Esercizio 4sistema del primo ordine da valore a regime e tempo di salita (tema d'esame febbraio 2024)

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Teoria usata: Risposta al gradino e suoi parametriPer $W$ strettamente propria, BIBO stabile e con $W(0)\ne0$ la risposta al gradino $w_{-1}$ parte da $0$ e tende a $W(0)$. I suoi parametri (al 10%) sono il tempo di salita $t_r=\min{t:|w_{-1}(t)-W(0)|\le0{,}1|W(0)|}$, il tempo di assestamento $t_s$ (da cui in poi la risposta resta nella banda del 10%) e la sovraelongazione $S=\frac{\max w_{-1}-W(0)}{W(0)}\cdot100%$. Se la risposta è monotona $t_r=t_s$ e $S=0$. Per $W=\frac K{s+p}$: $t_r=t_s=\frac{\ln10}p$. Uno zero instabile produce sottoelongazione (undershoot).Risposta al gradino e suoi parametri →, Risposta al gradino e risposta in frequenza - sistemi del primo e del secondo ordineParametri della risposta in frequenza: banda passante $B_p$ (modulo entro $3$ dB da $|W(0)|$), pulsazione di risonanza $\omega_r$, picco di risonanza $M_r$. Per sistemi del 1° e 2° ordine strettamente propri, BIBO stabili, con $W(0)\ne0$ e senza zeri instabili: risposta al gradino monotona $\Leftrightarrow$ modulo monotono (niente picco); oscillazioni $\Leftrightarrow$ picco di risonanza; $B_p,t_r\approx2{,}3$ (proporzionalità inversa). Per $\frac{\omega_n^2}{s^2+2\xi\omega_ns+\omega_n^2}$: $S=100e^{-\pi\xi/\sqrt{1-\xi^2}}$, $M_r=\frac1{2\xi\sqrt{1-\xi^2}}$.Risposta al gradino e risposta in frequenza - sistemi del primo e del secondo ordine →.

(1) Perché serve $p>0$

I parametri della risposta al gradino (valore a regime, tempo di salita) sono definiti per un sistema BIBO stabile, strettamente proprio e con $W(0)\ne0$ (Risposta al gradino e suoi parametriPer $W$ strettamente propria, BIBO stabile e con $W(0)\ne0$ la risposta al gradino $w_{-1}$ parte da $0$ e tende a $W(0)$. I suoi parametri (al 10%) sono il tempo di salita $t_r=\min{t:|w_{-1}(t)-W(0)|\le0{,}1|W(0)|}$, il tempo di assestamento $t_s$ (da cui in poi la risposta resta nella banda del 10%) e la sovraelongazione $S=\frac{\max w_{-1}-W(0)}{W(0)}\cdot100%$. Se la risposta è monotona $t_r=t_s$ e $S=0$. Per $W=\frac K{s+p}$: $t_r=t_s=\frac{\ln10}p$. Uno zero instabile produce sottoelongazione (undershoot).Risposta al gradino e suoi parametri →). $W=\frac K{s+p}$ è strettamente propria; il polo $-p$ ha parte reale negativa se e solo se $p>0$. Quindi si cerca $p>0$ e $K\ne0$.

(2) Le due condizioni

Per $W=\frac K{s+p}$ si ha $W_{-1}=\frac K{s(s+p)}=\frac{K/p}s-\frac{K/p}{s+p}$ e $$w_{-1}(t)=\frac Kp\left(1-e^{-pt}\right).$$

• Valore a regime: $\lim_{t\to\infty}w_{-1}=\frac Kp=W(0)$. Si impone $\frac Kp=1{,}1$.
• Tempo di salita: la risposta è monotona e arriva al $90\%$ del valore finale quando $e^{-pt_r}=0{,}1$, cioè $t_r=\frac{\ln10}p$. Si impone $\frac{\ln10}p=0{,}23$.

(3) Risoluzione

Dalla seconda: $p=\frac{\ln10}{0{,}23}=\frac{2{,}3026}{0{,}23}=10{,}01\approx10$ rad/s. Dalla prima: $K=1{,}1\,p=11{,}01\approx11$. La soluzione (con l'approssimazione del dato $t_r\approx0{,}23$) è $$p=10,\qquad K=11,\qquad W(s)=\frac{11}{s+10}.$$ Verifica: $W(0)=1{,}1$ ✓ e $t_r=\frac{\ln10}{10}=0{,}2303$ s ✓. Il sistema è BIBO stabile ($p=10>0$).

La banda del sistema è $B_p=p=10$ rad/s e vale $B_pt_r=2{,}30$, come nella relazione generale (Risposta al gradino e risposta in frequenza - sistemi del primo e del secondo ordineParametri della risposta in frequenza: banda passante $B_p$ (modulo entro $3$ dB da $|W(0)|$), pulsazione di risonanza $\omega_r$, picco di risonanza $M_r$. Per sistemi del 1° e 2° ordine strettamente propri, BIBO stabili, con $W(0)\ne0$ e senza zeri instabili: risposta al gradino monotona $\Leftrightarrow$ modulo monotono (niente picco); oscillazioni $\Leftrightarrow$ picco di risonanza; $B_p,t_r\approx2{,}3$ (proporzionalità inversa). Per $\frac{\omega_n^2}{s^2+2\xi\omega_ns+\omega_n^2}$: $S=100e^{-\pi\xi/\sqrt{1-\xi^2}}$, $M_r=\frac1{2\xi\sqrt{1-\xi^2}}$.Risposta al gradino e risposta in frequenza - sistemi del primo e del secondo ordine →).

Errori comuni

• Usare $t_r=\frac1p$ (costante di tempo) o $\frac{\ln9}p$ (tempo "da $10\%$ a $90\%$"): nel corso $t_r$ è il tempo di ingresso nella banda del $10\%$, cioè $90\%$ del finale, quindi $\frac{\ln10}p$.
• Dimenticare che il valore a regime è $W(0)=\frac Kp$, non $K$.
• Non verificare $p>0$: con $p<0$ il sistema è instabile e non ha risposta a regime.
• Scrivere $t_r=0{,}23$ come eguaglianza esatta e ottenere $p=10$ precisamente: è un valore approssimato del dato.