Formulario - controlli automatici

Modelli I/O e Laplace (Sistemi dinamici e modelli ingresso-uscita SISOUn modello ingresso/uscita SISO LTI è un'equazione differenziale $\sum_{i=0}^na_iy^{(i)}=\sum_{i=0}^mb_iu^{(i)}$ con $n\ge m$ (modello proprio). L'uscita è somma di evoluzione libera (dallo stato iniziale, ingresso nullo) e forzata (da stato nullo, $y_f=w*u$, $Y_f=W(s)U(s)$ con $W=b(s)/a(s)$). Le soluzioni libere sono combinazioni dei modi $t^ke^{\lambda t}$ delle radici di $a(s)$.Sistemi dinamici e modelli ingresso-uscita SISO →, Laplace per i modelli I-O - fratti semplici e risposta del sistemaPer calcolare l'uscita di un modello I/O con Laplace si scrive $Y(s)=\frac{b(s)U(s)+c(s)}{a(s)}$ (forzata + libera), si decompone in fratti semplici e si antitrasforma con la tabella dei modi: $\frac1{(s-\lambda)^{k+1}}\leftrightarrow\frac{t^k}{k!}e^{\lambda t}$, coppie complesse $\to e^{\sigma t}\cos/\sin\omega t$. I poli di $Y$ determinano i modi dell'uscita; il teorema del valore finale dà il limite a regime se $sY(s)$ ha poli solo in $\mathrm{Re}<0$.Laplace per i modelli I-O - fratti semplici e risposta del sistema →)

• $\sum a_iy^{(i)}=\sum b_iu^{(i)}$, $n\ge m$; $W(s)=\frac{b(s)}{a(s)}$; $Y=WU+\frac{c(s)}{a(s)}$ (forzata + libera); $\mathcal L[y']=sY-y(0)$.
• $\delta\to1$; $\delta_{-(k+1)}=\frac{t^k}{k!}\delta_{-1}\to s^{-(k+1)}$; $\frac{t^k}{k!}e^{\lambda t}\to\frac1{(s-\lambda)^{k+1}}$; $e^{\sigma t}\cos\omega t\to\frac{s-\sigma}{(s-\sigma)^2+\omega^2}$; $e^{\sigma t}\sin\omega t\to\frac\omega{(s-\sigma)^2+\omega^2}$.
• Valore finale (forte): se $sY$ ha poli in $\mathrm{Re}<0$, $y(\infty)=\lim_{s\to0}sY$. Iniziale: $y(0^+)=\lim_{s\to\infty}sY$.

Stabilità e Routh (Stabilità asintotica e BIBO dei modelli I-OIl modello è asintoticamente stabile se la libera tende a zero per ogni stato iniziale: tutte le radici di $a(s)$ hanno $\mathrm{Re}<0$ ($a(s)$ di Hurwitz). È BIBO stabile se a ogni ingresso limitato corrisponde un'uscita forzata limitata: equivale a $\int_0^\infty|w|<\infty$, cioè a poli di $W(s)$ (ridotta) tutti in $\mathrm{Re}<0$. Asintotica $\Rightarrow$ BIBO, non viceversa (cancellazioni polo-zero instabili). Poli immaginari semplici: non BIBO (risonanza).Stabilità asintotica e BIBO dei modelli I-O →, Criterio di Routh-HurwitzIl criterio di Routh stabilisce se un polinomio $P(s)=p_ns^n+\dots+p_0$ è di Hurwitz senza calcolarne le radici. Si costruisce la tabella (righe $n,n-1,\dots,0$) con $\text{nuovo}=\frac{\text{pivot}\cdot a-\text{prec.}\cdot b}{\text{pivot}}$; se la tabella va a compimento, il numero di variazioni di segno nella prima colonna è il numero di radici con $\mathrm{Re}>0$, le permanenze il numero con $\mathrm{Re}<0$. Elemento nullo in prima colonna: $P$ non è Hurwitz; riga nulla: radici simmetriche (spesso immaginarie) date dal polinomio ausiliario. Con parametro $K$ nei coefficienti dà gli intervalli di stabilità.Criterio di Routh-Hurwitz →)

• Asintotica $\iff\mathrm{Re}\,\text{radici di }a<0$. BIBO $\iff\int|w|<\infty\iff\mathrm{Re}\,\text{poli di }W<0$ (irriducibile). Poli immaginari: non BIBO.
• Grado 2: $\beta,\gamma>0$. Grado 3: coeff. $>0$ e $p_2p_1>p_3p_0$. Routh: $c_j=\frac{b_1a_{j+1}-a_1b_{j+1}}{b_1}$; variazioni di segno = radici in $\mathrm{Re}>0$.

