Segnali canonici, tipo di un sistema ed errore di regime permanente

Un sistema di controllo deve far sì che l'uscita segua un riferimento. Le prestazioni a regime si misurano sull'errore tra riferimento e uscita quando il transitorio è finito. Il riferimento tipico è uno dei segnali canonici.

I segnali canonici

Si indicano con $$\delta_{-(k+1)}(t)=\frac{t^k}{k!}\,\delta_{-1}(t),\qquad k=0,1,2,\dots,\qquad\mathcal L\big[\delta_{-(k+1)}\big]=\frac1{s^{k+1}}.$$ Quindi: $\delta_{-1}$ è il gradino unitario ($k=0$), $\delta_{-2}(t)=t\,\delta_{-1}$ la rampa linearesegnale t per t≥0 ($k=1$), $\delta_{-3}(t)=\frac{t^2}2\delta_{-1}$ la rampa parabolica ($k=2$). Sono le primitive successive dell'impulso: $\delta_{-(k+1)}$ si ottiene integrando $\delta_{-k}$.

L'errore di inseguimento

Dato un sistema con funzione di trasferimento $W(s)$ e condizioni iniziali nulle, sia $w_{-(k+1)}(t)$ la sua risposta forzata a $\delta_{-(k+1)}(t)$ (ha trasformata $\frac{W(s)}{s^{k+1}}$). L'obiettivo è $y\approx r$ con $r=\delta_{-(k+1)}$. Si definisce l'errore di inseguimento $$e^{(k+1)}(t)=\delta_{-(k+1)}(t)-w_{-(k+1)}(t)$$ e l'errore di regime permanente $$e_{rp}^{(k+1)}=\lim_{t\to+\infty}\,e^{(k+1)}(t),$$ quando il limite esiste. L'indice in alto $(k+1)$ è l'ordine del segnale ($(1)$ gradino, $(2)$ rampa, $(3)$ parabola).

Il tipo di un sistema

Sia $W(s)$ propria, BIBO stabile e con $W(0)\ne0$. Si dice che il sistema è di tipo $k$ ($k\in\mathbb Z_+$) se $$e_{rp}^{(k+1)}\ \text{è una costante finita non nulla}.$$ Il numero $k$ è univocamente determinato e:

• per ogni segnale di ordine minore ($i<k$) l'errore di regime è nullo: $e_{rp}^{(i+1)}=0$;
• per ogni segnale di ordine maggiore ($i>k$) l'errore di regime è infinito: $e_{rp}^{(i+1)}=\infty$.

Il tipo dice a quale "livello" di riferimento il sistema riesce a seguire l'ingresso con errore finito: tipo $0$ segue il gradino con un errore costante (la sola proporzione), tipo $1$ segue il gradino senza errore e la rampa con errore costante, ecc.

Caratterizzazione con le derivate di $W$ in zero

Teorema. Sia $W$ propria, BIBO stabile, $W(0)\ne0$.

• $W$ è di tipo $0$ $\iff W(0)\ne1$, e allora $e_{rp}^{(1)}=1-W(0)$.
• $W$ è di tipo $k\ge1$ $\iff W(0)=1$, $\ \frac{d^iW}{ds^i}(0)=0$ per $i=1,\dots,k-1$, $\ \frac{d^kW}{ds^k}(0)\ne0$. In tal caso $$e_{rp}^{(k+1)}=-\frac1{k!}\,\frac{d^kW}{ds^k}(0).$$

