Laplace per i modelli I-O - fratti semplici e risposta del sistema

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Questa nota raccoglie gli strumenti di calcolo usati in tutto il corso: dalla trasformata di Laplace al segnale nel tempo. La teoria generale della trasformata è in Trasformata di Laplace - definizione e regione di convergenza e Proprietà della trasformata di Laplace; il metodo dei fratti semplici è sviluppato in Antitrasformata di Laplace di funzioni razionali. Qui si fissano solo le formule che servono e si applicano a modelli I/O.

Le trasformate che servono

Tutti i segnali sono causali (nulli per $t<0$ ): si scrive $\delta_{-1}(t)$ per il gradino unitario e $\delta(t)$ per l'impulso.

Segnale $f(t)$ , $t\ge0$	$F(s)$
$\delta(t)$	$1$
$\delta_{-1}(t)=1$	$\dfrac1s$
$\dfrac{t^k}{k!}$ (rampa, parabola per $k=1,2$ )	$\dfrac1{s^{k+1}}$
$\dfrac{t^k}{k!}e^{\lambda t}$	$\dfrac1{(s-\lambda)^{k+1}}$
$e^{\sigma t}\cos\omega t$	$\dfrac{s-\sigma}{(s-\sigma)^2+\omega^2}$
$e^{\sigma t}\sin\omega t$	$\dfrac{\omega}{(s-\sigma)^2+\omega^2}$

Regole: linearità; derivata con condizioni iniziali $\mathcal L[y']=sY-y(0)$ , $\mathcal L[y'']=s^2Y-sy(0)-y'(0)$ ; traslazione in $s$ : $e^{\lambda t}f\leftrightarrow F(s-\lambda)$ . I segnali canonici $\delta_{-(k+1)}(t)=\frac{t^k}{k!}\delta_{-1}(t)$ hanno trasformata $s^{-(k+1)}$ : $\mathcal L[\delta_{-1}]=\frac1s$ , $\mathcal L[\text{rampa}]=\frac1{s^2}$ , $\mathcal L[\text{parabola}]=\frac1{s^3}$ .

Risposta di un modello I/O

Per l'equazione $a(\tfrac d{dt})y=b(\tfrac d{dt})u$ con ingresso causale $u$ e condizioni iniziali date, la trasformata dell'uscita è $Y(s)=\underbrace{\frac{b(s)}{a(s)}\,U(s)}_{Y_f(s)\ \text{forzata}}+\underbrace{\frac{c(s)}{a(s)}}_{Y_\ell(s)\ \text{libera}},$ dove $c(s)$ è un polinomio di grado $<n$ i cui coefficienti dipendono dalle condizioni iniziali (Laplace unilatera, funzione di trasferimento e stabilità). Il denominatore dell'evoluzione libera è sempre $a(s)$ ; quello della forzata è $a(s)$ per i poli del sistema più i poli dell'ingresso. Dopo aver sommato, la decomposizione in fratti semplici separa i modi del sistema (poli di $a$ ) dai modi dell'ingresso.

Decomposizione in fratti semplici

Se $Y(s)=\frac{N(s)}{D(s)}$ è strettamente propria si scrive come somma di termini $\frac{A}{s-p}$ . Tre casi:

Poli reali distinti. $\frac{N}{(s-p_1)\cdots(s-p_n)}=\sum\frac{A_i}{s-p_i}$ con $A_i=\lim_{s\to p_i}(s-p_i)Y(s)$ (metodo dei limiti: si copre il fattore $s-p_i$ e si valuta il resto in $p_i$ ).