Risposta in frequenza e Bode (Risposta di regime permanente e risposta transitoriaCon ingresso $u=e^{j\tilde\omega t}\delta_{-1}(t)$ e $\tilde\omega$ non polo di $W$, l'uscita è $y=y_{rp}+y_{tr}$ con $y_{rp}(t)=W(j\tilde\omega)e^{j\tilde\omega t}$ (regime permanente) e $y_{tr}$ combinazione dei modi di $a(s)$ (transitorio, a condizioni iniziali nulle solo dei poli di $W$). Per $u=A\cos(\tilde\omega t+\varphi)$: $y_{rp}=A|W(j\tilde\omega)|\cos(\tilde\omega t+\varphi+\arg W(j\tilde\omega))$. Se il sistema è stabile il transitorio si spegne.Risposta di regime permanente e risposta transitoria →, Forma di Bode e diagrammi di Bode dei termini elementariLa forma di Bode scrive $W(s)=\frac{K_B}{s^h}\frac{\prod(1+T_i's)\prod(1+2\xi_i'\frac s{\omega_{ni}'}+\frac{s^2}{\omega_{ni}'^2})}{\prod(1+T_is)\prod(1+2\xi_i\frac s{\omega_{ni}}+\frac{s^2}{\omega_{ni}^2})}$ con $K_B=\lim_{s\to0}s^hW(s)$. Il diagramma di Bode (modulo in dB e fase, su asse $\omega$ logaritmico) si ottiene sommando i contributi dei termini elementari: costante, $s^{\mp1}$ ($\mp20$ dB/dec, $\mp90^\circ$), binomio ($\pm20$ dB/dec dopo $1/|T|$, fase $\pm90^\circ$, opposta se instabile), trinomio ($\pm40$ dB/dec dopo $\omega_n$, fase $\pm180^\circ$, picco $20\log2\xi$).Forma di Bode e diagrammi di Bode dei termini elementari →)

• $u=A\cos(\tilde\omega t+\varphi)\to y_{rp}=A|W(j\tilde\omega)|\cos(\tilde\omega t+\varphi+\arg W(j\tilde\omega))$.
• Forma di Bode $W=\frac{K_B}{s^h}\prod\frac{(1+T_i's)\cdots}{(1+T_is)\cdots}$, $K_B=\lim s^hW$.

Picco di risonanza di $\frac1{\text{trinomio}}$: $\omega_r=\omega_n\sqrt{1-2\xi^2}$, $M_r=\frac1{2\xi\sqrt{1-\xi^2}}$. Procedura: Tracciare i diagrammi di Bode di una funzione di trasferimentoPer tracciare Bode di $G(s)$: (1) forma di Bode ($K_B$, $h$, termini); (2) elenco ordinato delle pulsazioni di spezzamento; (3) modulo asintotico: parte con pendenza $-20h$ dB/dec passando per $20\log|K_B|$ in $\omega=1$ e cambia pendenza di $\pm20$ ($\pm40$) a ogni spezzamento; (4) fase: $\arg K_B-90^\circ h$ iniziale più i contributi di zeri e poli (opposti se instabili), con salti di $\pm180^\circ$ per radici immaginarie; (5) correzioni (picchi dei trinomi, 3 dB agli spezzamenti).Tracciare i diagrammi di Bode di una funzione di trasferimento →.

Nyquist (Diagrammi di Nyquist - tracciamento, asintoti e intersezioniIl diagramma di Nyquist di $G(s)$ è la curva ${G(j\omega):\omega\in\mathbb R}$ nel piano complesso, percorsa per $\omega$ crescente; per $\omega<0$ è il simmetrico rispetto all'asse reale di quella per $\omega>0$. Si traccia combinando modulo e fase di Bode: per $\omega\to0^+$ parte da $K_B$ (se $h=0$) o da infinito con angolo $\arg K_B-90^\circ h$ (asintoto verticale $\mathrm{Re}=K_B(\sum T_i'-\sum T_i)$ per $h=1$), per $\omega\to\infty$ arriva nell'origine con angolo $-90^\circ(n-m)$. Le intersezioni con gli assi si trovano da $\mathrm{Im},G(j\omega)=0$ e $\mathrm{Re},G(j\omega)=0$.Diagrammi di Nyquist - tracciamento, asintoti e intersezioni →)

