Problema di regolazione e sintesi per tentativi

Questa è la parte "applicativa" del corso: dato un processo $G(s)$ e delle specifiche, progettare il controllore $C(s)$ da inserire nello schema in retroazione (Schemi di controllo in retroazione e funzioni di trasferimentoNello schema in retroazione unitaria negativa (controllore $C$, processo $G$) la FdT in catena aperta è $\tilde G=CG$ e quella in catena chiusa $W=\frac{\tilde G}{1+\tilde G}$; l'errore è $E=\frac{R}{1+\tilde G}=(1-W)R$. Zeri di $W$ = zeri di $\tilde G$, poli di $W$ = zeri di $1+\tilde G$. La BIBO stabilità di $W$ è un'altra cosa dalla stabilità di $G$: la retroazione sposta i poli. Le cancellazioni di fattori instabili tra $C$ e $G$ sono proibite.Schemi di controllo in retroazione e funzioni di trasferimento →).

Il problema

Ipotesi sul processo. $G\in\mathbb R(s)$ propria, con $G(0)\ne0$ (nessuno zero nell'origine) e nessun polo a parte reale positiva (sono ammessi poli nell'origine). Si scrive $$G(s)=\frac{K_B(G)}{s^r}\,G_1(s),\qquad r\ge0,\ \ G_1(0)=1,\ \ G_1\ \text{senza poli in}\ \mathrm{Re}\ge0.$$

• Se $G(0)=0$ la funzione di trasferimento $W=\frac{CG}{1+CG}$ avrebbe $W(0)=0$ (a meno di cancellazioni proibite): l'uscita a regime a un gradino sarebbe nulla e il problema di regolazione sarebbe irrisolubile.
• Se $G$ ha poli instabili si progetta prima un controllore stabilizzante $\bar C$ ($G'=\frac{\bar CG}{1+\bar CG}$ stabile), spesso un semplice guadagno, e poi si applica il metodo sul sistema risultante (schema a doppio anello). Qui non lo si tratta.

Obiettivo. Problema di regolazione: far assumere all'uscita, asintoticamente, un valore finale desiderato per un riferimento a gradino. Si progetta $C\in\mathbb R(s)$ propria tale che $W=\frac{CG}{1+CG}$ sia BIBO stabile e che:

1. (Specifica di regime) $W$ sia di tipo $k$ con $|e_{rp}^{(k+1)}|\le e_{rp}^*$ (Tipo e errore a regime di un sistema retroazionatoSe $W=\frac{\tilde G}{1+\tilde G}$ (con $\tilde G$ propria) è propria, BIBO stabile e $W(0)\ne0$, il tipo di $W$ coincide con il numero $h$ di poli nell'origine di $\tilde G$ (integratori in catena aperta). L'errore a regime corrispondente è $e_{rp}^{(h+1)}=\frac1{K_B(\tilde G)}$ per $h\ge1$ e $e_{rp}^{(1)}=\frac1{1+K_B(\tilde G)}$ per $h=0$. Per ridurre l'errore si alza il guadagno di Bode o si aggiungono integratori, compatibilmente con la stabilità.Tipo e errore a regime di un sistema retroazionato →).
2. (Specifica di transitorio) tempo di salita $t_r\approx t_r^*$ e sovraelongazione $S\le S^*$.

La seconda, usando le relazioni tra risposta al gradino e risposta in frequenza (Margine di fase, banda e picco di risonanzaPer $G$ strettamente propria, senza poli instabili, con $K_B>0$ e $\omega_A$ ben definita, la banda di $W=\frac G{1+G}$ è molto vicina a $\omega_A$ ($B_p\approx\omega_A$) e il tempo di salita si stima con $t_r\approx\frac{2{,}3}{\omega_A}$. Il margine di fase controlla le oscillazioni: $|W(j\omega_A)|=\frac1{2\sin(m_\varphi/2)}$, che approssima il picco di risonanza; per $\frac{\omega_n^2}{s(s+2\xi\omega_n)}$ si ha $m_\varphi\approx100,\xi$ gradi. Specifiche tipiche: $m_\varphi\ge45^\circ$ per poche oscillazioni, $m_\varphi\approx90^\circ$ per risposta tipo primo ordine.Margine di fase, banda e picco di risonanza →), si sostituisce con una specifica sulla catena aperta $\tilde G=CG$:

2'. pulsazione di attraversamento $\omega_A\simeq\omega_A^*$ e margine di fase $m_\varphi\ge m_\varphi^*$.

Nei temi d'esame le specifiche sono già in questa forma: tipo, errore, $\omega_A^*$, $m_\varphi^*$.

Strategia: la sintesi per tentativi

Si cerca $C=C'\cdot C''$ in due passi: $C'$ soddisfa la specifica 1 (regime), $C''$ la specifica 2' (transitorio) senza rovinare la prima.