Esempio. $Y=\dfrac{10}{s(s+1)(s+10)}$ (gradino all'ingresso di $W=\frac{10}{(s+1)(s+10)}$ ): $A_0=\frac{10}{1\cdot10}=1$ , $A_{-1}=\frac{10}{(-1)(9)}=-\frac{10}9$ , $A_{-10}=\frac{10}{(-10)(-9)}=\frac19$ . Quindi $y(t)=1-\tfrac{10}9e^{-t}+\tfrac19e^{-10t},$ con $y(0)=1-\frac{10}9+\frac19=0$ e $y'(0)=\frac{10}9-\frac{10}9=0$ (perché $Y$ ha grado relativo $3$ : $Y\sim\frac1{s^3}$ per $s$ grande).

Poli multipli. Per un polo $p$ di molteplicità $\mu$ servono $\mu$ termini $\sum_{k=1}^{\mu}\frac{A_k}{(s-p)^k}$ con $A_{\mu-j}=\frac1{j!}\left.\frac{d^j}{ds^j}\Big[(s-p)^\mu Y(s)\Big]\right|_{s=p}.$ Esempio. $Y=\dfrac1{s(s+1)^2}=\dfrac1s+\dfrac{A_2}{(s+1)^2}+\dfrac{A_1}{s+1}$ : $A_2=\frac1s\big|_{s=-1}=-1$ , $A_1=\frac d{ds}\frac1s\big|_{s=-1}=-\frac1{s^2}\big|_{-1}=-1$ . Dunque $y=1-te^{-t}-e^{-t}$ . Controllo: $y(0)=0$ , $y'(0)=-1+1=0$ ✓.

Poli complessi coniugati. Il termine corrispondente alla coppia $\sigma\pm j\omega$ si scrive $\frac{Bs+C}{(s-\sigma)^2+\omega^2}$ e si porta in forma "riconoscibile" riscrivendo il numeratore come $B(s-\sigma)+(C+B\sigma)$ : $\frac{Bs+C}{(s-\sigma)^2+\omega^2}=B\frac{s-\sigma}{(s-\sigma)^2+\omega^2}+\frac{C+B\sigma}{\omega}\cdot\frac{\omega}{(s-\sigma)^2+\omega^2}\ \longrightarrow\ e^{\sigma t}\Big(B\cos\omega t+\tfrac{C+B\sigma}\omega\sin\omega t\Big).$ Esempio. $Y=\dfrac{s+3}{s(s^2+2s+5)}$ . Il polo $0$ dà $A=\frac35$ ; il resto è $-\frac{3s+1}{5(s^2+2s+5)}$ (si trova imponendo l'uguaglianza dei numeratori). Con $\sigma=-1$ , $\omega=2$ : $3s+1=3(s+1)-2$ , quindi $\frac{3s+1}{(s+1)^2+4}\ \to\ e^{-t}\left(3\cos2t-\sin2t\right)\qquad\Longrightarrow\qquad y(t)=\frac35-\frac15e^{-t}\left(3\cos2t-\sin2t\right).$ Controllo: $y(0)=\frac35-\frac35=0$ ✓ e $y'(0)=1$ ✓ (grado relativo $3-1=2$ : $Y\sim\frac1{s^2}$ , quindi $y(0)=0$ e $y'(0)=1$ ).

Se $Y$ è solo propria (grado numeratore = grado denominatore) si estrae prima una costante: la parte costante corrisponde a un impulso $\delta(t)$ .

Esempio completo con condizioni iniziali

$y''+3y'+2y=4u$ , $u=\delta_{-1}$ , $y(0)=1$ , $y'(0)=0$ . Trasformando: $(s^2+3s+2)Y-(s+3)=\frac4s$ , quindi $Y(s)=\underbrace{\frac{s+3}{(s+1)(s+2)}}_{\text{libera}}+\underbrace{\frac4{s(s+1)(s+2)}}_{\text{forzata}}.$ Libera: $\frac{s+3}{(s+1)(s+2)}=\frac2{s+1}-\frac1{s+2}\ \to\ y_\ell=2e^{-t}-e^{-2t}$ . Forzata: $\frac4{s(s+1)(s+2)}=\frac2s-\frac4{s+1}+\frac2{s+2}\ \to\ y_f=2-4e^{-t}+2e^{-2t}$ . Somma: $y(t)=2-2e^{-t}+e^{-2t}.$ Controllo: $y(0)=1$ ✓, $y'(0)=2-2=0$ ✓ (verificata con la risoluzione simbolica).