• $\omega\to0^+$: $h=0$ parte da $K_B$; $h>0$ da $\infty$ con angolo $\arg K_B-90^\circ h$; $h=1$: asintoto $\mathrm{Re}=K_B\tau$, $\tau=\sum T'-\sum T$.
• $\omega\to\infty$: angolo $-90^\circ(n-m)$ (se coeff. direttivo $>0$). Simmetria: $\omega<0$ speculare rispetto all'asse reale.
• Criterio (Criterio di Nyquist - versione ristretta e criterio ridottoSia $G$ razionale propria, di cui si conosce il numero $n_{G+}$ di poli con $\mathrm{Re}>0$, e il diagramma di Nyquist completo. Sotto C1 (il diagramma resta al finito, cioè $G$ non ha poli sull'asse immaginario) e C2 (il diagramma non passa per il punto critico $-1+j0$) si ha $N=n_{G+}-n_{W+}$, con $N$ numero di giri del diagramma attorno a $-1$ contati $+$ in senso antiorario e $-$ in senso orario e $n_{W+}$ numero di poli con $\mathrm{Re}>0$ di $W=\frac G{1+G}$. Quindi $W$ è BIBO stabile $\iff N=n_{G+}$; se $G$ è BIBO stabile ($n_{G+}=0$), $W$ è stabile $\iff N=0$ (criterio ridotto).Criterio di Nyquist - versione ristretta e criterio ridotto →): $N=n_{G+}-n_{W+}$ ($+$ antiorario); stabile $\iff N=n_{G+}$. Poli immaginari: arco orario $\mu\pi$ (Criterio di Nyquist - poli sull'asse immaginario e guadagno variabileSe $G$ ha poli sull'asse immaginario il diagramma va all'infinito e si chiude al finito con archi di raggio infinito percorsi in senso orario: un polo di molteplicità $\mu$ in $j\omega_0$ ($\omega_0\ge0$) aggiunge un arco di ampiezza $\mu\pi$ tra $G(j(\omega_0-\epsilon))$ e $G(j(\omega_0+\epsilon))$ (per $\omega_0=0$ gli estremi sono i rami $\omega\to0^\mp$). Poi vale ancora $N=n_{G+}-n_{W+}$, con $n_{G+}$ che non conta i poli immaginari. Per $W=\frac{KG}{1+KG}$, $K\in\mathbb R\setminus{0}$, il punto critico è $-\frac1K$: si conta $N$ in ciascun intervallo dell'asse reale tra le intersezioni del diagramma; quando $-\frac1K$ è sul diagramma $W$ ha poli immaginari (caso critico).Criterio di Nyquist - poli sull'asse immaginario e guadagno variabile →). $W=\frac{KG}{1+KG}$: punto critico $-\frac1K$.

