Luogo delle radici - definizione e regole di tracciamento

Nella progettazione di un controllore la scelta più semplice è un guadagno $K$ (controllo proporzionale). Come cambiano i poli del sistema in anello chiuso quando $K$ varia? Se $G=\frac nd$ è la funzione di trasferimento in catena aperta, i poli di $W_K=\frac{KG}{1+KG}$ sono le radici di $d(s)+Kn(s)=0$ (Schemi di controllo in retroazione e funzioni di trasferimentoNello schema in retroazione unitaria negativa (controllore $C$, processo $G$) la FdT in catena aperta è $\tilde G=CG$ e quella in catena chiusa $W=\frac{\tilde G}{1+\tilde G}$; l'errore è $E=\frac{R}{1+\tilde G}=(1-W)R$. Zeri di $W$ = zeri di $\tilde G$, poli di $W$ = zeri di $1+\tilde G$. La BIBO stabilità di $W$ è un'altra cosa dalla stabilità di $G$: la retroazione sposta i poli. Le cancellazioni di fattori instabili tra $C$ e $G$ sono proibite.Schemi di controllo in retroazione e funzioni di trasferimento →). Il luogo delle radici disegna nel piano complesso tutte le posizioni che questi poli assumono al variare di $K$: con un solo disegno si vede per quali $K$ il sistema è BIBO stabile (tutti i rami nel semipiano sinistro), come si muovono i poli e quando diventano complessi (risposta oscillante).

Definizione

Si assume $G(s)=\frac{n(s)}{d(s)}$ con $n,d\in\mathbb R[s]$ monici e coprimi e $\deg d=n\ge\deg n=m$ (se non lo è, $G=K_E\frac nd$ e basta assorbire $K_E$ in $K$: $K_E$ si chiama guadagno di Evanscostante moltiplicativa di G quando numeratore e denominatore sono monici). Si scrive $$d(s)=\prod_{i=1}^n(s-p_i),\qquad n(s)=\prod_{i=1}^m(s-z_i),$$ con $p_i$ poli e $z_i$ zeri di $G$, in generale complessi. Essendo $W_K=\frac{Kn}{d+Kn}$ con numeratore e denominatore coprimi, i poli di $W_K$ sono esattamente le radici di $d(s)+Kn(s)$. Si definiscono: $$\mathcal L_+=\{s\in\mathbb C:\ \exists K>0,\ d(s)+Kn(s)=0\},\qquad\mathcal L_-=\{s\in\mathbb C:\ \exists K<0,\ d(s)+Kn(s)=0\}.$$ Il luogo positivoinsieme dei poli del sistema retroazionato per K>0 $\mathcal L_+$ è quello di $K>0$ (retroazione "ordinaria" con guadagno positivo), il luogo negativo quello di $K<0$ (Luogo negativo delle radiciIl luogo negativo $\mathcal L_-$ ($K<0$) ha la condizione di fase con multipli pari di $\pi$: un punto reale è nel luogo negativo se alla sua destra ci sono un numero pari di poli+zeri reali; gli asintoti hanno direzioni $\frac{2i\pi}{n-m}$ ($i=0,\dots,n-m-1$) e lo stesso centro; punti doppi e intersezioni con l'asse immaginario si trovano con le stesse equazioni, accettando $K<0$. Ogni punto reale (non polo/zero) appartiene esattamente a uno dei due luoghi.Luogo negativo delle radici →). Questa nota studia il luogo positivo.

Condizione di appartenenza: modulo e fase

Un punto $\alpha\in\mathbb C$ (che non sia uno zero di $n$) appartiene a $\mathcal L_+$ se e solo se esiste $K>0$ con $d(\alpha)+Kn(\alpha)=0$, cioè $\frac{d(\alpha)}{n(\alpha)}=-K$. Scrivendo il numero complesso $-K$ in modulo e fase: $$\left|\frac{d(\alpha)}{n(\alpha)}\right|=K\quad\text{(condizione di taratura)},\qquad\angle d(\alpha)-\angle n(\alpha)=(2h+1)\pi,\ \ h\in\mathbb Z\quad\text{(condizione di fase)}.$$ La seconda dice se $\alpha$ sta nel luogo; la prima dà il valore di $K$ che ci porta in $\alpha$. Esplicitando le fasi: $$\boxed{\sum_{i=1}^n\angle(\alpha-p_i)-\sum_{i=1}^m\angle(\alpha-z_i)=(2h+1)\pi.}$$

