Amplificatori operazionali in retroazione e stabilità

Il corso di Elettronica tratta l'amplificatore operazionale come componente ideale (guadagno infinito, corto virtuale: Amplificatore operazionale ideale - corto virtuale e configurazioni baseL'amplificatore operazionale (opamp) è un amplificatore differenziale con guadagno altissimo: v_O = A (v_NI − v_INV). Nel modello ideale A = ∞, Rin = ∞, Rout = 0, banda infinita. Con una retroazione negativa dall'uscita all'ingresso invertente l'uscita si porta al valore che rende nulla la tensione differenziale (corto virtuale: v_NI = v_INV) senza che entri corrente negli ingressi. Con questa sola regola si ricavano l'amplificatore non invertente (Av = 1 + R2/R1, Rin = ∞) e l'invertente (Av = −R2/R1, Rin = R1); in entrambi Rout = 0.Amplificatore operazionale ideale - corto virtuale e configurazioni base →). Dal punto di vista dei controlli l'operazionale è un esempio concreto di sistema in retroazione: una parte dell'uscita è riportata sull'ingresso invertente. Qui si studia come cambia la funzione di trasferimento quando il guadagno è finito e dipende dalla frequenza, e si usano gli strumenti di stabilità del corso.

Il modello dell'operazionale reale

L'uscita dell'operazionale è $Y(s)=A(s)\,[V_+(s)-V_-(s)]$, dove $A(s)$ è la funzione di trasferimento ad anello aperto (guadagno differenziale): per un componente reale $A(s)=\frac{A_0}{1+s/\omega_p}$ ($A_0$ dell'ordine di $10^5$, $\omega_p$ di pochi hertz) oppure, nei problemi di controllo, un modello con più poli. L'ideale si ottiene per $A\to\infty$.

Le due configurazioni con impedenze

Siano $Z_1$ e $Z_2$ due impedenze (funzioni di $s$: $R$, $\frac1{sC}$, $sL$ e loro combinazioni), $u$ l'ingresso e $y$ l'uscita.

Invertente. $V_+=0$; l'ingresso $u$ arriva su $V_-$ tramite $Z_1$ e l'uscita ritorna su $V_-$ tramite $Z_2$: per il partitore $V_-=\frac{Z_2u+Z_1y}{Z_1+Z_2}$. Con $y=A(0-V_-)$: $$y\Big(1+\frac{AZ_1}{Z_1+Z_2}\Big)=-\frac{AZ_2}{Z_1+Z_2}u\ \Longrightarrow\ W_r(s)=-\frac{A\,Z_2}{Z_1+Z_2+A\,Z_1}.$$ Non invertente ($u$ su $V_+$, $V_-=\frac{Z_1}{Z_1+Z_2}y$): $y=A(u-\beta y)\Rightarrow W_r=\frac{A}{1+A\beta}$ con $\beta=\frac{Z_1}{Z_1+Z_2}$.

In entrambi i casi, con $\beta(s)=\frac{Z_1}{Z_1+Z_2}$ e $L(s)=A(s)\beta(s)$ (guadagno d'anelloprodotto A·β lungo l'anello di retroazione): $$\boxed{W_r(s)=W_{id}(s)\cdot\frac{L(s)}{1+L(s)}},\qquad W_{id}=-\frac{Z_2}{Z_1}\ \text{(invertente)},\quad W_{id}=1+\frac{Z_2}{Z_1}=\frac1\beta\ \text{(non invertente)}.$$ Infatti nel caso invertente $W_r/W_{id}=\frac{Z_1}{Z_1+Z_2}\cdot\frac{A}{1+A\beta}=\frac{A\beta}{1+A\beta}$. Questo è proprio lo schema di retroazione unitaria negativa (Schemi di controllo in retroazione e funzioni di trasferimentoNello schema in retroazione unitaria negativa (controllore $C$, processo $G$) la FdT in catena aperta è $\tilde G=CG$ e quella in catena chiusa $W=\frac{\tilde G}{1+\tilde G}$; l'errore è $E=\frac{R}{1+\tilde G}=(1-W)R$. Zeri di $W$ = zeri di $\tilde G$, poli di $W$ = zeri di $1+\tilde G$. La BIBO stabilità di $W$ è un'altra cosa dalla stabilità di $G$: la retroazione sposta i poli. Le cancellazioni di fattori instabili tra $C$ e $G$ sono proibite.Schemi di controllo in retroazione e funzioni di trasferimento →) con catena aperta $\tilde G=L=A\beta$: per $A\to\infty$ si ha $\frac L{1+L}\to1$ e $W_r\to W_{id}$.

Esempio 1: guadagno e banda con un solo polo

Invertente con $Z_1=R_1$, $Z_2=R_2$, $\frac{R_2}{R_1}=10$ ($\beta=\frac1{11}$) e $A=\frac{A_0}{1+s/\omega_p}$ con $A_0=10^5$, $\omega_p=2\pi\cdot10=62{,}8$ rad/s. Allora $L=\frac{A_0\beta}{1+s/\omega_p}$ e $$\frac L{1+L}=\frac{A_0\beta}{1+A_0\beta+s/\omega_p}=\frac{A_0\beta}{1+A_0\beta}\cdot\frac1{1+\frac s{\omega_p(1+A_0\beta)}}.$$ Guadagno a bassa frequenza $\frac{A_0\beta}{1+A_0\beta}=0{,}99989$ (praticamente $1$: $W_r(0)=-9{,}9989$ invece di $-10$) e un solo polo in $-\omega_p(1+A_0\beta)=-5{,}71\cdot10^5$ rad/s ($91$ kHz): la retroazione ha spostato il polo da $63$ rad/s a $5{,}7\cdot10^5$ rad/s, a spese del guadagno ($10$ invece di $10^5$). Il prodotto guadagno$\times$banda è circa costante. Poiché $L$ ha un solo polo, il sistema retroazionato è BIBO stabile per ogni $A_0\beta>0$.

