Esercizio 22sintesi di tipo 2 con anticipo di fase (tema d'esame gennaio 2023)

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Teoria usata: Problema di regolazione e sintesi per tentativiProblema di regolazione: data $G$ propria, senza poli in $\mathrm{Re}>0$, con $G(0)\ne0$ (cioè $G=\frac{K_B(G)}{s^r}G_1$, $G_1(0)=1$), progettare $C$ propria tale che $W=\frac{CG}{1+CG}$ sia BIBO stabile, di tipo $k$ con $|e_{rp}^{(k+1)}|\le e^$, con $\omega_A\simeq\omega_A^$ e $m_\varphi\ge m_\varphi^$. Sintesi per tentativi: Passo 1 $C'=\frac{K_B(C')}{s^\alpha}$ ($\alpha=\max(k-r,0)$, $|K_B(C')|$ minimo che soddisfa l'errore, segno di $K_B(G)$); Passo 2 $C''$ con $K_B(C'')=1$ che porta $\omega_A$ e $m_\varphi$ ai valori voluti in quattro casi ($\omega_A\gtrless\omega_A^$, $m_\varphi(\omega_A^)\gtrless m_\varphi^$): guadagno, rete anticipatrice, attenuatrice, a sella. Il criterio di Bode garantisce la stabilità.Problema di regolazione e sintesi per tentativi →, Reti anticipatriciLa rete anticipatrice $C_{ant}(s)=\frac{1+s/z}{1+s/p}=\frac{1+sT}{1+\alpha Ts}$ con $0<z<p$ ($\alpha=\frac zp<1$) ha $K_B=1$, alza il modulo di $20\log\frac pz$ dB tra $z$ e $p$ e aggiunge fase (massimo $\arcsin\frac{1-\alpha}{1+\alpha}$ in $\sqrt{zp}$). Si usa nei casi ②, ④ (parte anticipatrice) della sintesi: con $\Phi\le90^\circ$ si mette uno zero $\frac M{20}$ decadi prima di $\omega_A^$; con $90^\circ<\Phi\le180^\circ$ due zeri a $\frac M{40}$ decadi; il polo (o i poli) almeno una o due decadi dopo $\omega_A^$ per rendere la rete propria.Reti anticipatrici →, Controllori PIDIl controllore PID calcola $u=K_pe+K_d\dot e+K_i\int e$, cioè $C_{PID}(s)=K_p+K_ds+\frac{K_i}s=\frac{K_i}s\Big(1+\frac{K_p}{K_i}s+\frac{K_d}{K_i}s^2\Big)$ (due zeri e un polo nell'origine: non proprio). Nella sintesi per tentativi $\frac{K_i}s$ alza il tipo (Passo 1) e i due zeri sono una doppia azione anticipatrice (Passo 2): $PI$ = un integratore + uno zero (anticipo fino a $90^\circ$), $PID$ = integratore + due zeri (anticipo fino a $180^\circ$), $PD$ = zero senza integratore. Gli zeri si mettono $\frac M{20}$ (PI) o $\frac M{40}$ decadi ciascuno (PID) prima di $\omega_A^*$.Controllori PID →, Tipo e errore a regime di un sistema retroazionatoSe $W=\frac{\tilde G}{1+\tilde G}$ (con $\tilde G$ propria) è propria, BIBO stabile e $W(0)\ne0$, il tipo di $W$ coincide con il numero $h$ di poli nell'origine di $\tilde G$ (integratori in catena aperta). L'errore a regime corrispondente è $e_{rp}^{(h+1)}=\frac1{K_B(\tilde G)}$ per $h\ge1$ e $e_{rp}^{(1)}=\frac1{1+K_B(\tilde G)}$ per $h=0$. Per ridurre l'errore si alza il guadagno di Bode o si aggiungono integratori, compatibilmente con la stabilità.Tipo e errore a regime di un sistema retroazionato →, Pulsazione di attraversamento, margine di fase e criterio di BodeLa pulsazione di attraversamento $\omega_A$ è la $\omega>0$ in cui $|G(j\omega)|=1$ (0 dB); il margine di fase è $m_\varphi=180^\circ+\arg G(j\omega_A)$: quanta fase si può ancora perdere prima di arrivare a $-180^\circ$. Criterio di Bode: se $G$ è strettamente propria, ha guadagno di Bode $K_B>0$, nessun polo con $\mathrm{Re}>0$ e $\omega_A$ è ben definita (esiste ed è unica), allora $W=\frac G{1+G}$ è BIBO stabile $\iff m_\varphi>0$. Più $m_\varphi$ è grande, più il sistema è lontano dall'instabilità e meno oscilla.Pulsazione di attraversamento, margine di fase e criterio di Bode →.