Passo 1: tipo ed errore a regime

Si pone $$C'(s)=\frac{K_B(C')}{s^{\alpha}},$$ cioè un guadagno con $\alpha$ integratori. La catena aperta diventa $C'G=\frac{K_B(C')K_B(G)}{s^{\alpha+r}}G_1$, di tipo $\alpha+r$ (numero di poli nell'origine). Si impone $\alpha+r=k$ quando possibile e si ricava $|K_B(C')|$ dalla specifica di errore:

• $r\le k$: $\alpha=k-r$ integratori.
  • $k=0$ (quindi $r=0$, $\alpha=0$): $|e_{rp}^{(1)}|=\frac1{1+K_B(C')K_B(G)}\le e^*\iff|K_B(C')|\ge\frac1{|K_B(G)|}\Big(\frac1{e^*}-1\Big)$.
  • $k\ge1$: $|e_{rp}^{(k+1)}|=\frac1{|K_B(C')K_B(G)|}\le e^*\iff|K_B(C')|\ge\frac1{|K_B(G)|\,e^*}$.
• $r>k$: il sistema ha già un tipo maggiore del richiesto (e quindi errore nullo per il segnale di ordine $k+1$): $\alpha=0$ e $|K_B(C')|=1$, con $C'=\pm1$.

Si prende sempre l'uguaglianza (il valore più piccolo possibile): in seguito il guadagno di Bode della catena aperta potrà solo aumentare, mai diminuire. Il segno di $K_B(C')$ si sceglie in modo che $K_B(C'G)=K_B(C')K_B(G)>0$ ($\mathrm{sign}K_B(C')=\mathrm{sign}K_B(G)$): serve per il criterio di Bode.

Esempio 1 (tipo 0). $G=\dfrac{s+1}{(s+10)^2}$: $K_B(G)=\frac1{100}=0{,}01>0$, $r=0$. Tipo $0$ con $e^{(1)}_{rp}\le0{,}01$: $|K_B(C')|\ge\frac1{0{,}01}\Big(\frac1{0{,}01}-1\Big)=100\cdot99=9900$, quindi $C'=9900$ (nel corso si arrotonda a $10^4$).

Esempio 2 (tipo 1 con $K_B<0$). $G=\dfrac{s-1}{s^2+0{,}2s+1}$: $K_B(G)=-1$, $r=0$. Tipo $1$ con $|e^{(2)}_{rp}|\le0{,}1$: $\alpha=1$, $|K_B(C')|\ge\frac1{1\cdot0{,}1}=10$ e segno opposto a $K_B(G)$: $C'=-\dfrac{10}s$. Infatti $C'G=\frac{-10}{s}\cdot\frac{s-1}{s^2+0{,}2s+1}=\frac{10(1-s)}{s(s^2+0{,}2s+1)}$ ha $K_B=+10>0$.

Passo 2: pulsazione di attraversamento e margine di fase

Si studia $C'G$ (con diagrammi di Bode). Si definisce $$m_\varphi(\omega_A^*)=\arg\big[C'G(j\omega_A^*)\big]+180^\circ,$$ cioè il margine di fase che si avrebbe se la pulsazione di attraversamento fosse $\omega_A^*$ (in generale non lo è). Si calcolano $$M=\Big|\,|C'G(j\omega_A^*)|_{dB}\Big|\ (\text{dB da guadagnare o perdere}),\qquad\Phi=m_\varphi^*-m_\varphi(\omega_A^*)\ (\text{gradi di fase da guadagnare o perdere}).$$ Quattro casi, a seconda di dove sta $\omega_A$ di $C'G$ rispetto a $\omega_A^*$ e di come sta la fase:

Perché non basta un guadagno per abbassare: un guadagno $K_B(C'')<1$ ridurrebbe il guadagno di Bode di $C'G$ e violerebbe la specifica 1 (l'errore aumenterebbe). Perciò si abbassa il modulo solo ad alta frequenza con reti che non cambiano il guadagno in continua ($K_B(C'')=1$).

Condizioni sui controllori $C''$:

• $K_B(C'')>0$ e in particolare, per le reti (anticipatrici, attenuatrici, sella), $K_B(C'')=1$ (non cambia tipo né errore a regime);
• $C''$ propria: per ogni zero introdotto si aggiunge almeno un polo stabile a pulsazione molto maggiore di $\omega_A^*$ (almeno una decade, meglio due), in modo che la fase in $\omega_A^*$ non cambi;
• tutti zeri e poli di $C''$ stabili (cancellazioni instabili proibite).

