Esercizio 14luogo delle radici con due poli nell'origine e punti doppi complessi (tema d'esame febbraio 2023)

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Teoria usata: Luogo delle radici - definizione e regole di tracciamentoPer $G=\frac{n(s)}{d(s)}$ (monici, coprimi, $n=\deg d\ge m=\deg n$) e $W_K=\frac{KG}{1+KG}$, il luogo positivo è l'insieme dei $s$ con $d(s)+Kn(s)=0$ per qualche $K>0$ (i poli di $W_K$ al variare di $K$). Regole: $n$ rami simmetrici rispetto all'asse reale, partono dai poli ($K=0$) e finiscono negli $m$ zeri o negli $n-m$ asintoti; un punto reale è nel luogo positivo se alla sua destra ci sono un numero dispari di poli+zeri reali (con molteplicità); asintoti con direzioni $\frac{(2i+1)\pi}{n-m}$ e centro $x_B=\frac{\sum p_i-\sum z_i}{n-m}$; il guadagno in un punto è $K=-\frac{d(s)}{n(s)}$.Luogo delle radici - definizione e regole di tracciamento →, Luogo delle radici - punti doppi e intersezioni con l'asse immaginarioI punti doppi (multipli) del luogo sono i valori $s$ per cui $d+Kn$ ha una radice multipla: soddisfano $d'(s)n(s)-d(s)n'(s)=0$ con $K=-\frac{d}{n}$. Dall'equazione si tolgono le radici che sono poli o zeri multipli di $G$ (corrispondono a $K=0$ o $\infty$); una soluzione è punto doppio del luogo positivo (negativo) solo se $K(s)$ è reale positivo (negativo). Le intersezioni con l'asse immaginario si trovano da $d(j\omega)+Kn(j\omega)=0$ (due equazioni reali in $\omega,K$) o con la tabella di Routh in $K$ (riga nulla).Luogo delle radici - punti doppi e intersezioni con l'asse immaginario →, Luogo negativo delle radiciIl luogo negativo $\mathcal L_-$ ($K<0$) ha la condizione di fase con multipli pari di $\pi$: un punto reale è nel luogo negativo se alla sua destra ci sono un numero pari di poli+zeri reali; gli asintoti hanno direzioni $\frac{2i\pi}{n-m}$ ($i=0,\dots,n-m-1$) e lo stesso centro; punti doppi e intersezioni con l'asse immaginario si trovano con le stesse equazioni, accettando $K<0$. Ogni punto reale (non polo/zero) appartiene esattamente a uno dei due luoghi.Luogo negativo delle radici →, Luogo delle radici - stabilità BIBO al variare di KPer studiare la stabilità BIBO di $W_K=\frac{KG}{1+KG}$ al variare di $K\in\mathbb R\setminus{0}$ si tracciano luogo positivo e negativo (rami, asse reale, asintoti, punti doppi con il segno di $K$, intersezioni con l'asse immaginario con il loro $K$) e si segue come i rami si muovono rispetto all'asse immaginario: il numero di poli in $\mathrm{Re}>0$ cambia solo agli attraversamenti. $W_K$ è BIBO stabile per i soli $K$ con tutti i rami in $\mathrm{Re}<0$; ai $K$ critici (attraversamento) ci sono poli immaginari. La tabella di Routh su $d+Kn$ dà gli stessi risultati.Luogo delle radici - stabilità BIBO al variare di K →, Criterio di Routh-HurwitzIl criterio di Routh stabilisce se un polinomio $P(s)=p_ns^n+\dots+p_0$ è di Hurwitz senza calcolarne le radici. Si costruisce la tabella (righe $n,n-1,\dots,0$) con $\text{nuovo}=\frac{\text{pivot}\cdot a-\text{prec.}\cdot b}{\text{pivot}}$; se la tabella va a compimento, il numero di variazioni di segno nella prima colonna è il numero di radici con $\mathrm{Re}>0$, le permanenze il numero con $\mathrm{Re}<0$. Elemento nullo in prima colonna: $P$ non è Hurwitz; riga nulla: radici simmetriche (spesso immaginarie) date dal polinomio ausiliario. Con parametro $K$ nei coefficienti dà gli intervalli di stabilità.Criterio di Routh-Hurwitz →.

1. Rami, asse reale e asintoti

$G$ ha $n=4$ poli ($0$ doppio e $-2$ doppio) e $m=2$ zeri ($-1$ doppio): $4$ rami partono dai poli, $2$ finiscono nello zero doppio $-1$ e $n-m=2$ vanno all'infinito.

Asse reale. Ogni radice è doppia, quindi per ogni $\alpha$ reale i poli e zeri reali a destra sono in numero pari: tutto l'asse reale appartiene al luogo negativo e nessun suo punto (salvo i punti di partenza e arrivo) al positivo.

Asintoti. Centro $x_B=\dfrac{(0+0-2-2)-(-1-1)}2=\dfrac{-4+2}2=-1$. Direzioni: luogo positivo $\pm\frac\pi2$ (verticali in $\mathrm{Re}=-1$); luogo negativo $0$ e $\pi$.

