_n$, fase $\pm180^\circ$, picco $20\log2\xi$).Forma di Bode e diagrammi di Bode dei termini elementari →), definita modulo $360^\circ$.

Esempio. $G(s)=\dfrac{10}{s(1+s)}$. $|G(j\omega)|=\frac{10}{\omega\sqrt{1+\omega^2}}=1\iff\omega^2(1+\omega^2)=100\iff\omega^2=\frac{-1+\sqrt{401}}2=9{,}51$, quindi $\omega_A=3{,}084$ rad/s. La fase è $-90^\circ-\arctan\omega_A=-90^\circ-72{,}0^\circ=-162{,}0^\circ$, dunque $m_\varphi=18{,}0^\circ$ (verificato numericamente).

Il criterio di Bode

Teorema (criterio di Bode). Sia $G(s)$ razionale strettamente propria con

• guadagno di Bode $K_B(G)>0$,
• nessun polo a parte reale positiva ($n_{G+}=0$, sono ammessi poli nell'origine),
• $\omega_A$ ben definita.

Allora $W(s)=\dfrac{G(s)}{1+G(s)}$ è BIBO stabile $\iff m_\varphi>0$.

Giustificazione (dal criterio di Nyquist): con $n_{G+}=0$, $W$ è stabile se e solo se il diagramma di Nyquist non circonda $-1$ ($N=0$). Con $K_B>0$ e $G$ strettamente propria il diagramma parte "con guadagno alto" e arriva all'origine; se interseca la circonferenza unitaria una volta sola, il tratto esterno alla circonferenza finisce prima di $\omega_A$ e quello interno dopo: il punto $-1$ è circondato se e solo se in $\omega_A$ la fase ha già superato $-180^\circ$, cioè $m_\varphi<0$. Le tre ipotesi garantiscono che questa lettura non sia ambigua.

Perché la fase conta. Il sistema in anello chiuso ha poli dove $1+G(j\omega)=0$: serve $|G|=1$ e fase $-180^\circ$ nella stessa pulsazione. Se il modulo scende sotto $1$ prima che la fase arrivi a $-180^\circ$ ($m_\varphi>0$) questa coincidenza non si realizza mai.

Esempio con guadagno variabile. $G(s)=K\,\dfrac{10}{s(1+s)(1+\frac s{10})}$. Il margine di fase decresce al crescere di $K$:

Il margine si annulla per $K=1{,}1$, che è proprio il valore al limite di stabilità trovato con Nyquist e con Routh (Criterio di Nyquist - poli sull'asse immaginario e guadagno variabileSe $G$ ha poli sull'asse immaginario il diagramma va all'infinito e si chiude al finito con archi di raggio infinito percorsi in senso orario: un polo di molteplicità $\mu$ in $j\omega_0$ ($\omega_0\ge0$) aggiunge un arco di ampiezza $\mu\pi$ tra $G(j(\omega_0-\epsilon))$ e $G(j(\omega_0+\epsilon))$ (per $\omega_0=0$ gli estremi sono i rami $\omega\to0^\mp$). Poi vale ancora $N=n_{G+}-n_{W+}$, con $n_{G+}$ che non conta i poli immaginari. Per $W=\frac{KG}{1+KG}$, $K\in\mathbb R\setminus{0}$, il punto critico è $-\frac1K$: si conta $N$ in ciascun intervallo dell'asse reale tra le intersezioni del diagramma; quando $-\frac1K$ è sul diagramma $W$ ha poli immaginari (caso critico).Criterio di Nyquist - poli sull'asse immaginario e guadagno variabile →): il criterio di Bode dà la stessa risposta ($m_\varphi>0\iff K<1{,}1$).

Margine di guadagno

Il margine di fase misura la fase che si può perdere. Il margine di guadagno misura invece il guadagno che si può moltiplicare: sia $\omega_\pi$ la pulsazione in cui la fase di $G(j\omega)$ vale $-180^\circ$ (il diagramma di Nyquist taglia il semiasse reale negativo). Si pone $$k_g=\frac1{|G(j\omega_\pi)|}\quad(\text{in dB: }-|G(j\omega_\pi)|_{dB}).$$ Il sistema retroazionato con la catena aperta $kG$ resta stabile finché $k<k_g$ (il diagramma resta a destra del punto critico $-\frac1k$). Esempi: $G=\frac1{(s+1)^3}$: $\omega_\pi=\sqrt3$, $|G|=\frac18$, $k_g=8$ ($18$ dB), il limite $K<8$ trovato con Routh; $G=\frac{10}{s(1+s)(1+s/10)}$: $\omega_\pi=\sqrt{10}$, $|G|=\frac{10}{11}$, $k_g=1{,}1$ ($0{,}83$ dB), il limite di $K$ già visto. Un buon progetto ha margini di fase di almeno $45^\circ$ e margini di guadagno di qualche dB (nei temi d'esame si specifica il margine di fase).

