Margine di fase, banda e picco di risonanza

Le specifiche di prestazione sono date sulla risposta al gradino (rapidità $t_r$, oscillazioni $S$) di $W=\frac{\tilde G}{1+\tilde G}$ (Risposta al gradino e risposta in frequenza - sistemi del primo e del secondo ordineParametri della risposta in frequenza: banda passante $B_p$ (modulo entro $3$ dB da $|W(0)|$), pulsazione di risonanza $\omega_r$, picco di risonanza $M_r$. Per sistemi del 1° e 2° ordine strettamente propri, BIBO stabili, con $W(0)\ne0$ e senza zeri instabili: risposta al gradino monotona $\Leftrightarrow$ modulo monotono (niente picco); oscillazioni $\Leftrightarrow$ picco di risonanza; $B_p,t_r\approx2{,}3$ (proporzionalità inversa). Per $\frac{\omega_n^2}{s^2+2\xi\omega_ns+\omega_n^2}$: $S=100e^{-\pi\xi/\sqrt{1-\xi^2}}$, $M_r=\frac1{2\xi\sqrt{1-\xi^2}}$.Risposta al gradino e risposta in frequenza - sistemi del primo e del secondo ordine →), mentre il progetto lavora sulla catena aperta $\tilde G=CG$. Questa nota costruisce il collegamento tra $W$ e $\tilde G$: $\omega_A$ e $m_\varphi$ di $\tilde G$ determinano banda, rapidità e oscillazioni di $W$.

La banda di $W$ è vicina a $\omega_A$

Si ipotizza: $\tilde G$ strettamente propria, senza poli a parte reale positiva, con $K_B>0$ molto elevato se non ha poli nell'origine, e $\omega_A$ ben definita. Allora:

• Per $\omega\ll\omega_A$ si ha $|\tilde G(j\omega)|\gg1$ e quindi $W=\frac{\tilde G}{1+\tilde G}\approx1$: $|W|_{dB}\approx0$.
• Per $\omega\gg\omega_A$ si ha $|\tilde G|\ll1$ e $W\approx\tilde G$: il modulo di $W$ segue quello di $\tilde G$ e scende.

La banda $B_p$ di $W$ (modulo a $-3$ dB) cade dunque vicino alla zona di transizione, cioè vicino a $\omega_A$: $B_p\approx\omega_A$.

Caso $m_\varphi=90^\circ$ esatto: $\tilde G(j\omega_A)=e^{-j\pi/2}=-j$, quindi $$|W(j\omega_A)|=\left|\frac{-j}{1-j}\right|=\frac1{\sqrt2}\ \ (-3\ \text{dB}),$$ cioè $\omega_A=B_p$ esattamente. In questa situazione $W\approx\frac{\omega_A}{s+\omega_A}$ (primo ordine) e dalla relazione $B_pt_r\approx2{,}3$ segue $$\boxed{t_r\approx\frac{\ln10}{\omega_A}\approx\frac{2{,}3}{\omega_A}.}$$ Per questo nelle specifiche di sintesi la richiesta sul tempo di salita si traduce nella richiesta $\omega_A\simeq\omega_A^*$, con $\omega_A^*\approx\frac{2{,}3}{t_r^*}$.

Il margine di fase controlla le oscillazioni

Calcolando $W$ in $\omega_A$: $\tilde G(j\omega_A)=e^{j(-180^\circ+m_\varphi)}=-e^{jm_\varphi}$, quindi $|1+\tilde G|=|1-e^{jm_\varphi}|=2\sin\frac{m_\varphi}2$ e $$|W(j\omega_A)|=\frac1{2\sin\frac{m_\varphi}2}.$$ Per $m_\varphi$ piccolo $|W(j\omega_A)|$ è grande: picco di risonanzavalore massimo del modulo di W rispetto al valore in continua alto e risposta al gradino molto oscillante. $m_\varphi=60^\circ$ dà esattamente $|W(j\omega_A)|=1$ (nessuna amplificazione); per $m_\varphi=90^\circ$ vale $0{,}707$. Questa quantità approssima il picco di risonanza $M_r$ (coincide quasi con esso per $m_\varphi$ piccolo).

