Criterio di Routh-Hurwitz

Per dire se un modello è stabile (Stabilità asintotica e BIBO dei modelli I-OIl modello è asintoticamente stabile se la libera tende a zero per ogni stato iniziale: tutte le radici di $a(s)$ hanno $\mathrm{Re}<0$ ($a(s)$ di Hurwitz). È BIBO stabile se a ogni ingresso limitato corrisponde un'uscita forzata limitata: equivale a $\int_0^\infty|w|<\infty$, cioè a poli di $W(s)$ (ridotta) tutti in $\mathrm{Re}<0$. Asintotica $\Rightarrow$ BIBO, non viceversa (cancellazioni polo-zero instabili). Poli immaginari semplici: non BIBO (risonanza).Stabilità asintotica e BIBO dei modelli I-O →) bisogna sapere se un polinomio ha tutte le radici con parte reale negativa. Calcolare le radici è impraticabile oltre il quarto grado e impossibile quando i coefficienti contengono un parametro $K$. Il criterio di Routh-Hurwitz risponde con sole operazioni algebriche sui coefficienti.

La tabella di Routh

Sia $P(s)=p_ns^n+p_{n-1}s^{n-1}+\dots+p_1s+p_0\in\mathbb R[s]$, $p_n\ne0$. La tabella ha $n+1$ righe, etichettate dal grado $n,n-1,\dots,1,0$.

Inizializzazione. Le prime due righe contengono i coefficienti alternati: $$\begin{array}{c|cccc}n&p_n&p_{n-2}&p_{n-4}&\cdots\\ n-1&p_{n-1}&p_{n-3}&p_{n-5}&\cdots\end{array}$$ Si completa con zeri se serve.

Passo ricorsivo. Siano $(a_1,a_2,a_3,\dots)$ la riga a due posti sopra e $(b_1,b_2,b_3,\dots)$ la riga subito sopra; il primo elemento $b_1$ è il pivotprimo elemento della riga subito sopra, per cui si divide. La riga da costruire ha come $j$-esimo elemento $$c_j=\frac{b_1\,a_{j+1}-a_1\,b_{j+1}}{b_1}.$$ In parole: si prende il determinante $2\times2$ formato dalle colonne $1$ e $j+1$ delle due righe (con il segno cambiato) e lo si divide per il pivot. Gli elementi mancanti si considerano nulli, e ogni riga ha un elemento in meno circa ogni due righe.

Teorema. Se la tabella va a compimento (nessun elemento della prima colonna è nullo) allora il numero di variazioni di segno nella prima colonna è il numero di radici di $P$ con parte reale positiva, il numero di permanenze è il numero di radici con parte reale negativa, e non ci sono radici sull'asse immaginario. In particolare $P$ è di Hurwitz $\iff$ tutti gli elementi della prima colonna sono non nulli e dello stesso segno.

Esempio 1: polinomio di Hurwitz. $P=s^3+6s^2+11s+6=(s+1)(s+2)(s+3)$: $$\begin{array}{c|cc}3&1&11\\2&6&6\\1&\frac{6\cdot11-1\cdot6}{6}=10&0\\0&\frac{10\cdot6-6\cdot0}{10}=6\end{array}$$ Prima colonna $1,6,10,6$: nessuna variazione, tre permanenze: tre radici con $\mathrm{Re}<0$ ✓.

Esempio 2: due radici instabili. $P=s^3+s^2+2s+8$: righe $(1,2)$, $(1,8)$, poi $\frac{1\cdot2-1\cdot8}{1}=-6$, infine $8$. Prima colonna $1,1,-6,8$: segni $+,+,-,+$, due variazioni ($+\to-$ e $-\to+$) $\Rightarrow$ 2 radici con $\mathrm{Re}>0$ e 1 con $\mathrm{Re}<0$. Le radici vere sono $-2$ e $0{,}5\pm1{,}94j$ ✓. Questo polinomio ha tutti i coefficienti positivi: Cartesio non basta.

Casi particolari

Il primo elemento di una riga è nullo (ma la riga non è tutta nulla). La tabella non può proseguire (si dovrebbe dividere per $0$): $P$ non è di Hurwitz. Per contare le radici instabili si sostituisce lo zero con un numero positivo piccolo $\varepsilon$ e si studia il segno degli elementi per $\varepsilon\to0^+$. Esempio $P=s^3-3s+2=(s-1)^2(s+2)$: righe $(1,-3)$ e $(0,2)$; con $\varepsilon$: $(\varepsilon,2)$, poi $\frac{-3\varepsilon-2}{\varepsilon}\approx-\frac2\varepsilon<0$, poi $2$. Prima colonna $1,\varepsilon,-\frac2\varepsilon,2$: due variazioni $\Rightarrow$ 2 radici instabili ✓.