Esempio 2: integratore con operazionale a più poli

Invertente con $Z_1=R$ e $Z_2=\frac1{sC}$ ($W_{id}=-\frac1{sRC}$, integratore), $RC=1$ e operazionale quasi ideale con $A(s)=\frac K{(1+s)^3}$, $K>0$. Allora $$\beta=\frac{R}{R+\frac1{sC}}=\frac{s}{s+1},\qquad L=A\beta=K\,\frac{s}{(s+1)^4}.$$ Il fattore $\frac L{1+L}$ è la retroazione con catena aperta $\tilde G=\frac{Ks}{(s+1)^4}$ e equazione caratteristica $(s+1)^4+Ks=s^4+4s^3+6s^2+(4+K)s+1=0$. La tabella di Routh (Criterio di Routh-HurwitzIl criterio di Routh stabilisce se un polinomio $P(s)=p_ns^n+\dots+p_0$ è di Hurwitz senza calcolarne le radici. Si costruisce la tabella (righe $n,n-1,\dots,0$) con $\text{nuovo}=\frac{\text{pivot}\cdot a-\text{prec.}\cdot b}{\text{pivot}}$; se la tabella va a compimento, il numero di variazioni di segno nella prima colonna è il numero di radici con $\mathrm{Re}>0$, le permanenze il numero con $\mathrm{Re}<0$. Elemento nullo in prima colonna: $P$ non è Hurwitz; riga nulla: radici simmetriche (spesso immaginarie) date dal polinomio ausiliario. Con parametro $K$ nei coefficienti dà gli intervalli di stabilità.Criterio di Routh-Hurwitz →) con righe $(1,6,1)$, $(4,4+K,0)$, $\left(\frac{20-K}4,1\right)$, $\left(\frac{(20-K)(4+K)-16}{20-K},0\right)$, $(1)$ dà la condizione $K<20$ e $(20-K)(4+K)>16\iff K^2-16K-64<0\iff K<8+\sqrt{128}=19{,}31$. Dunque $W_r$ è BIBO stabile per $0<K<19{,}31$: se $K$ cresce troppo l'operazionale diventa instabile con il fattore dell'anello (poli che attraversano l'asse immaginario in $\pm j2{,}4$: per $K=19$ i poli sono $-3{,}94,\ -0{,}04,\ -0{,}007\pm2{,}40j$, per $K=19{,}5$ si ha $+0{,}004\pm2{,}42j$). Il caso rientra in Luogo delle radici - stabilità BIBO al variare di KPer studiare la stabilità BIBO di $W_K=\frac{KG}{1+KG}$ al variare di $K\in\mathbb R\setminus{0}$ si tracciano luogo positivo e negativo (rami, asse reale, asintoti, punti doppi con il segno di $K$, intersezioni con l'asse immaginario con il loro $K$) e si segue come i rami si muovono rispetto all'asse immaginario: il numero di poli in $\mathrm{Re}>0$ cambia solo agli attraversamenti. $W_K$ è BIBO stabile per i soli $K$ con tutti i rami in $\mathrm{Re}<0$; ai $K$ critici (attraversamento) ci sono poli immaginari. La tabella di Routh su $d+Kn$ dà gli stessi risultati.Luogo delle radici - stabilità BIBO al variare di K → (Esercizio 26 · integratore con operazionale quasi ideale e luogo delle radici (tema d'esame luglio 2014)).

Che cosa cambia scambiando i morsetti $+$ e $-$

Se l'uscita viene riportata sull'ingresso non invertente invece che su quello invertente, la retroazione diventa positiva: nell'espressione dell'anello il segno si inverte e l'equazione caratteristica diventa $1-L=0$ al posto di $1+L=0$. Il luogo delle radici da considerare è quello negativo (guadagno $-K$). Se il guadagno d'anello in continua supera $1$ ($L(0)>1$, caso tipico dell'amplificatore con $A_0\beta\gg1$) il polinomio caratteristico $d(s)-Kn(s)$ vale $d(0)-Kn(0)<0$ in $s=0$ e tende a $+\infty$ per $s\to+\infty$: ha una radice reale positiva e il sistema è instabile (l'uscita satura), a differenza della retroazione negativa che stabilizza. Nell'integratore dell'esempio ($\beta(0)=0$) il polinomio $s^4+4s^3+6s^2+(4-K)s+1$ ha il coefficiente di $s$ negativo per $K>4$ e quindi non è di Hurwitz.

Errori comuni

• Assumere che $W_r=W_{id}$: è un'approssimazione valida solo se $|L|=|A\beta|\gg1$ nella banda considerata.
• Dimenticare che il fattore $\beta=\frac{Z_1}{Z_1+Z_2}$ è un partitore, diverso da $\frac{Z_1}{Z_2}$.
• Studiare la stabilità di $W_r$ dai poli di $A$ invece che dalle radici di $1+A\beta$.
• Con operazionale a più poli, aumentare $K$ (guadagno in continua) senza verificare il limite di stabilità.