Domande di teoria ricorrenti - enunciati e dimostrazioni

Lo scritto contiene sempre una domanda di teoria (da $4{,}5$ a $6$ punti) con dimostrazione. Dai 23 appelli dal 2020 al 2025 ($21$ con teoria, $2$ con un quarto esercizio al posto della teoria) le domande sono sempre una di sei. Ogni domanda va svolta con: ipotesile condizioni sotto cui vale l'enunciato, enunciato preciso, dimostrazione, eventuali commenti (che cosa succede se le ipotesi cadono).

Negli appelli molto vecchi ricorrono anche: equivalenza tra caratterizzazioni della stabilità BIBO, reiezione di disturbi costanti, inseguimento di sinusoidi, criteri per sistemi a tempo discreto (trasformazione bilineare, che qui non è nel programma).

1. Criterio di Nyquist (versione ristretta ed estensioni)

Enunciato. $G$ razionale propria, $n_{G+}$ poli con $\mathrm{Re}>0$; (C1) diagramma al finito (nessun polo immaginario); (C2) non per $-1+j0$. Se $N$ è il numero di giri attorno a $-1$ ($+$ antiorario) per $\omega:-\infty\to+\infty$, allora $N=n_{G+}-n_{W+}$; quindi $W=\frac G{1+G}$ è BIBO stabile $\iff N=n_{G+}$ (ridotto: $n_{G+}=0$, $N=0$).

Dimostrazione. Si applica il principio dell'argomento a $f=1+G$ sul cammino di Nyquist (asse immaginario più semicerchio infinito a destra, orario): giri orari attorno a $0$ $=$ zeri di $f$ in $\mathrm{Re}>0$ $-$ poli di $f$ in $\mathrm{Re}>0$ $=n_{W+}-n_{G+}$. La semicirconferenza infinita mappa in un punto; $f$ attorno a $0$ equivale a $G$ attorno a $-1$. Il numero di giri antiorari è $N=n_{G+}-n_{W+}$ (Criterio di Nyquist - versione ristretta e criterio ridottoSia $G$ razionale propria, di cui si conosce il numero $n_{G+}$ di poli con $\mathrm{Re}>0$, e il diagramma di Nyquist completo. Sotto C1 (il diagramma resta al finito, cioè $G$ non ha poli sull'asse immaginario) e C2 (il diagramma non passa per il punto critico $-1+j0$) si ha $N=n_{G+}-n_{W+}$, con $N$ numero di giri del diagramma attorno a $-1$ contati $+$ in senso antiorario e $-$ in senso orario e $n_{W+}$ numero di poli con $\mathrm{Re}>0$ di $W=\frac G{1+G}$. Quindi $W$ è BIBO stabile $\iff N=n_{G+}$; se $G$ è BIBO stabile ($n_{G+}=0$), $W$ è stabile $\iff N=0$ (criterio ridotto).Criterio di Nyquist - versione ristretta e criterio ridotto →).

Estensioni. (a) Poli di $G$ sull'asse immaginario: si aggirano con semicirconferenze a destra; il diagramma si chiude con un arco orario di raggio infinito e ampiezza $\mu\pi$ per ogni polo di molteplicità $\mu$. (b) Passaggio per $-1$: $W$ ha poli immaginari, non BIBO. (c) Guadagno variabile: punto critico $-\frac1K$ (Criterio di Nyquist - poli sull'asse immaginario e guadagno variabileSe $G$ ha poli sull'asse immaginario il diagramma va all'infinito e si chiude al finito con archi di raggio infinito percorsi in senso orario: un polo di molteplicità $\mu$ in $j\omega_0$ ($\omega_0\ge0$) aggiunge un arco di ampiezza $\mu\pi$ tra $G(j(\omega_0-\epsilon))$ e $G(j(\omega_0+\epsilon))$ (per $\omega_0=0$ gli estremi sono i rami $\omega\to0^\mp$). Poi vale ancora $N=n_{G+}-n_{W+}$, con $n_{G+}$ che non conta i poli immaginari. Per $W=\frac{KG}{1+KG}$, $K\in\mathbb R\setminus{0}$, il punto critico è $-\frac1K$: si conta $N$ in ciascun intervallo dell'asse reale tra le intersezioni del diagramma; quando $-\frac1K$ è sul diagramma $W$ ha poli immaginari (caso critico).Criterio di Nyquist - poli sull'asse immaginario e guadagno variabile →).

