Stabilità asintotica e BIBO dei modelli I-O

Un sistema di controllo deve prima di tutto essere stabile: senza questa proprietà piccole perturbazioni o ingressi limitati producono uscite che crescono senza limite. Per un modello I/O si usano due nozioni, entrambe riconducibili alla posizione dei poli nel piano complesso.

Le due definizioni

Stabilità asintotica. Il modello $a(\tfrac d{dt})y=b(\tfrac d{dt})u$ è asintoticamente stabile se l'evoluzione libera tende a zero per $t\to\infty$ per ogni scelta delle condizioni iniziali: $$\lim_{t\to\infty}y_\ell(t)=0\quad\forall\,(y(0),\dots,y^{(n-1)}(0)).$$

Stabilità BIBO (Bounded Input, Bounded Output). Il modello è BIBO stabile se a ogni ingresso limitato causale corrisponde un'uscita forzata limitata: $\exists M_u<\infty:\ |u(t)|\le M_u\ \forall t\Rightarrow\exists M_y<\infty:\ |y_f(t)|\le M_y\ \forall t$. Qui l'uscita è la sola evoluzione forzata (condizioni iniziali nulle).

La prima riguarda il comportamento "interno" (modi), la seconda il comportamento "esterno" (ingresso $\to$ uscita).

Caratterizzazione sui poli

Stabilità asintotica. Poiché $y_\ell$ è combinazione dei modi $t^ke^{\lambda t}$ delle radici di $a(s)$ (Sistemi dinamici e modelli ingresso-uscita SISOUn modello ingresso/uscita SISO LTI è un'equazione differenziale $\sum_{i=0}^na_iy^{(i)}=\sum_{i=0}^mb_iu^{(i)}$ con $n\ge m$ (modello proprio). L'uscita è somma di evoluzione libera (dallo stato iniziale, ingresso nullo) e forzata (da stato nullo, $y_f=w*u$, $Y_f=W(s)U(s)$ con $W=b(s)/a(s)$). Le soluzioni libere sono combinazioni dei modi $t^ke^{\lambda t}$ delle radici di $a(s)$.Sistemi dinamici e modelli ingresso-uscita SISO →) e un modo tende a zero se e solo se $\mathrm{Re}\,\lambda<0$: $$\text{asintoticamente stabile}\iff\text{tutte le radici di }a(s)\text{ hanno parte reale negativa}.$$ Un polinomio con questa proprietà si dice di Hurwitzcon tutte le radici a parte reale negativa.

BIBO. Si scrive $W(s)=\frac{b(s)}{a(s)}$ con $b,a$ coprimi (rappresentazione irriducibilenumeratore e denominatore senza fattori comuni). Vale la $$\boxed{\text{BIBO stabile}\iff\int_0^{\infty}|w(t)|\,dt<\infty\iff\text{tutti i poli di }W(s)\text{ hanno }\mathrm{Re}<0\quad(W\text{ propria}).}$$ Perché. ($\Leftarrow$) Se $\int|w|=M<\infty$, per $|u|\le M_u$ si ha $|y_f(t)|=\left|\int_0^tw(\tau)u(t-\tau)d\tau\right|\le M_uM$. ($\Rightarrow$) Se $\int|w|=\infty$ si sceglie l'ingresso limitato $u(t-\tau)=\mathrm{sign}\,w(\tau)$ fino a un istante $T$: $y_f(T)=\int_0^T|w|\to\infty$, quindi l'uscita non è limitata per ogni $M_y$. Per la seconda equivalenza si scompone $w$ in modi: ogni termine $t^ke^{\lambda t}$ è integrabile (in modulo) se e solo se $\mathrm{Re}\,\lambda<0$; un termine con $\mathrm{Re}\,\lambda\ge0$ non lo è, perché $|t^ke^{\lambda t}|\ge1$ per $t$ grande. Se $W$ non è propria compaiono $\delta'$ e derivate superiori, che non danno uscite limitate a ingressi limitati (Causalità, stabilità e connessioni dei sistemi LTIPer un sistema LTI le proprietà si leggono sulla risposta impulsiva $h$: causale se $h$ è nulla per $t<0$; reale se $h$ è reale; statico se $h=K\delta$; BIBO stabile se e solo se $h$ è assolutamente integrabile (sommabile nel discreto). Serie e parallelo corrispondono a $h_1*h_2$ e $h_1+h_2$.Causalità, stabilità e connessioni dei sistemi LTI →).