Dimostrazione. Si pone $g(t)=e^{(k+1)}(t)$ e si applica il teorema del valore finale (Laplace per i modelli I-O - fratti semplici e risposta del sistemaPer calcolare l'uscita di un modello I/O con Laplace si scrive $Y(s)=\frac{b(s)U(s)+c(s)}{a(s)}$ (forzata + libera), si decompone in fratti semplici e si antitrasforma con la tabella dei modi: $\frac1{(s-\lambda)^{k+1}}\leftrightarrow\frac{t^k}{k!}e^{\lambda t}$, coppie complesse $\to e^{\sigma t}\cos/\sin\omega t$. I poli di $Y$ determinano i modi dell'uscita; il teorema del valore finale dà il limite a regime se $sY(s)$ ha poli solo in $\mathrm{Re}<0$.Laplace per i modelli I-O - fratti semplici e risposta del sistema →). La trasformata di $g$ è $$G(s)=\frac1{s^{k+1}}-\frac{W(s)}{s^{k+1}}=\frac{1-W(s)}{s^{k+1}}.$$ I poli di $sG(s)=\frac{1-W(s)}{s^k}$ sono quelli di $W$ (tutti in $\mathrm{Re}<0$) e al più $s=0$. Se $s=0$ non è un polo (la singolarità è eliminabile, cioè il limite sotto è finito) l'ipotesi forte del teorema è soddisfatta e $$e_{rp}^{(k+1)}=\lim_{s\to0}s\,G(s)=\lim_{s\to0}\frac{1-W(s)}{s^{k}};$$ se invece $s=0$ è un polo, $g(t)$ contiene un termine che non tende a una costante e l'errore diverge ($\infty$). Si sviluppa $W$ in serie in $s=0$: $W(s)=W(0)+W'(0)s+\frac{W''(0)}2s^2+\dots$.

• $k=0$: il limite è $1-W(0)$, costante non nulla se e solo se $W(0)\ne1$. Questo è il tipo $0$.
• $k\ge1$: $\frac{1-W(0)-W'(0)s-\dots-\frac{W^{(k)}(0)}{k!}s^k-\dots}{s^k}$ ha limite finito se e solo se $1-W(0)=0$ e $W'(0)=\dots=W^{(k-1)}(0)=0$, e il limite è $-\frac{W^{(k)}(0)}{k!}$, diverso da zero se e solo se $W^{(k)}(0)\ne0$. $\square$

Le affermazioni sugli ordini minori e maggiori seguono dallo stesso calcolo: con $s^i$ al posto di $s^k$, $i<k$ il numeratore va a zero più in fretta, $i>k$ il limite è infinito.

Esempi

Tipo 0. $W=\dfrac2{s+4}$, $W(0)=\frac12\ne1$: tipo $0$, errore al gradino $e_{rp}^{(1)}=1-\frac12=\frac12$ (l'uscita arriva a $0{,}5$ invece di $1$).

Tipo 1. $W=\dfrac1{1+s}$: $W(0)=1$, $W'(0)=-1\ne0$. Tipo $1$, $e_{rp}^{(2)}=-\frac{W'(0)}{1!}=1$: alla rampa $t$ l'uscita è $t-1+e^{-t}$ e resta sotto l'ingresso di una costante $1$ (che è la costante di tempo). Verificato con la risposta alla rampa.

Tipo 2. $W=\dfrac{1+2s}{(1+s)^2}=1-s^2+2s^3+\dots$ (sviluppo in serie): $W(0)=1$, $W'(0)=0$, $W''(0)=-2\ne0$. Tipo $2$, $e_{rp}^{(3)}=-\frac{-2}{2!}=1$: alla parabola $\frac{t^2}2$ l'errore tende a $1$ (verificato con il limite della risposta alla parabola).

Errori comuni

• Definire il tipo senza le ipotesi (BIBO stabile, propria, $W(0)\ne0$): per un sistema instabile l'errore non ha limite.
• Confondere l'indice: $e_{rp}^{(1)}$ è l'errore al gradino (tipo $0$ se non nullo), $e_{rp}^{(2)}$ alla rampa.
• Dimenticare il fattore $\frac1{k!}$ e il segno meno: $e_{rp}^{(k+1)}=-\frac{W^{(k)}(0)}{k!}$.
• Dire che un sistema di tipo $k$ segue con errore nullo il segnale di ordine $k+1$: lo segue con errore finito non nullo; l'errore nullo è per i segnali di ordine minore.