2. Regime permanente e transitorio

Enunciato. Modello $a(\frac d{dt})y=b(\frac d{dt})u$ LTI causale, $u=e^{j\tilde\omega t}\delta_{-1}$, condizioni iniziali arbitrarie, $j\tilde\omega$ non polo di $W$. Allora $y=y_{rp}+y_{tr}$ con $y_{rp}=W(j\tilde\omega)e^{j\tilde\omega t}$ e $y_{tr}$ combinazione dei modi di $a(s)$; con condizioni iniziali nulle $y_{tr}$ contiene solo i poli di $W$. Per $u=A\cos(\tilde\omega t+\varphi)\delta_{-1}$: $y_{rp}=A|W(j\tilde\omega)|\cos(\tilde\omega t+\varphi+\arg W(j\tilde\omega))$.

Dimostrazione (trasformate). $Y=\frac{W(s)}{s-j\tilde\omega}+\frac{c(s)}{a(s)}$ e $\frac{W(s)}{s-j\tilde\omega}=\frac{W(j\tilde\omega)}{s-j\tilde\omega}+\frac{W(s)-W(j\tilde\omega)}{s-j\tilde\omega}$; l'ultimo termine non ha polo in $j\tilde\omega$. Nel tempo: soluzione particolare $W(j\tilde\omega)e^{j\tilde\omega t}$ più soluzione dell'omogenea. Sinusoide: parte reale (coefficienti reali). Si spiega anche perché con $a$ Hurwitz $y_{tr}\to0$ (Risposta di regime permanente e risposta transitoriaCon ingresso $u=e^{j\tilde\omega t}\delta_{-1}(t)$ e $\tilde\omega$ non polo di $W$, l'uscita è $y=y_{rp}+y_{tr}$ con $y_{rp}(t)=W(j\tilde\omega)e^{j\tilde\omega t}$ (regime permanente) e $y_{tr}$ combinazione dei modi di $a(s)$ (transitorio, a condizioni iniziali nulle solo dei poli di $W$). Per $u=A\cos(\tilde\omega t+\varphi)$: $y_{rp}=A|W(j\tilde\omega)|\cos(\tilde\omega t+\varphi+\arg W(j\tilde\omega))$. Se il sistema è stabile il transitorio si spegne.Risposta di regime permanente e risposta transitoria →).

3. Tipo ed errore a regime di $\frac G{1+G}$

Enunciato. $G$ propria, $W=\frac G{1+G}$ propria, BIBO stabile, $W(0)\ne0$. Il tipo $k$ di $W$ è la molteplicità $h$ del polo nell'origine di $G$; l'errore è $e_{rp}^{(1)}=\frac1{1+K_B}$ ($h=0$) e $e_{rp}^{(h+1)}=\frac1{K_B}$ ($h\ge1$), $K_B=K_B(G)$.

Dimostrazione. $1-W=\frac1{1+G}$ e $e_{rp}^{(k+1)}=\lim_{s\to0}\frac1{s^k(1+G)}$; con $G=\frac{K_B}{s^h}G_1$, $G_1(0)=1$: per $h\ge1$ il limite è $\frac{s^{h-k}}{s^h+K_BG_1(s)}\to0,\ \frac1{K_B},\ \infty$ per $k<h$, $=h$, $>h$ (Tipo e errore a regime di un sistema retroazionatoSe $W=\frac{\tilde G}{1+\tilde G}$ (con $\tilde G$ propria) è propria, BIBO stabile e $W(0)\ne0$, il tipo di $W$ coincide con il numero $h$ di poli nell'origine di $\tilde G$ (integratori in catena aperta). L'errore a regime corrispondente è $e_{rp}^{(h+1)}=\frac1{K_B(\tilde G)}$ per $h\ge1$ e $e_{rp}^{(1)}=\frac1{1+K_B(\tilde G)}$ per $h=0$. Per ridurre l'errore si alza il guadagno di Bode o si aggiungono integratori, compatibilmente con la stabilità.Tipo e errore a regime di un sistema retroazionato →). Ipotesi: serve la stabilità perché esista il limite (teorema del valore finale).