Condizione equivalente sulla risposta impulsiva. Per $W$ razionale propria si può anche dire che il modello è BIBO stabile se e solo se $w(t)\to0$ per $t\to\infty$ (un modo con $\mathrm{Re}\,\lambda\ge0$ non tende a zero).

Relazione tra le due: asintotica $\Rightarrow$ BIBO

I poli di $W$ sono radici di $a(s)$ non cancellate da uno zero. Quindi:

• asintoticamente stabile $\Rightarrow$ tutte le radici di $a$ hanno $\mathrm{Re}<0$ $\Rightarrow$ in particolare i poli di $W$ $\Rightarrow$ BIBO stabile;
• BIBO non implica asintotica. Se $a(s)$ e $b(s)$ hanno un fattore comune instabile non compare tra i poli di $W$, ma il modo corrispondente esiste nell'evoluzione libera. Per $y'-y=u'-u$: $W(s)=\frac{s-1}{s-1}=1$ è BIBO stabile ($y_f=u$), ma $a(s)=s-1$ ha radice $+1$ e la libera $y_\ell=y_0e^{t}$ diverge.

Per questo si semplifica sempre $W$ prima di giudicare i poli, e ci si ricorda che una cancellazione di un fattore instabile è un modello matematico, non realizzabile: nel mondo reale il polo e lo zero non coincidono mai esattamente.

Poli sull'asse immaginario

Radice semplice $\pm j\omega_0$: il modo è un'oscillazione costante $\cos\omega_0t$, limitata. L'evoluzione libera resta limitata (stabilità "semplice", non asintotica), ma il sistema non è BIBO stabile: con l'ingresso limitato $u=\sin\omega_0t$ (alla pulsazione di risonanza) l'uscita contiene $t\cos\omega_0t$, che cresce senza limite. Lo stesso per un polo semplice in $0$ (integratore): con l'ingresso limitato $u=1$ l'uscita cresce come $t$. Radici immaginarie multiple danno modi $t^k$ che divergono anche liberamente.

Criteri per decidere senza calcolare le radici

• Secondo grado $s^2+\beta s+\gamma$: Hurwitz $\iff\beta>0$ e $\gamma>0$.
• Condizione necessaria (Cartesio): se $a(s)$ è di Hurwitz tutti i coefficienti hanno lo stesso segno e sono non nulli. Non è sufficiente oltre il secondo grado ($s^3+s^2+2s+8$ ha tutti i coefficienti positivi ma radici $-2,\ \tfrac12\pm1{,}94j$).
• Criterio di Routh-Hurwitz (Criterio di Routh-HurwitzIl criterio di Routh stabilisce se un polinomio $P(s)=p_ns^n+\dots+p_0$ è di Hurwitz senza calcolarne le radici. Si costruisce la tabella (righe $n,n-1,\dots,0$) con $\text{nuovo}=\frac{\text{pivot}\cdot a-\text{prec.}\cdot b}{\text{pivot}}$; se la tabella va a compimento, il numero di variazioni di segno nella prima colonna è il numero di radici con $\mathrm{Re}>0$, le permanenze il numero con $\mathrm{Re}<0$. Elemento nullo in prima colonna: $P$ non è Hurwitz; riga nulla: radici simmetriche (spesso immaginarie) date dal polinomio ausiliario. Con parametro $K$ nei coefficienti dà gli intervalli di stabilità.Criterio di Routh-Hurwitz →): decide esattamente, e conta anche le radici con parte reale positiva.

Errori comuni

• Dire "poli immaginari, quindi stabile perché i modi sono limitati": la BIBO richiede $\mathrm{Re}<0$ stretto.
• Giudicare la stabilità su $a(s)$ senza semplificare, o su $W$ non ridotta.
• Pensare che BIBO e asintotica siano equivalenti: lo sono solo quando $W$ è irriducibile in $a/b$ (nessuna cancellazione).
• Applicare la regola dei segni dei coefficienti oltre il secondo grado come se fosse sufficiente.