Esercizio 24inseguimento di una sinusoide con controllore a poli immaginari (tema d'esame febbraio 2022)

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Teoria usata: Reiezione dei disturbi e inseguimento di segnali sinusoidaliCon $W=\frac{CG}{1+CG}$ BIBO stabile, un disturbo costante $d_0$ all'ingresso del processo è reiettato a regime se e solo se $C(s)$ ha un polo in $0$ (integratore prima del punto in cui entra il disturbo); un disturbo all'uscita è reiettato se e solo se $CG$ ha un polo in $0$ (tipo $\ge1$). Un riferimento sinusoidale $A\cos(\omega_0t+\varphi)\delta_{-1}$ è inseguito con errore nullo se e solo se la catena aperta $\tilde G=CG$ ha una coppia di poli immaginari $\pm j\omega_0$ (principio del modello interno).Reiezione dei disturbi e inseguimento di segnali sinusoidali →, Problema di regolazione e sintesi per tentativiProblema di regolazione: data $G$ propria, senza poli in $\mathrm{Re}>0$, con $G(0)\ne0$ (cioè $G=\frac{K_B(G)}{s^r}G_1$, $G_1(0)=1$), progettare $C$ propria tale che $W=\frac{CG}{1+CG}$ sia BIBO stabile, di tipo $k$ con $|e_{rp}^{(k+1)}|\le e^$, con $\omega_A\simeq\omega_A^$ e $m_\varphi\ge m_\varphi^$. Sintesi per tentativi: Passo 1 $C'=\frac{K_B(C')}{s^\alpha}$ ($\alpha=\max(k-r,0)$, $|K_B(C')|$ minimo che soddisfa l'errore, segno di $K_B(G)$); Passo 2 $C''$ con $K_B(C'')=1$ che porta $\omega_A$ e $m_\varphi$ ai valori voluti in quattro casi ($\omega_A\gtrless\omega_A^$, $m_\varphi(\omega_A^)\gtrless m_\varphi^$): guadagno, rete anticipatrice, attenuatrice, a sella. Il criterio di Bode garantisce la stabilità.Problema di regolazione e sintesi per tentativi →, Reti anticipatriciLa rete anticipatrice $C_{ant}(s)=\frac{1+s/z}{1+s/p}=\frac{1+sT}{1+\alpha Ts}$ con $0<z<p$ ($\alpha=\frac zp<1$) ha $K_B=1$, alza il modulo di $20\log\frac pz$ dB tra $z$ e $p$ e aggiunge fase (massimo $\arcsin\frac{1-\alpha}{1+\alpha}$ in $\sqrt{zp}$). Si usa nei casi ②, ④ (parte anticipatrice) della sintesi: con $\Phi\le90^\circ$ si mette uno zero $\frac M{20}$ decadi prima di $\omega_A^$; con $90^\circ<\Phi\le180^\circ$ due zeri a $\frac M{40}$ decadi; il polo (o i poli) almeno una o due decadi dopo $\omega_A^$ per rendere la rete propria.Reti anticipatrici →, Tipo e errore a regime di un sistema retroazionatoSe $W=\frac{\tilde G}{1+\tilde G}$ (con $\tilde G$ propria) è propria, BIBO stabile e $W(0)\ne0$, il tipo di $W$ coincide con il numero $h$ di poli nell'origine di $\tilde G$ (integratori in catena aperta). L'errore a regime corrispondente è $e_{rp}^{(h+1)}=\frac1{K_B(\tilde G)}$ per $h\ge1$ e $e_{rp}^{(1)}=\frac1{1+K_B(\tilde G)}$ per $h=0$. Per ridurre l'errore si alza il guadagno di Bode o si aggiungono integratori, compatibilmente con la stabilità.Tipo e errore a regime di un sistema retroazionato →, Pulsazione di attraversamento, margine di fase e criterio di BodeLa pulsazione di attraversamento $\omega_A$ è la $\omega>0$ in cui $|G(j\omega)|=1$ (0 dB); il margine di fase è $m_\varphi=180^\circ+\arg G(j\omega_A)$: quanta fase si può ancora perdere prima di arrivare a $-180^\circ$. Criterio di Bode: se $G$ è strettamente propria, ha guadagno di Bode $K_B>0$, nessun polo con $\mathrm{Re}>0$ e $\omega_A$ è ben definita (esiste ed è unica), allora $W=\frac G{1+G}$ è BIBO stabile $\iff m_\varphi>0$. Più $m_\varphi$ è grande, più il sistema è lontano dall'instabilità e meno oscilla.Pulsazione di attraversamento, margine di fase e criterio di Bode →.