4. Tipo ed errore a regime da $W(0)$ e derivate

Enunciato. $W$ propria, BIBO stabile, $W(0)\ne0$: tipo $0\iff W(0)\ne1$, $e_{rp}^{(1)}=1-W(0)$; tipo $k\ge1\iff W(0)=1$, $W^{(i)}(0)=0$ ($i<k$), $W^{(k)}(0)\ne0$, con $e_{rp}^{(k+1)}=-\frac{W^{(k)}(0)}{k!}$. (Per $k>1$ senza dimostrazione.)

Dimostrazione. Valore finale su $\frac{1-W(s)}{s^{k+1}}$: $e_{rp}^{(k+1)}=\lim_{s\to0}\frac{1-W(s)}{s^k}$ e sviluppo in serie di $W$ (Segnali canonici, tipo di un sistema ed errore di regime permanenteI segnali canonici $\delta_{-(k+1)}(t)=\frac{t^k}{k!}\delta_{-1}(t)$ (gradino, rampa, parabola) hanno trasformata $s^{-(k+1)}$. Per $W$ propria, BIBO stabile e $W(0)\ne0$, il sistema è di tipo $k$ se l'errore di regime $e_{rp}^{(k+1)}=\lim_{t\to\infty}[\delta_{-(k+1)}-w_{-(k+1)}]$ è costante e non nullo (per i segnali di ordine minore è nullo, per quelli di ordine maggiore infinito). Tipo $0\iff W(0)\ne1$, $e^{(1)}{rp}=1-W(0)$; tipo $k\ge1\iff W(0)=1$, $W^{(i)}(0)=0$ per $i<k$, $W^{(k)}(0)\ne0$, con $e^{(k+1)}{rp}=-\frac{W^{(k)}(0)}{k!}$.Segnali canonici, tipo di un sistema ed errore di regime permanente →).

5. Punti doppi del luogo

Enunciato. $G=\frac nd$ con $n,d$ monici e coprimi, $\deg d\ge\deg n$. Un punto doppio è un $s_0$ per cui $d+K_0n$ ha $s_0$ come radice multipla. I candidati sono le soluzioni di $d'n-dn'=0$, con $K=-\frac dn$.

Dimostrazione. Radice doppia $\iff f(s_0)=f'(s_0)=0$ con $f=d+K_0n$; eliminando $K_0$ si ottiene $d'n-dn'=0$; viceversa, se il candidato soddisfa l'equazione e $K_0=-\frac{d(s_0)}{n(s_0)}$ è finito, $f'(s_0)=\frac{d'n-dn'}n(s_0)=0$.

Perché un candidato può non essere un punto doppio. (i) $s_0$ è polo o zero multiplo di $G$: l'equazione ha il fattore $(s-s_0)^{\mu-1}$ ma lì $K=0$ o $\infty$ (punto di partenza/arrivo); (ii) $K_0$ non è reale: $s_0$ non è nel luogo; (iii) $K_0$ è reale ma del segno sbagliato per il luogo considerato (appartiene all'altro luogo) (Luogo delle radici - punti doppi e intersezioni con l'asse immaginarioI punti doppi (multipli) del luogo sono i valori $s$ per cui $d+Kn$ ha una radice multipla: soddisfano $d'(s)n(s)-d(s)n'(s)=0$ con $K=-\frac{d}{n}$. Dall'equazione si tolgono le radici che sono poli o zeri multipli di $G$ (corrispondono a $K=0$ o $\infty$); una soluzione è punto doppio del luogo positivo (negativo) solo se $K(s)$ è reale positivo (negativo). Le intersezioni con l'asse immaginario si trovano da $d(j\omega)+Kn(j\omega)=0$ (due equazioni reali in $\omega,K$) o con la tabella di Routh in $K$ (riga nulla).Luogo delle radici - punti doppi e intersezioni con l'asse immaginario →).

6. Asse reale e stabilità per $K$ grande

Enunciato (a). $\alpha\in\mathbb R$ non polo né zero appartiene al luogo positivo se e solo se i poli e zeri reali a destra (con molteplicità) sono in numero dispari; al luogo negativo se e solo se in numero pari.

