Luogo delle radici - stabilità BIBO al variare di K

La domanda tipica d'esame è: tracciare il luogo delle radici positivo e negativo di $G$ e dedurre per quali $K\in\mathbb R$ il sistema retroazionato $W_K=\frac{KG}{1+KG}$ è BIBO stabile. Questa nota organizza il metodo, con un esempio completo; i casi più complessi sono negli esercizi (Esercizio 12 · luogo delle radici con zeri e poli doppi (temi d'esame luglio 2025 e gennaio 2023) e seguenti).

Che cosa dice il luogo sulla stabilità

I poli di $W_K$ sono le radici di $d(s)+Kn(s)$ (Luogo delle radici - definizione e regole di tracciamentoPer $G=\frac{n(s)}{d(s)}$ (monici, coprimi, $n=\deg d\ge m=\deg n$) e $W_K=\frac{KG}{1+KG}$, il luogo positivo è l'insieme dei $s$ con $d(s)+Kn(s)=0$ per qualche $K>0$ (i poli di $W_K$ al variare di $K$). Regole: $n$ rami simmetrici rispetto all'asse reale, partono dai poli ($K=0$) e finiscono negli $m$ zeri o negli $n-m$ asintoti; un punto reale è nel luogo positivo se alla sua destra ci sono un numero dispari di poli+zeri reali (con molteplicità); asintoti con direzioni $\frac{(2i+1)\pi}{n-m}$ e centro $x_B=\frac{\sum p_i-\sum z_i}{n-m}$; il guadagno in un punto è $K=-\frac{d(s)}{n(s)}$.Luogo delle radici - definizione e regole di tracciamento →). Per ogni $K$ la posizione dei poli è l'insieme dei punti del luogo "etichettati" con quel valore di $K$. $W_K$ è BIBO stabile se e solo se tutti i poli sono in $\mathrm{Re}<0$ (e $W_K$ propria, cioè $n\ge m$ come si assume). Il numero di poli in $\mathrm{Re}>0$ è costante finché nessun ramo attraversa l'asse immaginario e cambia solo in corrispondenza degli attraversamenti: per $K$ critico (attraversamento) $W_K$ ha poli immaginari e non è BIBO stabile. Quindi gli intervalli di stabilità sono limitati dai $K$ critici e dai valori in cui un ramo parte dal semipiano destro.

Il metodo

1. Dati: $n=\deg d$, $m=\deg n$; poli e zeri con molteplicità; $n-m$ (numero di asintoti); eventuale guadagno di Evans.
2. Luogo positivo: (a) tratti dell'asse reale (numero dispari a destra); (b) asintoti (direzioni, centro); (c) punti doppi (equazione, poi $K>0$); (d) intersezioni con l'asse immaginario con il valore di $K>0$.
3. Luogo negativo: gli stessi punti con numero pari a destra, asintoti ruotati, punti doppi e intersezioni con $K<0$ (Luogo negativo delle radiciIl luogo negativo $\mathcal L_-$ ($K<0$) ha la condizione di fase con multipli pari di $\pi$: un punto reale è nel luogo negativo se alla sua destra ci sono un numero pari di poli+zeri reali; gli asintoti hanno direzioni $\frac{2i\pi}{n-m}$ ($i=0,\dots,n-m-1$) e lo stesso centro; punti doppi e intersezioni con l'asse immaginario si trovano con le stesse equazioni, accettando $K<0$. Ogni punto reale (non polo/zero) appartiene esattamente a uno dei due luoghi.Luogo negativo delle radici →).
4. Rami: per ogni ramo dire da dove parte (un polo) e dove arriva (uno zero, o un asintoto); il ramo incontra altri rami nei punti doppi.
5. Stabilità: per ciascun luogo e ciascun intervallo di $|K|$ contare i rami in $\mathrm{Re}>0$. Un polo di $G$ instabile fa partire un ramo dal semipiano destro; ogni attraversamento verso sinistra ne toglie uno (o due, per una coppia complessa), verso destra ne aggiunge.
6. Verifica con Routh. La tabella di $d+Kn$ (Criterio di Routh-HurwitzIl criterio di Routh stabilisce se un polinomio $P(s)=p_ns^n+\dots+p_0$ è di Hurwitz senza calcolarne le radici. Si costruisce la tabella (righe $n,n-1,\dots,0$) con $\text{nuovo}=\frac{\text{pivot}\cdot a-\text{prec.}\cdot b}{\text{pivot}}$; se la tabella va a compimento, il numero di variazioni di segno nella prima colonna è il numero di radici con $\mathrm{Re}>0$, le permanenze il numero con $\mathrm{Re}<0$. Elemento nullo in prima colonna: $P$ non è Hurwitz; riga nulla: radici simmetriche (spesso immaginarie) date dal polinomio ausiliario. Con parametro $K$ nei coefficienti dà gli intervalli di stabilità.Criterio di Routh-Hurwitz →) fornisce gli intervalli di $K$ e il numero di radici instabili: deve coincidere con il luogo (spesso il compito chiede entrambi).

Esempio completo: $G(s)=\dfrac1{(s-1)(s+2)}$

$n=2$, $m=0$, poli $1$ (instabile) e $-2$, nessuno zero, $d=s^2+s-2$.