2. Punti doppi

Con $n=(s+1)^2$, $d=s^2(s+2)^2=s^4+4s^3+4s^2$ l'equazione dei candidati è $$d'n-dn'=2\,s\,(s+1)\,(s+2)\,(s^2+2s+2)=0.$$ I fattori $s$, $s+1$, $s+2$ corrispondono a poli e zeri doppi (partenza/arrivo dei rami: non sono punti doppi). Resta $s^2+2s+2=0\Rightarrow s=-1\pm j$. Il valore di $K$ è $$K=-\frac{d(s)}{n(s)}\Big|_{s=-1+j}=-\frac{s^2(s+2)^2}{(s+1)^2}=-\frac{(-2j)(2j)}{j^2}=-\frac{4}{-1}=4,$$ perché $s^2=(-1+j)^2=-2j$, $(s+2)^2=(1+j)^2=2j$, $(s+1)^2=j^2=-1$. Lo stesso in $s=-1-j$. Il valore è reale e positivo: $-1\pm j$ sono due punti doppi complessi del luogo positivo ($K=4$).

3. Intersezioni con l'asse immaginario

$d+Kn=s^4+4s^3+(4+K)s^2+2Ks+K$. In $s=j\omega$: parte reale $\omega^4-(4+K)\omega^2+K=0$, parte immaginaria $-4\omega^3+2K\omega=2\omega(K-2\omega^2)=0$.

• $\omega=0$: la prima dà $K=0$ (l'origine è il punto di partenza dei rami);
• $\omega^2=\frac K2$: sostituendo, $\frac{K^2}4-\frac{(4+K)K}2+K=-\frac K4(K+4)=0$: $K=0$ (di nuovo $\omega=0$) oppure $K=-4$ che darebbe $\omega^2=-2<0$: scartata.

L'unica intersezione con l'asse immaginario è l'origine (per $K=0$).

4. I due luoghi

Luogo positivo. I due rami che partono da $0$ e i due che partono da $-2$ escono dall'asse reale in direzione verticale e si incontrano a coppie nei punti doppi $-1\pm j$ ($K=4$): nel semipiano superiore il ramo da $0$ e quello da $-2$ si incontrano in $-1+j$, nel semipiano inferiore in $-1-j$. Poiché i punti doppi stanno sulla retta degli asintoti $\mathrm{Re}=-1$, il luogo è simmetrico rispetto a tale retta: da ciascun punto doppio un ramo scende o sale verso lo zero doppio $-1$ (che raggiungono da sopra e da sotto) e l'altro va all'infinito lungo l'asintoto $\mathrm{Re}=-1$ ($\pm\frac\pi2$). Tutto il luogo positivo è in $\mathrm{Re}<0$.

Luogo negativo. Coincide con l'asse reale: dal polo doppio $0$ un ramo va verso lo zero $-1$ e l'altro a $+\infty$; dal polo doppio $-2$ un ramo va verso $-1$ e l'altro a $-\infty$.

5. Stabilità BIBO

• $K>0$: tutti i poli in $\mathrm{Re}<0$: per $K=0{,}1$ i poli sono $-1{,}99\pm0{,}16j$ e $-0{,}01\pm0{,}16j$; per $K=4$ il doppio punto $-1\pm j$ (due volte); per $K=100$ $-1\pm9{,}9j$ e $-1\pm0{,}10j$. Stabile.
• $K<0$: il ramo che va a $+\infty$ lungo l'asse reale ha sempre un polo reale positivo (per $K=-1$: $0{,}618$; per $K=-5$: $1{,}618$): un polo in $\mathrm{Re}>0$, non stabile.

Risposta. $W$ è BIBO stabile se e solo se $K>0$; per $K<0$ ha esattamente un polo a parte reale positiva.

Verifica con Routh

$d+Kn=s^4+4s^3+(4+K)s^2+2Ks+K$: $$\begin{array}{c|ccc}4&1&4+K&K\\3&4&2K&\\2&4+\frac K2&K&\\1&\dfrac{K(K+4)}{4+K/2}&&\\0&K&&\end{array}$$ Per $K>0$ tutti gli elementi della prima colonna sono positivi: stabile ✓. Per $K<0$ l'ultimo elemento $K$ è negativo: nessuna stabilità; contando le variazioni: per $-4<K<0$ i segni sono $+,+,+,-,-$ (una variazione: 1 polo instabile); per $K<-4$ (e $>-8$) $+,+,+,+,-$ (una variazione); per $K<-8$ $+,+,-,-,-$ (una variazione): sempre 1 polo instabile ✓.

Errori comuni

• Prendere $s$, $s+1$, $s+2$ come punti doppi: sono poli e zeri doppi.
• Considerare solo punti doppi reali: qui i punti doppi sono complessi coniugati, con $K$ reale (condizione che li rende validi).
• Dimenticare che il luogo negativo coincide con l'asse reale e che un suo ramo va a $+\infty$ (instabilità per ogni $K<0$).
• Trascurare la simmetria rispetto alla retta degli asintoti: aiuta a tracciare il luogo positivo.
• Includere $K=0$ tra i valori studiati: $W\equiv0$.