Gradino, tipo, retroazione (Risposta al gradino e suoi parametriPer $W$ strettamente propria, BIBO stabile e con $W(0)\ne0$ la risposta al gradino $w_{-1}$ parte da $0$ e tende a $W(0)$. I suoi parametri (al 10%) sono il tempo di salita $t_r=\min{t:|w_{-1}(t)-W(0)|\le0{,}1|W(0)|}$, il tempo di assestamento $t_s$ (da cui in poi la risposta resta nella banda del 10%) e la sovraelongazione $S=\frac{\max w_{-1}-W(0)}{W(0)}\cdot100%$. Se la risposta è monotona $t_r=t_s$ e $S=0$. Per $W=\frac K{s+p}$: $t_r=t_s=\frac{\ln10}p$. Uno zero instabile produce sottoelongazione (undershoot).Risposta al gradino e suoi parametri →, Risposta al gradino e risposta in frequenza - sistemi del primo e del secondo ordineParametri della risposta in frequenza: banda passante $B_p$ (modulo entro $3$ dB da $|W(0)|$), pulsazione di risonanza $\omega_r$, picco di risonanza $M_r$. Per sistemi del 1° e 2° ordine strettamente propri, BIBO stabili, con $W(0)\ne0$ e senza zeri instabili: risposta al gradino monotona $\Leftrightarrow$ modulo monotono (niente picco); oscillazioni $\Leftrightarrow$ picco di risonanza; $B_p,t_r\approx2{,}3$ (proporzionalità inversa). Per $\frac{\omega_n^2}{s^2+2\xi\omega_ns+\omega_n^2}$: $S=100e^{-\pi\xi/\sqrt{1-\xi^2}}$, $M_r=\frac1{2\xi\sqrt{1-\xi^2}}$.Risposta al gradino e risposta in frequenza - sistemi del primo e del secondo ordine →, Segnali canonici, tipo di un sistema ed errore di regime permanenteI segnali canonici $\delta_{-(k+1)}(t)=\frac{t^k}{k!}\delta_{-1}(t)$ (gradino, rampa, parabola) hanno trasformata $s^{-(k+1)}$. Per $W$ propria, BIBO stabile e $W(0)\ne0$, il sistema è di tipo $k$ se l'errore di regime $e_{rp}^{(k+1)}=\lim_{t\to\infty}[\delta_{-(k+1)}-w_{-(k+1)}]$ è costante e non nullo (per i segnali di ordine minore è nullo, per quelli di ordine maggiore infinito). Tipo $0\iff W(0)\ne1$, $e^{(1)}{rp}=1-W(0)$; tipo $k\ge1\iff W(0)=1$, $W^{(i)}(0)=0$ per $i<k$, $W^{(k)}(0)\ne0$, con $e^{(k+1)}{rp}=-\frac{W^{(k)}(0)}{k!}$.Segnali canonici, tipo di un sistema ed errore di regime permanente →, Tipo e errore a regime di un sistema retroazionatoSe $W=\frac{\tilde G}{1+\tilde G}$ (con $\tilde G$ propria) è propria, BIBO stabile e $W(0)\ne0$, il tipo di $W$ coincide con il numero $h$ di poli nell'origine di $\tilde G$ (integratori in catena aperta). L'errore a regime corrispondente è $e_{rp}^{(h+1)}=\frac1{K_B(\tilde G)}$ per $h\ge1$ e $e_{rp}^{(1)}=\frac1{1+K_B(\tilde G)}$ per $h=0$. Per ridurre l'errore si alza il guadagno di Bode o si aggiungono integratori, compatibilmente con la stabilità.Tipo e errore a regime di un sistema retroazionato →)

• $w_{-1}(\infty)=W(0)$; $t_r=\min\{|w_{-1}-W(0)|\le0{,}1|W(0)|\}$; $S=\frac{\max-W(0)}{W(0)}100\%$. $\frac K{s+p}$: $t_r=\frac{\ln10}p$, $B_pt_r\approx2{,}31$.
• Secondo ordine: $S=100e^{-\pi\xi/\sqrt{1-\xi^2}}$, $t_s\approx\frac{2{,}3}{\xi\omega_n}$.
• Tipo $0\iff W(0)\ne1$, $e^{(1)}=1-W(0)$; tipo $k$: $W^{(i)}(0)=0$ ($i<k$), $e^{(k+1)}=-\frac{W^{(k)}(0)}{k!}$.
• Retroazione (Schemi di controllo in retroazione e funzioni di trasferimentoNello schema in retroazione unitaria negativa (controllore $C$, processo $G$) la FdT in catena aperta è $\tilde G=CG$ e quella in catena chiusa $W=\frac{\tilde G}{1+\tilde G}$; l'errore è $E=\frac{R}{1+\tilde G}=(1-W)R$. Zeri di $W$ = zeri di $\tilde G$, poli di $W$ = zeri di $1+\tilde G$. La BIBO stabilità di $W$ è un'altra cosa dalla stabilità di $G$: la retroazione sposta i poli. Le cancellazioni di fattori instabili tra $C$ e $G$ sono proibite.Schemi di controllo in retroazione e funzioni di trasferimento →): $W=\frac{\tilde G}{1+\tilde G}$, $\tilde G=CG$, poli di $W$ = radici di $\tilde d+\tilde n$. Tipo $=h$ (poli in $0$ di $\tilde G$): $e^{(1)}=\frac1{1+K_B}$ ($h=0$), $e^{(h+1)}=\frac1{K_B}$ ($h\ge1$).