Che cosa impone l'inseguimento della sinusoide

Il sistema retroazionato segue con errore nullo $\cos(\omega_0t+\varphi)\delta_{-1}$ se e solo se la catena aperta $CG$ ha una coppia di poli immaginari coniugati in $\pm j\omega_0$ (Reiezione dei disturbi e inseguimento di segnali sinusoidaliCon $W=\frac{CG}{1+CG}$ BIBO stabile, un disturbo costante $d_0$ all'ingresso del processo è reiettato a regime se e solo se $C(s)$ ha un polo in $0$ (integratore prima del punto in cui entra il disturbo); un disturbo all'uscita è reiettato se e solo se $CG$ ha un polo in $0$ (tipo $\ge1$). Un riferimento sinusoidale $A\cos(\omega_0t+\varphi)\delta_{-1}$ è inseguito con errore nullo se e solo se la catena aperta $\tilde G=CG$ ha una coppia di poli immaginari $\pm j\omega_0$ (principio del modello interno).Reiezione dei disturbi e inseguimento di segnali sinusoidali →). Qui $\omega_0=1$: $C(s)$ deve contenere il fattore $\dfrac1{1+s^2}$ ($G$ non ha poli in $\pm j$). La specifica sul tipo $0$ è quindi compatibile (il tipo conta i poli nell'origine, non quelli in $\pm j$); l'errore a regime al gradino vale $\frac1{1+K_B(CG)}$ con $K_B(CG)=C(0)G(0)$.

Passo 1: errore al gradino e poli in $\pm j$

Il fattore $\frac1{1+s^2}$ (con guadagno in continua $1$) va incluso in $C'$. Errore $e_{rp}^{(1)}=\frac1{1+K_B(C')\cdot0{,}1}=0{,}1\Rightarrow K_B(C')\cdot0{,}1=9\Rightarrow K_B(C')=90$. Quindi $$C'(s)=\frac{90}{1+s^2},\qquad C'G=\frac{90}{(1+s^2)(s+10)}=\frac9{(1+s^2)\left(1+\frac s{10}\right)}.$$ $K_B(C'G)=9$ ($19{,}1$ dB), due poli immaginari in $\pm j$ (trinomio con $\xi=0$, $\omega_n=1$), un polo reale in $-10$.

Passo 2: $\omega_A$ e margine di fase

Diagramma di $C'G$. Modulo: piatto a $19{,}1$ dB fino a $\omega=1$, risonanza infinita in $\omega=1$ (poli immaginari), poi $-40$ dB/dec fino a $\omega=10$ e $-60$ dB/dec dopo. Fase: $0^\circ$ fino a $\omega=1$, salto di $-180^\circ$ in $\omega=1$ (nota del testo), poi il polo reale porta da $-180^\circ$ a $-270^\circ$ (in $\omega=10$ vale $-225^\circ$). La pulsazione di attraversamento di $C'G$ è $\simeq3$ rad/s (il modulo vale $1$ in $\omega\approx3{,}1$), minore di $\omega_A^*=10$.