Un'intera riga è nulla. Il polinomio ha radici simmetriche rispetto all'origine (coppie $\pm\sigma$ o $\pm j\omega$). Le radici simmetriche sono quelle del polinomio ausiliariopolinomio costruito con gli elementi della riga sopra quella nulla: le sue radici sono radici del polinomio dato, che si forma con la riga immediatamente sopra a quella nulla (i suoi elementi sono i coefficienti di $s^i,s^{i-2},\dots$). Esempio $P=s^4+3s^3+3s^2+3s+2=(s^2+1)(s+1)(s+2)$: $$\begin{array}{c|ccc}4&1&3&2\\3&3&3&0\\2&2&2&0\\1&0&0&0\end{array}$$ La riga $s^1$ è nulla. Il polinomio ausiliario viene dalla riga $s^2$: $2s^2+2=0\Rightarrow s=\pm j$: sono due radici immaginarie di $P$ ✓. $P$ non è Hurwitz (radici sull'asse), ma il sistema non diverge liberamente: ha oscillazioni non smorzate.

Scorciatoie per i gradi bassi

Per il terzo grado la condizione viene dalla tabella: la riga $s^1$ ha pivot $\frac{p_2p_1-p_3p_0}{p_2}$, che deve essere positivo.

Studio al variare di un parametro

Quando un coefficiente contiene $K$, gli elementi della prima colonna sono funzioni razionali di $K$ e le condizioni di Hurwitz diventano disuguaglianze in $K$. È il modo standard di decidere per quali guadagni un sistema retroazionato è BIBO stabile (Tipo e errore a regime di un sistema retroazionatoSe $W=\frac{\tilde G}{1+\tilde G}$ (con $\tilde G$ propria) è propria, BIBO stabile e $W(0)\ne0$, il tipo di $W$ coincide con il numero $h$ di poli nell'origine di $\tilde G$ (integratori in catena aperta). L'errore a regime corrispondente è $e_{rp}^{(h+1)}=\frac1{K_B(\tilde G)}$ per $h\ge1$ e $e_{rp}^{(1)}=\frac1{1+K_B(\tilde G)}$ per $h=0$. Per ridurre l'errore si alza il guadagno di Bode o si aggiungono integratori, compatibilmente con la stabilità.Tipo e errore a regime di un sistema retroazionato →).

Esempio. Sistema retroazionato con $d(s)+Kn(s)=s^3+(10K-11)s^2+10s+10K$ (preso dall'esercizio sul tema di luglio 2025): $$\begin{array}{c|cc}3&1&10\\2&10K-11&10K\\1&\dfrac{10(9K-11)}{10K-11}&0\\0&10K\end{array}$$ Hurwitz $\iff10K-11>0$ (cioè $K>\frac{11}{10}$), $\frac{10(9K-11)}{10K-11}>0$ (cioè $K>\frac{11}9$ o $K<\frac{11}{10}$) e $10K>0$: l'intersezione è $K>\frac{11}9\approx1{,}22$. Per $K=\frac{11}9$ la riga $s^1$ si annulla e il polinomio ausiliario $s^2(10K-11)+10K=\frac{11}9s^2+\frac{110}9$ (verificare: $10K-11=\frac{110}9-11=\frac{11}9$) ha radici $s=\pm j\sqrt{10}$. Controllo numerico: per $K=1{,}2$ le radici sono $0{,}09\pm3{,}19j$ e $-1{,}18$ (instabile), per $K=1{,}3$ sono $-0{,}29\pm3{,}02j$ e $-1{,}42$ (stabile).

Come si usa nel corso

Il criterio si applica a $d(s)+Kn(s)$ (Luogo delle radici - stabilità BIBO al variare di KPer studiare la stabilità BIBO di $W_K=\frac{KG}{1+KG}$ al variare di $K\in\mathbb R\setminus{0}$ si tracciano luogo positivo e negativo (rami, asse reale, asintoti, punti doppi con il segno di $K$, intersezioni con l'asse immaginario con il loro $K$) e si segue come i rami si muovono rispetto all'asse immaginario: il numero di poli in $\mathrm{Re}>0$ cambia solo agli attraversamenti. $W_K$ è BIBO stabile per i soli $K$ con tutti i rami in $\mathrm{Re}<0$; ai $K$ critici (attraversamento) ci sono poli immaginari. La tabella di Routh su $d+Kn$ dà gli stessi risultati.Luogo delle radici - stabilità BIBO al variare di K →) e a $a(s)$ per la stabilità del modello. Lo scopo è doppio: sapere se tutte le radici sono stabili e, quando non lo sono, quante sono instabili, informazione che serve anche per controllare il risultato di Nyquist.

Errori comuni

• Dividere per un pivot nullo senza accorgersene: se la prima colonna ha uno zero la tabella si ferma.
• Dimenticare che le variazioni vanno contate sulla prima colonna dopo aver inserito i segni di tutte le righe, non sul solo ultimo termine.
• Con riga nulla, concludere "stabile": ci sono radici sull'asse immaginario (non Hurwitz). Il polinomio ausiliario si prende dalla riga sopra quella nulla.
• Applicare a un polinomio con $p_n<0$ senza considerare che il segno globale non conta ma i confronti sì: si può moltiplicare tutto $P$ per $-1$.
• Errori di calcolo nelle righe con parametro: semplificare le frazioni solo dopo aver controllato il segno del denominatore.