Luogo positivo. Asse reale: $\alpha\in(-2,1)$ ha un polo ($1$) a destra: dispari ✓; $\alpha>1$ e $\alpha<-2$ no. Asintoti: $n-m=2$, direzioni $\pm\frac\pi2$, centro $\frac{1-2}2=-\frac12$. Punto doppio: $d'n-dn'=2s+1=0\Rightarrow s=-\frac12$, con $K=-d(-\frac12)=2{,}25>0$ ✓. Intersezione con l'asse immaginario: $d(j\omega)+K=-\omega^2+j\omega-2+K$: parte immaginaria $\omega=0$, parte reale $K=2$. I due rami partono da $1$ (in $\mathrm{Re}>0$) e da $-2$, si muovono uno verso l'altro sull'asse reale: il ramo da $1$ attraversa l'origine per $K=2$, e i due rami si incontrano in $-\frac12$ per $K=2{,}25$ per poi salire e scendere lungo la verticale $\mathrm{Re}=-\frac12$ (asintoti). Il ramo da $1$ è in $\mathrm{Re}>0$ per $K<2$ e in $\mathrm{Re}<0$ per $K>2$. Quindi per $K>0$: instabile (un polo in $\mathrm{Re}>0$) per $0<K<2$; per $K=2$ polo nell'origine (non BIBO stabile); stabile per $K>2$.

Luogo negativo. Asse reale: $\alpha>1$ (zero radici a destra) e $\alpha<-2$ (due a destra): pari ✓. Il ramo da $1$ va a $+\infty$ sul semiasse $(1,+\infty)$, quello da $-2$ va a $-\infty$: $d+Kn=s^2+s-2+K$ con $K<0$ ha termine noto negativo, quindi radice reale positiva (prodotto delle radici $K-2<0$). Per $K<0$ non c'è mai stabilità, con esattamente un polo in $\mathrm{Re}>0$.

Risposta. $W_K$ è BIBO stabile $\iff K>2$. Controllo con Routh: $s^2+s-2+K$ è di Hurwitz $\iff-2+K>0$ ✓. Verificato con i poli: $K=1$: $-1{,}618$ e $+0{,}618$ (un polo instabile); $K=2$: $-1$ e $0$; $K=2{,}25$: $-0{,}5$ doppio; $K=3$: $-0{,}5\pm0{,}866j$; $K=-1$: $-2{,}303$ e $+1{,}303$.

Un secondo esempio: zeri e poli doppi

$G=\dfrac{(s+1)^2}{(s+3)^2(s+2)^2}$ (tema d'esame luglio 2025). Tutti i punti dell'asse reale stanno nel luogo negativo (a destra di ogni punto reale ci sono sempre un numero pari di radici contando le molteplicità) e nessuno nel positivo, tranne i punti di partenza/arrivo. Nel luogo positivo i quattro rami partono dai poli doppi $-3,-3,-2,-2$, due vanno agli zeri $-1,-1$ e due a $\pm\infty$ lungo gli asintoti verticali di centro $-4$, sempre in $\mathrm{Re}<0$: stabile per ogni $K>0$. Nel luogo negativo ci sono i punti doppi $-1\pm\sqrt2$ (con $K=-17\mp12\sqrt2$, cioè $K=-33{,}97$ in $0{,}414$ e $K=-0{,}029$ in $-2{,}414$) e intersezioni con l'asse immaginario per $K=-25$ ($\omega=1$) e per $K=-36$ ($\omega=0$). Una coppia di rami attraversa l'asse in $\pm j$ per $K=-25$ ed entra in $\mathrm{Re}>0$ (due poli instabili per $-36<K<-25$); i due rami si incontrano sul semiasse reale positivo nel punto doppio $0{,}414$ ($K=-33{,}97$) e si separano: uno ritorna nell'origine per $K=-36$ e rientra in $\mathrm{Re}<0$ verso lo zero $-1$, l'altro va a $+\infty$ (asintoto di direzione $0$) e lascia un polo instabile per $K<-36$. Risultato: BIBO stabile $\iff K>-25$. (Numerico: $K=-24$ stabile con poli $-0{,}05\pm1{,}05j$; $K=-25$ poli $\pm j$; $K=-30$ due poli instabili $0{,}24\pm0{,}68j$; $K=-37$ un polo instabile $1{,}15$.)

Casi critici

Per i $K$ in cui un ramo attraversa l'asse immaginario $W_K$ ha poli immaginari, quindi non è BIBO stabile: in un compito si riporta la regione stabile come intervallo aperto (es. $K>2$, non $K\ge2$) e i valori critici a parte. Se un punto doppio cade proprio sull'asse immaginario occorre studiare i rami separatamente. Se $K=0$ la funzione $W_K$ è identicamente nulla e si esclude.

Errori comuni

• Dedurre la stabilità dal solo luogo positivo e dimenticare il negativo (la domanda è su tutti i $K\in\mathbb R$).
• Contare i poli instabili solo dalla posizione di partenza: si deve seguire il ramo fino al valore di $K$ considerato.
• Includere i $K$ critici tra quelli di stabilità (con poli sull'asse non c'è BIBO).
• Non verificare con Routh quando è richiesto: i due risultati devono coincidere (se non coincidono c'è un errore di conto).
• Per un polo instabile di $G$, concludere che il sistema non è stabilizzabile con $K$: dipende dal luogo (qui lo è per $K>2$).