In $\omega=\omega_A^*=10$: modulo $20\log\dfrac{9}{99\cdot1{,}414}=-23{,}84$ dB ($M=23{,}84$ dB da guadagnare), fase $-180^\circ-45^\circ=-225^\circ$, quindi $m_\varphi(\omega_A^*)=-45^\circ$ e $\Phi=90^\circ-(-45^\circ)=135^\circ>90^\circ$. Caso ②: servono due zeri, che devono portare il modulo di $M=23{,}84$ dB, cioè ciascuno $\frac M2=11{,}9$ dB: $\sqrt{1+(10/z)^2}=10^{11{,}9/20}=3{,}94$, cioè $\frac{10}z=3{,}81$, $z=2{,}62$ rad/s (la regola approssimata $z=\omega_A^*10^{-M/40}=2{,}54$ dà un risultato simile). Due poli lontani rendono la rete propria: a $10^3$ rad/s (due decadi dopo $\omega_A^*$, costo $1{,}15^\circ$ in totale).

Controllore. $$C(s)=\frac{90\left(1+\frac s{2{,}62}\right)^2}{(1+s^2)\left(1+\frac s{1000}\right)^2}.$$ È propria (numeratore di grado $2$, denominatore di grado $4$).

Verifica. In $\omega=10$: modulo $\frac{9\cdot\left(1+(10/2{,}62)^2\right)}{99\cdot1{,}414\cdot1{,}0001}\approx1{,}00$ ($\omega_A=10{,}01$ rad/s), fase $-225^\circ$ (poli immaginari $-180^\circ$ e polo in $-10$: $-45^\circ$) $+\,2\arctan3{,}815=+150{,}6^\circ$ (due zeri) $-\,2\arctan0{,}01=-1{,}15^\circ$ (due poli lontani), cioè $-75{,}5^\circ$: $m_\varphi=104{,}5^\circ\ge90^\circ$ ✓ (il testo chiede circa $90^\circ$). Il sistema retroazionato è BIBO stabile: i poli di $W=\frac{CG}{1+CG}$ sono $-1109{,}0$, $-877{,}4$, $-20{,}3$, $-1{,}63\pm1{,}55j$, tutti con parte reale negativa (la stabilità si verifica sul polinomio caratteristico perché $CG$ ha poli sull'asse immaginario; $K_B(CG)=9>0$ e $\omega_A$ unica).

Controllo delle specifiche.

• Errore al gradino: $K_B(CG)=C(0)G(0)=90\cdot\frac1{10}=9$, $e_{rp}^{(1)}=\frac1{1+9}=0{,}1$ ✓ (simulazione: errore al gradino unitario $\to0{,}1000$).
• Inseguimento della sinusoide: l'errore con $r(t)=\cos t\,\delta_{-1}(t)$ è $E=\frac1{1+CG}R$: i poli $\pm j$ di $R$ sono cancellati dagli zeri di $\frac1{1+CG}$: infatti $$\frac1{1+CG}=\frac{(1+s^2)(s+10)\left(1+\frac s{1000}\right)^2}{(1+s^2)(s+10)\left(1+\frac s{1000}\right)^2+90\left(1+\frac s{2{,}62}\right)^2}$$ ha al numeratore il fattore $1+s^2$ e al denominatore un polinomio di Hurwitz. Quindi $e(t)\to0$ (simulazione: $|e|<10^{-7}$ dopo $60$ s, con un picco iniziale $1$).

Errori comuni

• Dimenticare il fattore $\frac1{1+s^2}$ nel controllore: senza di esso la sinusoide non è inseguita (resta un errore di regime sinusoidale).
• Calcolare la fase di $C'G$ senza il salto di $-180^\circ$ dei poli immaginari: la nota del testo serve proprio a questo.
• Cancellare i poli immaginari con zeri immaginari: i poli $\pm j$ in $CG$ servono, non vanno cancellati.
• Usare per il guadagno la formula del tipo $0$ ma con $K_B$ sbagliato: qui $K_B(CG)=C(0)G(0)$ e i poli in $\pm j$ non compaiono in $C(0)$ (il fattore $\frac1{1+s^2}$ vale $1$ in $s=0$).
• Non verificare la stabilità del sistema retroazionato: i poli immaginari in catena aperta possono renderlo instabile se la fase non è corretta.