Luogo delle radici (Luogo delle radici - definizione e regole di tracciamentoPer $G=\frac{n(s)}{d(s)}$ (monici, coprimi, $n=\deg d\ge m=\deg n$) e $W_K=\frac{KG}{1+KG}$, il luogo positivo è l'insieme dei $s$ con $d(s)+Kn(s)=0$ per qualche $K>0$ (i poli di $W_K$ al variare di $K$). Regole: $n$ rami simmetrici rispetto all'asse reale, partono dai poli ($K=0$) e finiscono negli $m$ zeri o negli $n-m$ asintoti; un punto reale è nel luogo positivo se alla sua destra ci sono un numero dispari di poli+zeri reali (con molteplicità); asintoti con direzioni $\frac{(2i+1)\pi}{n-m}$ e centro $x_B=\frac{\sum p_i-\sum z_i}{n-m}$; il guadagno in un punto è $K=-\frac{d(s)}{n(s)}$.Luogo delle radici - definizione e regole di tracciamento →, Luogo delle radici - punti doppi e intersezioni con l'asse immaginarioI punti doppi (multipli) del luogo sono i valori $s$ per cui $d+Kn$ ha una radice multipla: soddisfano $d'(s)n(s)-d(s)n'(s)=0$ con $K=-\frac{d}{n}$. Dall'equazione si tolgono le radici che sono poli o zeri multipli di $G$ (corrispondono a $K=0$ o $\infty$); una soluzione è punto doppio del luogo positivo (negativo) solo se $K(s)$ è reale positivo (negativo). Le intersezioni con l'asse immaginario si trovano da $d(j\omega)+Kn(j\omega)=0$ (due equazioni reali in $\omega,K$) o con la tabella di Routh in $K$ (riga nulla).Luogo delle radici - punti doppi e intersezioni con l'asse immaginario →, Luogo negativo delle radiciIl luogo negativo $\mathcal L_-$ ($K<0$) ha la condizione di fase con multipli pari di $\pi$: un punto reale è nel luogo negativo se alla sua destra ci sono un numero pari di poli+zeri reali; gli asintoti hanno direzioni $\frac{2i\pi}{n-m}$ ($i=0,\dots,n-m-1$) e lo stesso centro; punti doppi e intersezioni con l'asse immaginario si trovano con le stesse equazioni, accettando $K<0$. Ogni punto reale (non polo/zero) appartiene esattamente a uno dei due luoghi.Luogo negativo delle radici →)

• $G=\frac nd$ monici, poli di $W_K$: $d+Kn=0$. $K(s)=-\frac dn$.
• Asse reale: positivo = # radici reali a destra dispari; negativo = pari.
• Asintoti: positivo $\frac{(2i+1)\pi}{n-m}$, negativo $\frac{2i\pi}{n-m}$; centro $\frac{\sum p-\sum z}{n-m}$.
• Punti doppi: $d'n-dn'=0$ (tolti i fattori di poli/zeri multipli), con $K$ reale del segno giusto. Asse immaginario: $d(j\omega)+Kn(j\omega)=0$ (o Routh).