Il caso modello: $\tilde G=\dfrac{\omega_n^2}{s(s+2\xi\omega_n)}$

Poiché $W=\frac{\omega_n^2}{s^2+2\xi\omega_ns+\omega_n^2}$ è il secondo ordine canonico, si possono dare formule esatte. Da $|\tilde G(j\omega_A)|=1$: $$\frac{\omega_A^2}{\omega_n^2}=\sqrt{1+4\xi^4}-2\xi^2,\qquad m_\varphi=\arctan\frac{2\xi}{\sqrt{\sqrt{1+4\xi^4}-2\xi^2}}.$$ I valori (calcolati dalle formule e verificati numericamente) sono:

Regola pratica: $m_\varphi\approx100\,\xi$ gradi per $\xi\lesssim0{,}6$. Quindi $m_\varphi=45^\circ$ corrisponde a $\xi\approx0{,}42$ ($S\approx23\%$, $M_r\approx1{,}3$); $m_\varphi=60^\circ$ a $\xi\approx0{,}6$ ($S\approx9\%$); con $m_\varphi$ vicino a $90^\circ$ la risposta è praticamente monotona.

Che cosa si impone nella sintesi

La specifica "tempo di salita $t_r\approx t_r^*$, sovraelongazione $S\le S^*$" viene sostituita da una specifica sulla catena aperta: $$\omega_A\approx\omega_A^*\quad\text{e}\quad m_\varphi\ge m_\varphi^*,$$ con $\omega_A^*\approx\frac{2{,}3}{t_r^*}$ e $m_\varphi^*$ dedotto dalla tabella (per esempio $S\le16\%\Rightarrow m_\varphi^*\approx50^\circ$). Nei temi d'esame i valori $\omega_A^*$ e $m_\varphi^*$ sono dati direttamente ($m_\varphi^*=90^\circ$, $80^\circ$, $45^\circ$...): $m_\varphi\ge90^\circ$ significa che alla pulsazione di attraversamento la fase è al più $-90^\circ$, come in un sistema del primo ordine (Problema di regolazione e sintesi per tentativiProblema di regolazione: data $G$ propria, senza poli in $\mathrm{Re}>0$, con $G(0)\ne0$ (cioè $G=\frac{K_B(G)}{s^r}G_1$, $G_1(0)=1$), progettare $C$ propria tale che $W=\frac{CG}{1+CG}$ sia BIBO stabile, di tipo $k$ con $|e_{rp}^{(k+1)}|\le e^$, con $\omega_A\simeq\omega_A^$ e $m_\varphi\ge m_\varphi^$. Sintesi per tentativi: Passo 1 $C'=\frac{K_B(C')}{s^\alpha}$ ($\alpha=\max(k-r,0)$, $|K_B(C')|$ minimo che soddisfa l'errore, segno di $K_B(G)$); Passo 2 $C''$ con $K_B(C'')=1$ che porta $\omega_A$ e $m_\varphi$ ai valori voluti in quattro casi ($\omega_A\gtrless\omega_A^$, $m_\varphi(\omega_A^)\gtrless m_\varphi^$): guadagno, rete anticipatrice, attenuatrice, a sella. Il criterio di Bode garantisce la stabilità.Problema di regolazione e sintesi per tentativi →).

Errori comuni

• Applicare $B_p\approx\omega_A$ a sistemi con $m_\varphi$ piccolo: la banda può essere più grande di $\omega_A$ (vicino al picco).
• Confondere $\omega_A$ (catena aperta, $|\tilde G|=1$) con $B_p$ (catena chiusa, $|W|=-3$ dB): coincidono solo per $m_\varphi=90^\circ$.
• Pensare che $m_\varphi$ determini il tempo di salita: lo determina $\omega_A$; $m_\varphi$ determina le oscillazioni.
• Usare la regola $m_\varphi\approx100\xi$ oltre $\xi\approx0{,}6$ o per sistemi con zeri vicini.