Luogo negativo delle radici

Il guadagno di un controllore proporzionale può essere anche negativo (per esempio se il processo ha guadagno negativo, o se si inverte il segno dell'azione di controllo). Il luogo delle radici per $K<0$ si chiama luogo negativoinsieme dei poli del sistema retroazionato per K<0. Lo si traccia con le stesse idee del luogo positivo (Luogo delle radici - definizione e regole di tracciamentoPer $G=\frac{n(s)}{d(s)}$ (monici, coprimi, $n=\deg d\ge m=\deg n$) e $W_K=\frac{KG}{1+KG}$, il luogo positivo è l'insieme dei $s$ con $d(s)+Kn(s)=0$ per qualche $K>0$ (i poli di $W_K$ al variare di $K$). Regole: $n$ rami simmetrici rispetto all'asse reale, partono dai poli ($K=0$) e finiscono negli $m$ zeri o negli $n-m$ asintoti; un punto reale è nel luogo positivo se alla sua destra ci sono un numero dispari di poli+zeri reali (con molteplicità); asintoti con direzioni $\frac{(2i+1)\pi}{n-m}$ e centro $x_B=\frac{\sum p_i-\sum z_i}{n-m}$; il guadagno in un punto è $K=-\frac{d(s)}{n(s)}$.Luogo delle radici - definizione e regole di tracciamento →), con piccole variazioni.

Condizione di appartenenza

Sia ancora $G=\frac nd$ con $n,d$ monici e coprimi. Un punto $\alpha$ appartiene a $\mathcal L_-$ se esiste $K<0$ con $d(\alpha)+Kn(\alpha)=0$, cioè $\frac{d(\alpha)}{n(\alpha)}=-K=|K|>0$: il rapporto è un numero reale positivo. Quindi $$\left|\frac{d(\alpha)}{n(\alpha)}\right|=|K|,\qquad\sum_{i=1}^n\angle(\alpha-p_i)-\sum_{i=1}^m\angle(\alpha-z_i)=2h\pi,\quad h\in\mathbb Z:$$ la condizione di fase richiede un multiplo pari di $\pi$ (nel luogo positivo era dispari).

Le regole del luogo negativo

1. Rami: come nel positivo, partono dai poli ($K\to0^-$) e finiscono negli zeri o all'infinito ($K\to-\infty$).
2. Simmetria rispetto all'asse reale.
3. Asse reale: un punto reale $\alpha$ (non polo/zero) appartiene a $\mathcal L_-$ se e solo se il numero di poli e zeri reali di $G$ (con molteplicità) a destra di $\alpha$ è pari (zero compreso). Quindi ogni punto dell'asse reale che non è polo o zero sta in uno solo dei due luoghi: nei tratti dispari nel positivo, nei tratti pari nel negativo.
4. Asintoti: $n-m$ semirette con direzioni $$\theta_i=\frac{2i\pi}{n-m},\quad i=0,1,\dots,n-m-1,$$ (la prima è sempre l'asse reale positivo) e lo stesso centro $x_B=\frac{\sum p_i-\sum z_i}{n-m}$ del luogo positivo (la dimostrazione con la somma delle radici non dipende dal segno di $K$).
5. Guadagno: $K(\alpha)=-\frac{d(\alpha)}{n(\alpha)}<0$.
6. Punti doppi: stesse equazioni $d'n-dn'=0$, ma si tengono le soluzioni con $K$ reale negativo; intersezioni con l'asse immaginario: stesso sistema $d(j\omega)+Kn(j\omega)=0$, tenendo le soluzioni con $K<0$ (Luogo delle radici - punti doppi e intersezioni con l'asse immaginarioI punti doppi (multipli) del luogo sono i valori $s$ per cui $d+Kn$ ha una radice multipla: soddisfano $d'(s)n(s)-d(s)n'(s)=0$ con $K=-\frac{d}{n}$. Dall'equazione si tolgono le radici che sono poli o zeri multipli di $G$ (corrispondono a $K=0$ o $\infty$); una soluzione è punto doppio del luogo positivo (negativo) solo se $K(s)$ è reale positivo (negativo). Le intersezioni con l'asse immaginario si trovano da $d(j\omega)+Kn(j\omega)=0$ (due equazioni reali in $\omega,K$) o con la tabella di Routh in $K$ (riga nulla).Luogo delle radici - punti doppi e intersezioni con l'asse immaginario →).

La differenza concreta rispetto al positivo: il numero di asintoti è lo stesso ma ruotati di $\frac\pi{n-m}$; i tratti dell'asse reale sono quelli complementari.

