Esercizio 18luogo delle radici di un sistema instabile con zero doppio (tema d'esame gennaio 2025)

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Teoria usata: Luogo delle radici - definizione e regole di tracciamentoPer $G=\frac{n(s)}{d(s)}$ (monici, coprimi, $n=\deg d\ge m=\deg n$) e $W_K=\frac{KG}{1+KG}$, il luogo positivo è l'insieme dei $s$ con $d(s)+Kn(s)=0$ per qualche $K>0$ (i poli di $W_K$ al variare di $K$). Regole: $n$ rami simmetrici rispetto all'asse reale, partono dai poli ($K=0$) e finiscono negli $m$ zeri o negli $n-m$ asintoti; un punto reale è nel luogo positivo se alla sua destra ci sono un numero dispari di poli+zeri reali (con molteplicità); asintoti con direzioni $\frac{(2i+1)\pi}{n-m}$ e centro $x_B=\frac{\sum p_i-\sum z_i}{n-m}$; il guadagno in un punto è $K=-\frac{d(s)}{n(s)}$.Luogo delle radici - definizione e regole di tracciamento →, Luogo delle radici - punti doppi e intersezioni con l'asse immaginarioI punti doppi (multipli) del luogo sono i valori $s$ per cui $d+Kn$ ha una radice multipla: soddisfano $d'(s)n(s)-d(s)n'(s)=0$ con $K=-\frac{d}{n}$. Dall'equazione si tolgono le radici che sono poli o zeri multipli di $G$ (corrispondono a $K=0$ o $\infty$); una soluzione è punto doppio del luogo positivo (negativo) solo se $K(s)$ è reale positivo (negativo). Le intersezioni con l'asse immaginario si trovano da $d(j\omega)+Kn(j\omega)=0$ (due equazioni reali in $\omega,K$) o con la tabella di Routh in $K$ (riga nulla).Luogo delle radici - punti doppi e intersezioni con l'asse immaginario →, Luogo negativo delle radiciIl luogo negativo $\mathcal L_-$ ($K<0$) ha la condizione di fase con multipli pari di $\pi$: un punto reale è nel luogo negativo se alla sua destra ci sono un numero pari di poli+zeri reali; gli asintoti hanno direzioni $\frac{2i\pi}{n-m}$ ($i=0,\dots,n-m-1$) e lo stesso centro; punti doppi e intersezioni con l'asse immaginario si trovano con le stesse equazioni, accettando $K<0$. Ogni punto reale (non polo/zero) appartiene esattamente a uno dei due luoghi.Luogo negativo delle radici →, Luogo delle radici - stabilità BIBO al variare di KPer studiare la stabilità BIBO di $W_K=\frac{KG}{1+KG}$ al variare di $K\in\mathbb R\setminus{0}$ si tracciano luogo positivo e negativo (rami, asse reale, asintoti, punti doppi con il segno di $K$, intersezioni con l'asse immaginario con il loro $K$) e si segue come i rami si muovono rispetto all'asse immaginario: il numero di poli in $\mathrm{Re}>0$ cambia solo agli attraversamenti. $W_K$ è BIBO stabile per i soli $K$ con tutti i rami in $\mathrm{Re}<0$; ai $K$ critici (attraversamento) ci sono poli immaginari. La tabella di Routh su $d+Kn$ dà gli stessi risultati.Luogo delle radici - stabilità BIBO al variare di K →, Criterio di Routh-HurwitzIl criterio di Routh stabilisce se un polinomio $P(s)=p_ns^n+\dots+p_0$ è di Hurwitz senza calcolarne le radici. Si costruisce la tabella (righe $n,n-1,\dots,0$) con $\text{nuovo}=\frac{\text{pivot}\cdot a-\text{prec.}\cdot b}{\text{pivot}}$; se la tabella va a compimento, il numero di variazioni di segno nella prima colonna è il numero di radici con $\mathrm{Re}>0$, le permanenze il numero con $\mathrm{Re}<0$. Elemento nullo in prima colonna: $P$ non è Hurwitz; riga nulla: radici simmetriche (spesso immaginarie) date dal polinomio ausiliario. Con parametro $K$ nei coefficienti dà gli intervalli di stabilità.Criterio di Routh-Hurwitz →.

1. Dati, asse reale, asintoti

$n=3$ poli: $0$ e $1$ (doppio, instabile); $m=2$ zeri: $-1$ (doppio). Quindi $n-m=1$: un solo asintoto, l'asse reale (direzione $\pi$ nel luogo positivo, $0$ nel negativo; il centro è irrilevante).

Poli e zeri reali a destra: $\alpha>1$: $0$; $\alpha\in(0,1)$: $2$ (i poli in $1$); $\alpha\in(-1,0)$: $3$; $\alpha<-1$: $5$. Dunque il luogo positivo contiene $(-\infty,0)$ (numero dispari) e il luogo negativo $(0,+\infty)$ (numero pari).