Dimostrazione (a). Condizione di fase $\sum\angle(\alpha-p_i)-\sum\angle(\alpha-z_i)=(2h+1)\pi$ (positivo) o $2h\pi$ (negativo); le coppie complesse coniugate danno contributo nullo, ogni radice reale a destra dà $\pi$ e ogni radice reale a sinistra $0$ (Luogo delle radici - definizione e regole di tracciamentoPer $G=\frac{n(s)}{d(s)}$ (monici, coprimi, $n=\deg d\ge m=\deg n$) e $W_K=\frac{KG}{1+KG}$, il luogo positivo è l'insieme dei $s$ con $d(s)+Kn(s)=0$ per qualche $K>0$ (i poli di $W_K$ al variare di $K$). Regole: $n$ rami simmetrici rispetto all'asse reale, partono dai poli ($K=0$) e finiscono negli $m$ zeri o negli $n-m$ asintoti; un punto reale è nel luogo positivo se alla sua destra ci sono un numero dispari di poli+zeri reali (con molteplicità); asintoti con direzioni $\frac{(2i+1)\pi}{n-m}$ e centro $x_B=\frac{\sum p_i-\sum z_i}{n-m}$; il guadagno in un punto è $K=-\frac{d(s)}{n(s)}$.Luogo delle radici - definizione e regole di tracciamento →, Luogo negativo delle radiciIl luogo negativo $\mathcal L_-$ ($K<0$) ha la condizione di fase con multipli pari di $\pi$: un punto reale è nel luogo negativo se alla sua destra ci sono un numero pari di poli+zeri reali; gli asintoti hanno direzioni $\frac{2i\pi}{n-m}$ ($i=0,\dots,n-m-1$) e lo stesso centro; punti doppi e intersezioni con l'asse immaginario si trovano con le stesse equazioni, accettando $K<0$. Ogni punto reale (non polo/zero) appartiene esattamente a uno dei due luoghi.Luogo negativo delle radici →).

Enunciato (b) (stabilità per $K$ grande). Sia $G=\frac nd$, $\deg d=n$, $\deg n=m$, con tutti gli zeri in $\mathrm{Re}<0$. Allora $W_K=\frac{KG}{1+KG}$ è BIBO stabile per $K$ sufficientemente grande in questi casi:

• $n-m=0$: per $|K|$ grande (ogni segno);
• $n-m=1$: solo per $K>0$;
• $n-m=2$: per $K>0$ grande se vale anche $\sum_ip_i<\sum_iz_i$.

Dimostrazione (b). Per $K\to\pm\infty$ $m$ rami tendono agli zeri (in $\mathrm{Re}<0$: stabili) e gli altri $n-m$ vanno all'infinito lungo gli asintoti. Se $n-m=0$ non ce ne sono: tutti i poli vanno negli zeri, stabile. Se $n-m=1$ c'è un solo asintoto: l'asse reale, verso $-\infty$ per il luogo positivo (direzione $\pi$) e $+\infty$ per il negativo (direzione $0$): stabile solo per $K>0$. Se $n-m=2$ gli asintoti sono due semirette di direzioni $\pm\frac\pi2$ (per $K>0$) uscenti dal centro $x_B=\frac{\sum p_i-\sum z_i}2$: sono verticali, e se $x_B<0$ (cioè $\sum p_i<\sum z_i$) giacciono in $\mathrm{Re}<0$: stabile. Controllo: $G=\frac1{(s+1)(s+2)}$ ($n-m=2$, $\sum p=-3<0=\sum z$) è stabile $\forall K>0$ ($s^2+3s+2+K$); $G=\frac1{(s-1)(s+2)}$ ($\sum p=-1<0$) lo è per $K>2$.

Come rispondere

• Inizia con le ipotesi (BIBO stabile, propria, $G(0)\ne0$, coprimi, $j\tilde\omega$ non polo...): sono spesso metà del punteggio.
• Dai l'enunciato in forma di formula prima della dimostrazione.
• Nella dimostrazione indica sempre quale teorema si usa (valore finale, principio dell'argomento, sviluppo in serie).
• Aggiungi un commento sulle ipotesi (che cosa cambia se $j\tilde\omega$ è un polo, se $K<0$, se il polo è nell'origine...).