Esempio 1: $G(s)=\dfrac1{s(s+1)(s+2)}$ (luogo negativo)

• Asse reale: a destra di $\alpha\in(-2,-1)$ ci sono $2$ poli ($0,-1$): pari ✓; a destra di $\alpha\in(0,+\infty)$: nessuno: pari ✓. Quindi $\mathcal L_-\cap\mathbb R=(-2,-1)\cup(0,+\infty)$ (il complementare di quello positivo $(-1,0)\cup(-\infty,-2)$).
• Asintoti: $n-m=3$: direzioni $0,\frac{2\pi}3,\frac{4\pi}3$, centro $-1$.
• Rami: quello che parte dall'origine va lungo il semiasse reale positivo fino a $+\infty$ (asintoto di direzione $0$); i rami da $-1$ e $-2$ si incontrano nel punto doppio $-1{,}577$ ($K=-0{,}385$) e poi vanno verso gli asintoti a $\pm\frac{2\pi}3$ (che puntano a sinistra, nel semipiano stabile).
• Intersezioni con l'asse immaginario: solo $K=3\omega^2>0$ oltre a $\omega=0,K=0$: nessuna per $K<0$.
• Conclusione: per $K<0$ c'è sempre una radice reale positiva (il ramo che parte da $0$ e va a $+\infty$): $W_K$ non è mai BIBO stabile per $K<0$ (verificato: $s^3+3s^2+2s+K$ con $K<0$ ha il termine noto negativo, quindi non è di Hurwitz).

Esempio 2: luoghi che si chiudono in un cerchio e guadagno di Evans negativo

$G(s)=\dfrac{1-s}{(s+1)(s+2)}=-\dfrac{s-1}{(s+1)(s+2)}$. Qui $G=K_E\frac nd$ con $K_E=-1<0$, $n=s-1$ (zero in $+1$, instabile), $d=(s+1)(s+2)$. Il guadagno di $W=\frac{KG}{1+KG}$ si traduce in $K'=K\cdot K_E=-K$ nel luogo con $n,d$ monici: il segno di $K$ scambia i luoghi: i $K>0$ corrispondono al luogo negativo e i $K<0$ al positivo. Studiando il luogo di $\frac{s-1}{(s+1)(s+2)}$ con $K'$:

• $\mathcal L_+$ ($K'>0$): asse reale: $\alpha\in(-1,1)$ (un'unica radice a destra, lo zero in $1$) ✓ e $\alpha<-2$ (tre radici a destra) ✓. Il ramo da $-1$ va fino allo zero in $1$ e attraversa l'origine per $K'=d(0)/(-n(0))=\frac{2}{1}=2$; il ramo da $-2$ va a $-\infty$. Stabile per $0<K'<2$.
• $\mathcal L_-$ ($K'<0$): asse reale: $(-2,-1)\cup(1,+\infty)$ (numero pari di radici a destra). I rami da $-2$ e $-1$ si incontrano in $1-\sqrt6=-1{,}449$ ($K'=-0{,}101$), escono dall'asse reale, descrivono una circonferenza e rientrano nell'asse reale in $1+\sqrt6=3{,}449$ ($K'=-9{,}899$): lì uno va verso lo zero in $1$ e uno a $+\infty$. Attraversano l'asse immaginario in $\pm j\sqrt5$ per $K'=-3$. Stabile per $-3<K'<0$.

In termini del $K$ originale ($K=-K'$): $W_K=\frac{KG}{1+KG}$ è BIBO stabile per $-2<K<0$ e per $0<K<3$, cioè per $-2<K<3$, $K\ne0$. Controllo con Routh: $d+K'n=s^2+(3+K')s+2-K'$ è di Hurwitz $\iff K'>-3$ e $K'<2$ ✓, ed esplicitamente con i poli: per $K=2{,}9$ i poli sono $-0{,}05\pm2{,}21j$ (stabile) e per $K=3$ sono $\pm2{,}236j=\pm j\sqrt5$; per $K=-2$ si ha una radice nell'origine.

Errori comuni

• Usare per il luogo negativo la regola dei tratti dispari: nel negativo servono radici a destra in numero pari.
• Usare gli stessi angoli degli asintoti del luogo positivo: nel negativo i primi asintoti sono lungo l'asse reale positivo ($\theta_0=0$).
• Dimenticare che il luogo negativo vale anche quando il guadagno di Evans di $G$ è negativo: va tenuto il segno di $K_E$.
• Scambiare i segni di $K$ nelle intersezioni con l'asse immaginario: per il luogo negativo vanno tenute solo le soluzioni con $K<0$.