2. Punti doppi

$n=(s+1)^2$, $d=s(s-1)^2=s^3-2s^2+s$: $d'n-dn'=(s+1)(s-1)\,(s^2+4s-1)$. I fattori $s+1$ (zero doppio, $K=\infty$) e $s-1$ (polo doppio, $K=0$) non sono punti doppi. Restano le radici di $s^2+4s-1=0$: $$s=-2\pm\sqrt5\ :\quad s_1=-4{,}236,\qquad s_2=0{,}236.$$ Valori di $K=-\frac dn$: $K(s_1)=-\frac{(-4{,}236)(-5{,}236)^2}{(-3{,}236)^2}=+11{,}09$ (positivo, e $s_1\in(-\infty,-1)\subset$ luogo positivo ✓); $K(s_2)=-\frac{0{,}236\cdot(-0{,}764)^2}{(1{,}236)^2}=-0{,}090$ (negativo, $s_2\in(0,1)\subset$ luogo negativo ✓). Dunque un punto doppio nel luogo positivo e uno nel negativo.

3. Intersezioni con l'asse immaginario

$d+Kn=s^3+(K-2)s^2+(1+2K)s+K$. In $s=j\omega$: $$\begin{cases}-(K-2)\omega^2+K=0\ (\text{parte reale}),\\ \omega\,\big(-\omega^2+1+2K\big)=0\ (\text{parte immaginaria}).\end{cases}$$ Per $\omega\ne0$ la seconda equazione dà $\omega^2=1+2K$; sostituendo nella prima: $-(K-2)(1+2K)+K=0$. Poiché $(K-2)(1+2K)=2K^2-3K-2$, si ha $-2K^2+3K+2+K=-2K^2+4K+2=0\iff K^2-2K-1=0\iff K=1\pm\sqrt2$. Con $K=1+\sqrt2=2{,}414$: $\omega^2=1+2K=5{,}828$, $\omega=1+\sqrt2=2{,}414$ ✓ (luogo positivo). Con $K=1-\sqrt2=-0{,}414$: $\omega^2=1+2K=0{,}172$, $\omega=\sqrt2-1=0{,}414$ ✓ (luogo negativo). Il caso $\omega=0$ darebbe $K=0$.

Intersezioni: $\pm j\,2{,}414$ per $K=2{,}414$ (luogo positivo); $\pm j\,0{,}414$ per $K=-0{,}414$ (luogo negativo).

4. I due luoghi

Luogo positivo. Un ramo reale parte dal polo $0$ e va verso sinistra fino allo zero doppio $-1$ (lungo $(-1,0)$). I due rami che partono dal polo doppio $1$ escono subito dall'asse reale (nessun tratto reale adiacente), descrivono un arco, attraversano l'asse immaginario in $\pm2{,}414j$ ($K=2{,}414$) e rientrano nell'asse reale nel punto doppio $s_1=-4{,}236$ ($K=11{,}09$): da lì uno va verso lo zero $-1$ (lungo $(-4{,}236,-1)$), l'altro a $-\infty$ (asintoto di direzione $\pi$).

Luogo negativo. Il ramo che parte da $0$ va verso destra lungo $(0,1)$ e incontra il ramo che parte dal polo doppio $1$ e va verso sinistra: i due si incontrano nel punto doppio $s_2=0{,}236$ ($K=-0{,}090$) ed escono dall'asse; attraversano l'asse immaginario in $\pm0{,}414j$ ($K=-0{,}414$) e vanno verso lo zero doppio $-1$ arrivandoci come coppia complessa coniugata. L'altro ramo del polo doppio $1$ va a $+\infty$ lungo $(1,+\infty)$.

5. Stabilità BIBO e numero di poli instabili

Risposta. $W$ è BIBO stabile se e solo se $K>1+\sqrt2\approx2{,}414$. Controllo numerico: $K=-1$: $3{,}38,\ -0{,}19\pm0{,}51j$; $K=-0{,}3$: $2{,}18,\ 0{,}06\pm0{,}37j$; $K=-0{,}05$: tre reali positivi $1{,}455,\ 0{,}530,\ 0{,}065$; $K=1$: $0{,}65\pm1{,}72j,\ -0{,}30$; $K=2{,}4$: $0{,}007\pm2{,}409j,\ -0{,}41$; $K=2{,}5$: $-0{,}04\pm2{,}44j,\ -0{,}42$.

Verifica con Routh

$d+Kn=s^3+(K-2)s^2+(1+2K)s+K$. Condizioni di Hurwitz del terzo grado: coefficienti positivi ($K>2$, $1+2K>0$, $K>0$, quindi $K>2$) e $p_2p_1>p_3p_0$: $(K-2)(1+2K)>K\iff2K^2-4K-2>0\iff K^2-2K-1>0\iff K>1+\sqrt2$ oppure $K<1-\sqrt2$; con $K>2$: $K>1+\sqrt2$ ✓. Nei due valori $K=1\pm\sqrt2$ si ha $p_2p_1=p_3p_0$ (riga nulla): poli immaginari ✓ (il polinomio ausiliario dà $\omega^2=1+2K$). Per $0<K<1+\sqrt2$ la tabella dà due variazioni (2 poli instabili) ✓.

Errori comuni

• Dimenticare di attribuire $s_2=0{,}236$ al luogo negativo (K negativo) e $s_1=-4{,}236$ al positivo: il segno di $K$ decide il luogo.
• Prendere $s=1$ e $s=-1$ come punti doppi: sono poli/zeri doppi.
• Trascurare che nel luogo negativo i rami si chiudono sullo zero doppio $-1$ come coppia complessa (non sull'asse reale).
• Concludere che per $K<0$ ci sia un solo polo instabile: per $-0{,}414<K<0$ ce ne sono tre.
• Includere $K=2{,}414$ tra i valori di stabilità: sull'asse immaginario non c'è BIBO.