Teorema del valore finale e iniziale

Valore iniziale: $y(0^+)=\lim_{s\to\infty}sY(s)$ .
Valore finale (versione "forte"): se tutti i poli di $sY(s)$ hanno parte reale negativa (ossia $y(t)$ ammette limite finito), allora $\displaystyle\lim_{t\to+\infty}y(t)=\lim_{s\to0}sY(s)$ . Se questa ipotesi non vale il limite del secondo membro può esistere pur senza che $y(t)$ abbia limite: per $Y=\frac1{s^2+1}$ , $\lim_{s\to0}sY=0$ ma $y=\sin t$ oscilla.

Per un gradino all'ingresso di un sistema BIBO stabile: $y(\infty)=\lim_{s\to0}s\frac{W(s)}s=W(0)$ (Risposta al gradino e suoi parametri).

Errori comuni

Dimenticare le condizioni iniziali (e quindi la parte libera) quando l'enunciato non dice "condizioni iniziali nulle".
Nei poli complessi, antitrasformare $\frac{Bs+C}{(s-\sigma)^2+\omega^2}$ come se il numeratore fosse $s$ : serve il termine $C+B\sigma$ del seno.
Applicare il valore finale senza controllare che $sY$ abbia poli in $\mathrm{Re}<0$ (con poli immaginari o instabili il teorema non vale).
Nei poli multipli, scrivere un solo termine $\frac{A}{(s-p)^\mu}$ : servono tutti i $\mu$ termini.

Versione ripasso

Tabella: $\delta\to1$ ; $\delta_{-1}\to\frac1s$ ; $\frac{t^k}{k!}e^{\lambda t}\to\frac1{(s-\lambda)^{k+1}}$ ; $e^{\sigma t}\cos\omega t\to\frac{s-\sigma}{(s-\sigma)^2+\omega^2}$ ; $e^{\sigma t}\sin\omega t\to\frac\omega{(s-\sigma)^2+\omega^2}$ . Derivata: $sY-y(0)$ .
Uscita: $Y=\frac{b}{a}U+\frac ca$ (forzata + libera), denominatore di $Y_\ell$ = $a(s)$ (Laplace unilatera, funzione di trasferimento e stabilità).
Fratti semplici (Antitrasformata di Laplace di funzioni razionali): reali distinti $A_i=\lim(s-p_i)Y$ ; molteplice $A_{\mu-j}=\frac1{j!}\frac{d^j}{ds^j}[(s-p)^\mu Y]_p$ ; complessi $\frac{Bs+C}{(s-\sigma)^2+\omega^2}\to e^{\sigma t}(B\cos\omega t+\frac{C+B\sigma}\omega\sin\omega t)$ .
Esempi: $\frac{10}{s(s+1)(s+10)}\to1-\frac{10}9e^{-t}+\frac19e^{-10t}$ ; $\frac1{s(s+1)^2}\to1-(1+t)e^{-t}$ ; $\frac{s+3}{s(s^2+2s+5)}\to\frac35-\frac15e^{-t}(3\cos2t-\sin2t)$ ; $y''+3y'+2y=4\delta_{-1}$ , $y(0)=1,y'(0)=0$ : $y=2-2e^{-t}+e^{-2t}$ .
Valore finale (forte): se $sY$ ha poli con $\mathrm{Re}<0$ , $y(\infty)=\lim_{s\to0}sY$ ; iniziale $y(0^+)=\lim_{s\to\infty}sY$ .
Errori: cond. iniziali dimenticate, $C+B\sigma$ omesso, valore finale con poli immaginari, un solo termine per polo multiplo.