Margini e sintesi (Pulsazione di attraversamento, margine di fase e criterio di BodeLa pulsazione di attraversamento $\omega_A$ è la $\omega>0$ in cui $|G(j\omega)|=1$ (0 dB); il margine di fase è $m_\varphi=180^\circ+\arg G(j\omega_A)$: quanta fase si può ancora perdere prima di arrivare a $-180^\circ$. Criterio di Bode: se $G$ è strettamente propria, ha guadagno di Bode $K_B>0$, nessun polo con $\mathrm{Re}>0$ e $\omega_A$ è ben definita (esiste ed è unica), allora $W=\frac G{1+G}$ è BIBO stabile $\iff m_\varphi>0$. Più $m_\varphi$ è grande, più il sistema è lontano dall'instabilità e meno oscilla.Pulsazione di attraversamento, margine di fase e criterio di Bode →, Margine di fase, banda e picco di risonanzaPer $G$ strettamente propria, senza poli instabili, con $K_B>0$ e $\omega_A$ ben definita, la banda di $W=\frac G{1+G}$ è molto vicina a $\omega_A$ ($B_p\approx\omega_A$) e il tempo di salita si stima con $t_r\approx\frac{2{,}3}{\omega_A}$. Il margine di fase controlla le oscillazioni: $|W(j\omega_A)|=\frac1{2\sin(m_\varphi/2)}$, che approssima il picco di risonanza; per $\frac{\omega_n^2}{s(s+2\xi\omega_n)}$ si ha $m_\varphi\approx100,\xi$ gradi. Specifiche tipiche: $m_\varphi\ge45^\circ$ per poche oscillazioni, $m_\varphi\approx90^\circ$ per risposta tipo primo ordine.Margine di fase, banda e picco di risonanza →, Problema di regolazione e sintesi per tentativiProblema di regolazione: data $G$ propria, senza poli in $\mathrm{Re}>0$, con $G(0)\ne0$ (cioè $G=\frac{K_B(G)}{s^r}G_1$, $G_1(0)=1$), progettare $C$ propria tale che $W=\frac{CG}{1+CG}$ sia BIBO stabile, di tipo $k$ con $|e_{rp}^{(k+1)}|\le e^$, con $\omega_A\simeq\omega_A^$ e $m_\varphi\ge m_\varphi^$. Sintesi per tentativi: Passo 1 $C'=\frac{K_B(C')}{s^\alpha}$ ($\alpha=\max(k-r,0)$, $|K_B(C')|$ minimo che soddisfa l'errore, segno di $K_B(G)$); Passo 2 $C''$ con $K_B(C'')=1$ che porta $\omega_A$ e $m_\varphi$ ai valori voluti in quattro casi ($\omega_A\gtrless\omega_A^$, $m_\varphi(\omega_A^)\gtrless m_\varphi^$): guadagno, rete anticipatrice, attenuatrice, a sella. Il criterio di Bode garantisce la stabilità.Problema di regolazione e sintesi per tentativi →)

• $m_\varphi=180^\circ+\arg G(j\omega_A)$; Bode: $K_B>0$, $n_{G+}=0$, $\omega_A$ ben definita: stabile $\iff m_\varphi>0$.
• $B_p\approx\omega_A$; $|W(j\omega_A)|=\frac1{2\sin(m_\varphi/2)}$; $t_r\approx\frac{2{,}3}{\omega_A}$; $m_\varphi\approx100\,\xi$ gradi.
• Passo 1: $C'=\frac{K_B(C')}{s^{k-r}}$, $k=0$: $|K_B(C')|=\frac1{|K_B(G)|}(\frac1{e^*}-1)$; $k\ge1$: $\frac1{|K_B(G)|e^*}$; segno di $K_B(G)$.
• Passo 2: $M=\big||C'G(j\omega_A^*)|_{dB}\big|$, $\Phi=m_\varphi^*-m_\varphi(\omega_A^*)$. ① guadagno; ② anticipatrice; ③ attenuatrice; ④ sella.
• Anticipatrice $\frac{1+s/z}{1+s/p}$ ($z<p$): zero a $\frac M{20}$ decadi prima di $\omega_A^*$ ($\Phi<90^\circ$), due zeri a $\frac M{40}$ ($\Phi\ge90^\circ$); $\varphi_{max}=\arcsin\frac{1-\alpha}{1+\alpha}$ (Reti anticipatriciLa rete anticipatrice $C_{ant}(s)=\frac{1+s/z}{1+s/p}=\frac{1+sT}{1+\alpha Ts}$ con $0<z<p$ ($\alpha=\frac zp<1$) ha $K_B=1$, alza il modulo di $20\log\frac pz$ dB tra $z$ e $p$ e aggiunge fase (massimo $\arcsin\frac{1-\alpha}{1+\alpha}$ in $\sqrt{zp}$). Si usa nei casi ②, ④ (parte anticipatrice) della sintesi: con $\Phi\le90^\circ$ si mette uno zero $\frac M{20}$ decadi prima di $\omega_A^$; con $90^\circ<\Phi\le180^\circ$ due zeri a $\frac M{40}$ decadi; il polo (o i poli) almeno una o due decadi dopo $\omega_A^$ per rendere la rete propria.Reti anticipatrici →).
• Attenuatrice $\frac{1+s/z}{1+s/p}$ ($p<z$): $z\le\frac{\omega_A^*}{10}$, $p=z10^{-M/20}$; sella: lead per la fase ($\Delta$), poi lag da $M+\Delta$ (Reti attenuatrici e reti a sellaLa rete attenuatrice $C_{att}=\frac{1+s/z}{1+s/p}$ con $0<p<z$ ha $K_B=1$ e abbassa il modulo di $20\log\frac zp$ dB oltre $z$ senza cambiare il guadagno in continua (a costo di un po' di fase persa, circa $\frac z{\omega_A^}$ rad). Caso ③: polo a $\frac M{20}$ decadi prima dello zero, zero $\ge1$ decade prima di $\omega_A^$. La rete a sella $C_{sella}=C_{att}C_{ant}$ ($p_1<z_1\le z_2<p_2$) abbassa il modulo e alza la fase: si progetta prima la parte anticipatrice (fase, con un guadagno extra $\Delta$), poi quella attenuatrice sufficientemente a sinistra per togliere $M+\Delta$ dB senza toccare la fase (caso ④).Reti attenuatrici e reti a sella →).
• PID $=\frac{K_i+K_ps+K_ds^2}s=\frac{K_i}s\big(1+\frac s{z_1}\big)\big(1+\frac s{z_2}\big)$: $\frac{K_p}{K_i}=\frac1{z_1}+\frac1{z_2}$, $\frac{K_d}{K_i}=\frac1{z_1z_2}$ (Controllori PIDIl controllore PID calcola $u=K_pe+K_d\dot e+K_i\int e$, cioè $C_{PID}(s)=K_p+K_ds+\frac{K_i}s=\frac{K_i}s\Big(1+\frac{K_p}{K_i}s+\frac{K_d}{K_i}s^2\Big)$ (due zeri e un polo nell'origine: non proprio). Nella sintesi per tentativi $\frac{K_i}s$ alza il tipo (Passo 1) e i due zeri sono una doppia azione anticipatrice (Passo 2): $PI$ = un integratore + uno zero (anticipo fino a $90^\circ$), $PID$ = integratore + due zeri (anticipo fino a $180^\circ$), $PD$ = zero senza integratore. Gli zeri si mettono $\frac M{20}$ (PI) o $\frac M{40}$ decadi ciascuno (PID) prima di $\omega_A^*$.Controllori PID →).