La stabilità è garantita dal criterio di Bode

Al termine, $\tilde G=C'C''G$ ha: $K_B(\tilde G)>0$; tutti i poli in $\mathrm{Re}\le0$ (al più i poli nell'origine di $C'$ e $G$); è strettamente propria (basta aggiungere poli lontani). Se $\omega_A$ è ben definita e $m_\varphi\ge m_\varphi^*>0$, per il criterio di Bode (Pulsazione di attraversamento, margine di fase e criterio di BodeLa pulsazione di attraversamento $\omega_A$ è la $\omega>0$ in cui $|G(j\omega)|=1$ (0 dB); il margine di fase è $m_\varphi=180^\circ+\arg G(j\omega_A)$: quanta fase si può ancora perdere prima di arrivare a $-180^\circ$. Criterio di Bode: se $G$ è strettamente propria, ha guadagno di Bode $K_B>0$, nessun polo con $\mathrm{Re}>0$ e $\omega_A$ è ben definita (esiste ed è unica), allora $W=\frac G{1+G}$ è BIBO stabile $\iff m_\varphi>0$. Più $m_\varphi$ è grande, più il sistema è lontano dall'instabilità e meno oscilla.Pulsazione di attraversamento, margine di fase e criterio di Bode →) il sistema retroazionato $W$ è BIBO stabile. L'unicità di $\omega_A$ va controllata sul diagramma finale.

Verifica finale

Alla fine del progetto, sempre, si calcola (con i diagrammi di Bode o numericamente) la $\omega_A$ e il $m_\varphi$ del sistema complessivo $C'C''G$ e si controlla che soddisfino le specifiche. Il progetto è fatto con approssimazioni asintotiche ($\pm3$ dB, qualche grado), per questo le specifiche sono "$\simeq$" e "$\ge$".

Regole pratiche per il progetto con diagrammi asintotici

• Uno zero stabile in $z$ aggiunge a $\omega$ modulo $\sqrt{1+(\omega/z)^2}$ e fase $\arctan\frac\omega z$: con $z=\frac{\omega_A^*}{10}$ danno $20$ dB e $84{,}3^\circ$; con $z=\frac{\omega_A^*}{100}$ danno $40$ dB e $89{,}4^\circ$. Quindi $M$ dB si ottengono mettendo lo zero $\frac M{20}$ decadi prima di $\omega_A^*$, e la fase aggiunta è praticamente $90^\circ$ se $M\gtrsim20$ dB.
• Un polo stabile in $p$ è l'inverso: toglie modulo e fase. Va messo molto dopo $\omega_A^*$ per rendere propria la rete senza abbassare la fase ($p=10\omega_A^*$ costa $5{,}7^\circ$, $p=100\omega_A^*$ costa $0{,}6^\circ$).
• Un controllore proprio si ottiene solo con tanti poli quanti zeri, quindi la rete anticipatrice ha 1 zero e 1 polo.

Esempio 3 (caso ②, riga completa). $C'G=\dfrac{10}{(1+s)(1+\frac s{10})}$, specifiche $\omega_A^*=100$ rad/s, $m_\varphi^*=90^\circ$. In $\omega=100$: $|C'G|=-40{,}04$ dB, fase $-\arctan100-\arctan10=-173{,}7^\circ$, quindi $m_\varphi(\omega_A^*)=6{,}3^\circ$: $\omega_A<\omega_A^*$ e $m_\varphi(\omega_A^*)<m_\varphi^*$: caso ② con $M=40$ dB e $\Phi=83{,}7^\circ\le90^\circ$ (un solo zero). Lo zero va $\frac{40}{20}=2$ decadi prima di $\omega_A^*$, cioè in $1$, e il polo due decadi dopo, in $10^4$: $$C''(s)=\frac{1+s}{1+\frac s{10^4}}.$$ Verifica: $C'C''G=\dfrac{10}{(1+\frac s{10})(1+\frac s{10^4})}$ ha $\omega_A=99{,}5$ rad/s e fase $-84{,}8^\circ$, cioè $m_\varphi=95{,}2^\circ\ge90^\circ$ ✓. Il sistema retroazionato è BIBO stabile per il criterio di Bode ($K_B=10>0$, poli stabili, strettamente propria, $\omega_A$ unica).

Errori comuni

• Dimenticare di scegliere il segno di $K_B(C')$ (deve rendere positivo $K_B(C'G)$) o di mettere il valore assoluto.
• Confondere la formula per il tipo $0$ ($\frac1{e^*}-1$) con quella per i tipi $k\ge1$ ($\frac1{e^*}$).
• Alzare il guadagno dopo il passo 1 con un controllore che cambia $K_B$: l'unico modo di abbassare il modulo senza violare l'errore sono le reti attenuatrici.
• Non rendere $C$ propria: ogni zero richiede un polo successivo.
• Dimenticare la verifica finale: l'approssimazione asintotica può far mancare il margine di qualche grado.