Margine di fase e ritardi di tempo

Un ritardo puro $T$ nell'anello ($G(s)\to G(s)e^{-sT}$) lascia il modulo invariato e toglie fase $\omega T$ radianti a ogni pulsazione: $\arg\big[G(j\omega)e^{-j\omega T}\big]=\arg G(j\omega)-\omega T$. In $\omega_A$ il margine di fase diventa $m_\varphi-\omega_AT$ (in radianti): il sistema resta stabile finché $$T<T_{max}=\frac{m_\varphi\ [\mathrm{rad}]}{\omega_A}.$$ Esempio. Per $\tilde G=\dfrac{10}{(1+\frac s{10})(1+\frac s{10^4})}$ (l'anello progettato nell'esempio del progetto con una rete anticipatriceLa rete anticipatrice $C_{ant}(s)=\frac{1+s/z}{1+s/p}=\frac{1+sT}{1+\alpha Ts}$ con $0<z<p$ ($\alpha=\frac zp<1$) ha $K_B=1$, alza il modulo di $20\log\frac pz$ dB tra $z$ e $p$ e aggiunge fase (massimo $\arcsin\frac{1-\alpha}{1+\alpha}$ in $\sqrt{zp}$). Si usa nei casi ②, ④ (parte anticipatrice) della sintesi: con $\Phi\le90^\circ$ si mette uno zero $\frac M{20}$ decadi prima di $\omega_A^$; con $90^\circ<\Phi\le180^\circ$ due zeri a $\frac M{40}$ decadi; il polo (o i poli) almeno una o due decadi dopo $\omega_A^$ per rendere la rete propria.Reti anticipatrici →) $\omega_A=99{,}49$ rad/s e $m_\varphi=95{,}17^\circ=1{,}661$ rad, quindi $T_{max}=\frac{1{,}661}{99{,}49}=16{,}7$ ms: con un ritardo di $16{,}7$ ms la fase in $\omega_A$ diventa $-84{,}83^\circ-95{,}17^\circ=-180^\circ$ (verificato). Questo mette in relazione la banda ($\omega_A$ alto) con la sensibilità ai ritardi.

Quando il criterio non si applica

• $K_B<0$: il punto di partenza del diagramma ha segno cambiato; si cambia il segno del controllore ($K_B(C)<0$) per avere $K_B(\tilde G)>0$.
• Poli instabili di $G$: serve il criterio di Nyquist; per esempio $G=\frac{10}{s-1}$ ha $\omega_A=9{,}95$ ma $n_{G+}=1$: la regola "$m_\varphi>0\Rightarrow$ stabile" non vale.
• $\omega_A$ non unica (modulo che attraversa 0 dB più volte, per esempio per picchi di risonanza o zeri immaginari) o inesistente (il modulo non raggiunge mai $0$ dB: allora $|G|<1$ sempre e $W$ è stabile se $G$ lo è, ma il margine non è definito). In questi casi si usa Nyquist.
• $G$ non strettamente propria: serve Nyquist.

Errori comuni

• Calcolare il margine come $\arg G(j\omega_A)$ invece di $\arg G(j\omega_A)+180^\circ$.
• Leggere la fase di $G$ su un diagramma senza tenere conto del segno di $K_B$ e della convenzione della fase iniziale.
• Applicare il criterio di Bode a sistemi con poli instabili o con più attraversamenti.
• Dire che $m_\varphi>0$ garantisce "buone prestazioni": garantisce la stabilità; la qualità dipende da quanto è grande (Margine di fase, banda e picco di risonanzaPer $G$ strettamente propria, senza poli instabili, con $K_B>0$ e $\omega_A$ ben definita, la banda di $W=\frac G{1+G}$ è molto vicina a $\omega_A$ ($B_p\approx\omega_A$) e il tempo di salita si stima con $t_r\approx\frac{2{,}3}{\omega_A}$. Il margine di fase controlla le oscillazioni: $|W(j\omega_A)|=\frac1{2\sin(m_\varphi/2)}$, che approssima il picco di risonanza; per $\frac{\omega_n^2}{s(s+2\xi\omega_n)}$ si ha $m_\varphi\approx100,\xi$ gradi. Specifiche tipiche: $m_\varphi\ge45^\circ$ per poche oscillazioni, $m_\varphi\approx90^\circ$ per risposta tipo primo ordine.Margine di fase, banda e picco di risonanza →).