Le regole

1. Numero di rami e punti di partenza. Per $K\to0^+$ le radici di $d+Kn$ tendono alle radici di $d$: gli $n$ rami partono dagli $n$ poli di $G$ (un polo di molteplicità $\mu$ è punto di partenza di $\mu$ rami).

2. Punti di arrivo. Per $K\to+\infty$ $m$ rami tendono agli $m$ zeri di $G$ (infatti $\frac{d}K+n=0$ tende a $n=0$), gli altri $n-m$ vanno all'infinito (zeri "impropri" di $G$).

3. Simmetria. Poiché i coefficienti di $d+Kn$ sono reali, le radici complesse sono a coppie coniugate: il luogo è simmetrico rispetto all'asse reale.

4. Punti dell'asse reale. Un punto reale $\alpha$ (che non sia polo o zero) appartiene a $\mathcal L_+$ se e solo se $$\text{il numero di poli e zeri **reali** di }G\text{ (contati con molteplicità) a destra di }\alpha\text{ è **dispari**}.$$ Dimostrazione. Nella condizione di fase, le coppie coniugate di poli e di zeri complessi $\beta,\bar\beta$ danno contributi $\angle(\alpha-\beta)+\angle(\alpha-\bar\beta)=0$ (opposti). I poli e zeri reali $\gamma$ danno $\angle(\alpha-\gamma)=0$ se $\gamma<\alpha$ (a sinistra: $\alpha-\gamma>0$) e $=\pi$ se $\gamma>\alpha$ (a destra). La somma vale quindi $\pi\,(\#\text{poli reali a destra}-\#\text{zeri reali a destra})$, che modulo $2\pi$ coincide con $\pi\,(\#\text{poli}+\#\text{zeri reali a destra})$ (perché $-\pi\equiv\pi$ modulo $2\pi$): è un multiplo dispari di $\pi$ se e solo se il numero totale di radici reali a destra è dispari. $\square$

5. Asintoti. I rami che vanno all'infinito si dispongono lungo $n-m$ semirette uscenti da un punto dell'asse reale, il centro (o baricentro) $x_B$, con direzioni $$\theta_i=\frac{(2i+1)\pi}{n-m},\quad i=0,\dots,n-m-1,\qquad x_B=\frac{\sum_{i=1}^np_i-\sum_{i=1}^mz_i}{n-m}.$$ Perché le direzioni: per $|s|$ grande $G\approx s^{-(n-m)}$, e $1+KG=0$ dà $s^{n-m}\approx-K$, cioè $s=K^{\frac1{n-m}}e^{j\frac{(2i+1)\pi}{n-m}}$. Perché il centro: per $n-m\ge2$ la somma delle $n$ radici di $d+Kn$ è $-a_{n-1}$, indipendente da $K$ (il coefficiente di $s^{n-1}$ non contiene $K$), cioè $\sum p_i$. Per $K$ grande $m$ radici stanno vicino agli zeri e le $n-m$ restanti lungo gli asintoti, la cui somma è quindi $\sum p_i-\sum z_i$: il baricentro è $x_B$. Se $n-m=1$ c'è un solo asintoto, l'asse reale.