Ipotesi sul processo. $G(s)=\dfrac{s+100}s=\dfrac{100\,(1+\frac s{100})}{s}$: $K_B(G)=100>0$, $r=1$ (un polo nell'origine), nessuno zero in $0$ e nessun polo instabile: si può applicare la sintesi.

Passo 1: tipo 2 ed errore $0{,}1$

Il tipo richiesto è $k=2$ e $G$ ha già $r=1$ integratore: servono $\alpha=k-r=1$ integratori nel controllore. L'errore alla rampa parabolica con tipo $2$ è $|e_{rp}^{(3)}|=\frac1{|K_B(C')K_B(G)|}\le0{,}1\Rightarrow|K_B(C')|\ge\frac1{100\cdot0{,}1}=0{,}1$. Con segno di $K_B(G)$ (positivo): $$C'(s)=\frac{0{,}1}s.$$ Allora $C'G=\dfrac{0{,}1\,(s+100)}{s^2}=\dfrac{10\left(1+\frac s{100}\right)}{s^2}$: due poli nell'origine, $K_B=10$.

Passo 2: $\omega_A$ e margine di fase

In $\omega=\omega_A^*=10$: modulo $20\log\left[\frac{10\sqrt{1+0{,}01}}{100}\right]=-19{,}96$ dB, fase $-180^\circ+\arctan0{,}1=-174{,}3^\circ$, cioè $m_\varphi(\omega_A^*)=5{,}7^\circ$. Per $\omega<10$ il modulo è maggiore di $0$ dB e in $\omega=10$ è già sotto (la pulsazione di attraversamento di $C'G$ è circa $3{,}2$ rad/s $<\omega_A^*$): caso ② con $M=19{,}96\approx20$ dB da guadagnare e $\Phi=80^\circ-5{,}7^\circ=74{,}3^\circ<90^\circ$: un solo zero, collocato $\frac M{20}=1$ decade prima di $\omega_A^*$, cioè in $\omega=1$ rad/s: $C''=1+s$. Il prodotto $C'C''=\frac{0{,}1(1+s)}s$ è già proprio (grado $1/1$); la catena aperta $CG$ ha però grado relativo $0$ (bipropria, $CG\to0{,}1$ a frequenza infinita): per applicare il criterio di Bode (che richiede $\tilde G$ strettamente propria) si aggiunge un polo lontano, a $10^3$ rad/s ($2$ decadi dopo $\omega_A^*$, costo di fase $0{,}6^\circ$).

Controllore. $$C(s)=\frac{0{,}1\,(1+s)}{s\left(1+\frac s{1000}\right)}\qquad\Big(\text{un PI con filtro: }\ K_p=0{,}1,\ K_i=0{,}1\Big).$$ Verifica. $CG=\dfrac{0{,}1\,(1+s)(s+100)}{s^2\left(1+\frac s{1000}\right)}$. In $\omega=10$: modulo $0{,}1\cdot\frac{10{,}05\cdot100{,}5}{100}=1{,}01$ ($\omega_A=10{,}10$ rad/s) e fase $-180^\circ+\arctan10+\arctan0{,}1-\arctan0{,}01=-180^\circ+84{,}29^\circ+5{,}71^\circ-0{,}57^\circ=-90{,}57^\circ$: $m_\varphi=89{,}4^\circ\ge80^\circ$ ✓. Tipo $2$ (due integratori in $CG$) ed $e_{rp}^{(3)}=\frac1{K_B(CG)}=\frac1{0{,}1\cdot100}=0{,}1$ ✓. $K_B(CG)=10>0$, poli in $0$ (doppio) e $-1000$ (nessuno in $\mathrm{Re}>0$), strettamente propria, $\omega_A$ unica: BIBO stabile per il criterio di Bode; poli di $W$: $-1090{,}7$, $-8{,}12$, $-1{,}13$ (verificato).

Errori comuni

• Imporre tipo $2$ con un guadagno qualunque: il tipo viene dal polo nell'origine in $C'$ (qui un solo integratore in più, perché $G$ ne ha già uno).
• Calcolare l'errore alla rampa parabolica con la formula del tipo $0$ ($\frac1{1+K_B}$): per il tipo $2$ è $\frac1{K_B(CG)}$ con $K_B(CG)=K_B(C')K_B(G)$.
• Dimenticare lo zero: con il solo $C'=\frac{0{,}1}s$ la fase è $-174^\circ$ in $\omega_A^*$, margine di $5{,}7^\circ$, ben sotto $80^\circ$.
• Dimenticare che il criterio di Bode richiede catena aperta strettamente propria: qui serve il polo lontano (altrimenti $CG(\infty)=0{,}1\ne0$).
• Confondere il PI con un PD: qui lo zero è in $-1$ e c'è il polo nell'origine (il tipo aumenta).