Disturbi e sinusoidi (Reiezione dei disturbi e inseguimento di segnali sinusoidaliCon $W=\frac{CG}{1+CG}$ BIBO stabile, un disturbo costante $d_0$ all'ingresso del processo è reiettato a regime se e solo se $C(s)$ ha un polo in $0$ (integratore prima del punto in cui entra il disturbo); un disturbo all'uscita è reiettato se e solo se $CG$ ha un polo in $0$ (tipo $\ge1$). Un riferimento sinusoidale $A\cos(\omega_0t+\varphi)\delta_{-1}$ è inseguito con errore nullo se e solo se la catena aperta $\tilde G=CG$ ha una coppia di poli immaginari $\pm j\omega_0$ (principio del modello interno).Reiezione dei disturbi e inseguimento di segnali sinusoidali →)

• Disturbo costante in ingresso al processo reiettato $\iff$ $C$ ha polo in $0$. In uscita $\iff$ $CG$ ha polo in $0$.
• Inseguimento di $\cos\omega_0t$ con errore nullo $\iff$ $CG$ ha poli $\pm j\omega_0$.

Operazionali (Amplificatori operazionali in retroazione e stabilitàUn amplificatore operazionale in configurazione invertente o non invertente con impedenze $Z_1,Z_2$ è un sistema in retroazione: con guadagno reale $A(s)$ (invece di $\infty$) vale $W_r(s)=W_{id}(s),\frac{L(s)}{1+L(s)}$ con $W_{id}=-\frac{Z_2}{Z_1}$ (invertente) o $1+\frac{Z_2}{Z_1}$ (non invertente) e guadagno d'anello $L=A\beta$, $\beta=\frac{Z_1}{Z_1+Z_2}$. $W_r\to W_{id}$ per $A\to\infty$; la stabilità di $W_r$ si studia sull'equazione caratteristica $1+L=0$ con Routh o luogo delle radici; scambiare i morsetti $\pm$ cambia il segno della retroazione.Amplificatori operazionali in retroazione e stabilità →)

• $W_r=W_{id}\frac{L}{1+L}$, $L=A\beta$, $\beta=\frac{Z_1}{Z_1+Z_2}$; $W_{id}=-\frac{Z_2}{Z_1}$ (invertente), $1+\frac{Z_2}{Z_1}$ (non invertente).