6. Guadagno in un punto. Se $\alpha\in\mathcal L_+$, il guadagno che porta una radice in $\alpha$ è $$K(\alpha)=-\frac{d(\alpha)}{n(\alpha)}>0.$$ Sull'asse reale la funzione $K(x)=-\frac{d(x)}{n(x)}$ è reale: i tratti dell'asse in cui $K(x)>0$ sono esattamente quelli del luogo positivo (verifica della regola 4), e gli estremi locali di $K(x)$ sono i punti doppi (Luogo delle radici - punti doppi e intersezioni con l'asse immaginarioI punti doppi (multipli) del luogo sono i valori $s$ per cui $d+Kn$ ha una radice multipla: soddisfano $d'(s)n(s)-d(s)n'(s)=0$ con $K=-\frac{d}{n}$. Dall'equazione si tolgono le radici che sono poli o zeri multipli di $G$ (corrispondono a $K=0$ o $\infty$); una soluzione è punto doppio del luogo positivo (negativo) solo se $K(s)$ è reale positivo (negativo). Le intersezioni con l'asse immaginario si trovano da $d(j\omega)+Kn(j\omega)=0$ (due equazioni reali in $\omega,K$) o con la tabella di Routh in $K$ (riga nulla).Luogo delle radici - punti doppi e intersezioni con l'asse immaginario →).

Esempio: $G(s)=\dfrac1{s(s+1)(s+2)}$

Qui $n=3$, $m=0$, poli $0,-1,-2$, nessuno zero.

• Rami: tre, partono da $0,-1,-2$ e vanno tutti all'infinito ($n-m=3$).
• Asse reale (positivo): a destra di $\alpha\in(-1,0)$ c'è un polo ($0$): dispari ✓; $\alpha\in(-2,-1)$: due poli ($0,-1$): pari ✗; $\alpha<-2$: tre poli: dispari ✓. Il luogo contiene $(-1,0)$ e $(-\infty,-2)$.
• Asintoti: direzioni $\frac\pi3,\pi,\frac{5\pi}3$, centro $x_B=\frac{0-1-2}3=-1$.
• Conseguenze: i rami da $0$ e da $-1$ si incontrano nel segmento $(-1,0)$ (punto doppio in $-0{,}4226$, con $K=0{,}385$) e poi lasciano l'asse reale verso gli asintoti a $\pm\frac\pi3$, che puntano nel semipiano destro: devono quindi attraversare l'asse immaginario, in $\pm j\sqrt2$ per $K=6$. Il ramo da $-2$ scende lungo l'asse reale verso $-\infty$. Dunque $W_K$ è BIBO stabile per $0<K<6$ (verificato con Routh: $s^3+3s^2+2s+K$ è di Hurwitz $\iff0<K<6$).

La funzione $K(x)=-x(x+1)(x+2)$ sull'asse reale mostra i tratti del luogo (dove è positiva):

Un secondo esempio: asintoti sull'asse immaginario

$G(s)=\dfrac{s+3}{s(s+1)(s+2)}$: $n=3$, $m=1$, zero in $-3$. Asintoti: $n-m=2$, direzioni $\pm\frac\pi2$, centro $x_B=\frac{0-1-2-(-3)}2=0$: gli asintoti coincidono con l'asse immaginario. Asse reale: $(-1,0)$ (un polo a destra), $(-3,-2)$ (tre radici a destra: $0,-1,-2$) ✓. Il ramo da $-2$ va a $-3$ (zero), gli altri due si incontrano in $(-1,0)$ e vanno verso gli asintoti senza mai attraversare l'asse, perché $d+Kn=s^3+3s^2+(2+K)s+3K$ ha tabella di Routh con elementi $(1,\,3,\,2,\,3K)$, tutti positivi per ogni $K>0$: stabile per ogni $K>0$ (per $K=100$ i poli sono $-2{,}95$ e $-0{,}03\pm10{,}09j$: i rami tendono all'asse immaginario da sinistra).

Errori comuni

• Contare tra i poli e zeri "a destra" anche quelli complessi: contano solo quelli reali.
• Dimenticare la molteplicità di poli e zeri multipli nel conteggio (un polo doppio conta $2$).
• Sbagliare il centro degli asintoti (somma dei poli meno somma degli zeri, diviso $n-m$) o le direzioni (positivo: $\frac{(2i+1)\pi}{n-m}$).
• Pensare che il luogo "arrivi" dove vuole: ogni ramo parte da un polo e finisce in uno zero o all'infinito.
• Usare $G$ non monica: se $G=K_E\frac nd$, il $K$ del luogo è $K\cdot K_E$ (e un $K_E<0$ scambia i luoghi).