Modellistica di sistemi fisici, equilibri e linearizzazione

Gli strumenti del corso (Laplace, Bode, luogo delle radici, sintesi) lavorano su una funzione di trasferimento. Prima di usarli bisogna ricavarla da un sistema fisico: è la parte di modellistica. Si parte dalle leggi di bilancio (legge di Kirchhoff, seconda legge di Newton, bilancio di energia) e si scrive l'equazione differenziale che lega l'ingresso scelto all'uscita scelta (Sistemi dinamici e modelli ingresso-uscita SISOUn modello ingresso/uscita SISO LTI è un'equazione differenziale $\sum_{i=0}^na_iy^{(i)}=\sum_{i=0}^mb_iu^{(i)}$ con $n\ge m$ (modello proprio). L'uscita è somma di evoluzione libera (dallo stato iniziale, ingresso nullo) e forzata (da stato nullo, $y_f=w*u$, $Y_f=W(s)U(s)$ con $W=b(s)/a(s)$). Le soluzioni libere sono combinazioni dei modi $t^ke^{\lambda t}$ delle radici di $a(s)$.Sistemi dinamici e modelli ingresso-uscita SISO →).

Sistemi elettrici: il circuito RLC

Resistore $R$, induttore $L$ e condensatore $C$ in serie, alimentati dalla tensione $v(t)$ (ingresso). L'uscita è la tensione $y=v_C$ ai capi del condensatore. Con $i=C\dot v_C$ e la legge di Kirchhoff per le tensioni $v=Ri+L\dot i+v_C$ si ottiene $$LC\,\ddot y+RC\,\dot y+y=v,\qquad W(s)=\frac1{LCs^2+RCs+1}=\frac{\omega_n^2}{s^2+2\xi\omega_ns+\omega_n^2},\quad\omega_n=\frac1{\sqrt{LC}},\ \xi=\frac R2\sqrt{\frac CL}.$$ È il secondo ordine canonico (Risposta al gradino e risposta in frequenza - sistemi del primo e del secondo ordineParametri della risposta in frequenza: banda passante $B_p$ (modulo entro $3$ dB da $|W(0)|$), pulsazione di risonanza $\omega_r$, picco di risonanza $M_r$. Per sistemi del 1° e 2° ordine strettamente propri, BIBO stabili, con $W(0)\ne0$ e senza zeri instabili: risposta al gradino monotona $\Leftrightarrow$ modulo monotono (niente picco); oscillazioni $\Leftrightarrow$ picco di risonanza; $B_p,t_r\approx2{,}3$ (proporzionalità inversa). Per $\frac{\omega_n^2}{s^2+2\xi\omega_ns+\omega_n^2}$: $S=100e^{-\pi\xi/\sqrt{1-\xi^2}}$, $M_r=\frac1{2\xi\sqrt{1-\xi^2}}$.Risposta al gradino e risposta in frequenza - sistemi del primo e del secondo ordine →). Con $L=1$ H, $C=1$ F, $R=0{,}2\ \Omega$: $\omega_n=1$ rad/s, $\xi=0{,}1$, poli $-0{,}1\pm0{,}995j$ (oscillazioni poco smorzate: il modello usato in vari temi d'esame).

Sistemi meccanici

Massa-molla-smorzatore (forza $u$, posizione $y$): $m\ddot y+c\dot y+ky=u$, $W=\frac1{ms^2+cs+k}$ (esempio numerico con $m=1,c=2,k=5$ in Sistemi dinamici e modelli ingresso-uscita SISOUn modello ingresso/uscita SISO LTI è un'equazione differenziale $\sum_{i=0}^na_iy^{(i)}=\sum_{i=0}^mb_iu^{(i)}$ con $n\ge m$ (modello proprio). L'uscita è somma di evoluzione libera (dallo stato iniziale, ingresso nullo) e forzata (da stato nullo, $y_f=w*u$, $Y_f=W(s)U(s)$ con $W=b(s)/a(s)$). Le soluzioni libere sono combinazioni dei modi $t^ke^{\lambda t}$ delle radici di $a(s)$.Sistemi dinamici e modelli ingresso-uscita SISO →). Carrello senza molla: $m\ddot y+c\dot y=u$, $W(s)=\frac1{s\,(ms+c)}$: un polo nell'origine (la posizione integra la velocità). Senza attrito ($c=0$) il polo nell'origine è doppio: $W=\frac1{ms^2}$.

Sistemi elettromeccanici: motore in corrente continua

Un motore comandato in tensione ha due equazioni accoppiate: il circuito di armatura e il moto dell'albero, $$L\frac{di}{dt}+Ri=v-k_e\,\omega,\qquad J\frac{d\omega}{dt}+b\,\omega=k_t\,i,$$ con $v$ tensione di armatura (ingresso), $\omega$ velocità angolare (uscita), $k_e$ costante di f.c.e.m., $k_t$ costante di coppia, $J$ inerzia, $b$ attrito. Trasformando e sostituendo $I(s)=\frac{V(s)-k_e\Omega(s)}{Ls+R}$ nella seconda equazione: $$\frac{\Omega(s)}{V(s)}=\frac{k_t}{(Ls+R)(Js+b)+k_tk_e}.$$ Esempio numerico: $R=1\ \Omega$, $L=0{,}01$ H, $J=0{,}01\ \mathrm{kg\,m^2}$, $b=0{,}1\ \mathrm{N\,m\,s}$, $k_t=k_e=0{,}05$. Il denominatore è $10^{-4}s^2+0{,}011s+0{,}1025$, con radici $-99{,}7$ e $-10{,}28$ rad/s. Il polo $-99{,}7$ (elettrico) è dieci volte più lontano del $-10{,}28$ (meccanico): per i poli dominantii poli più vicini all'asse immaginario, che determinano il comportamento principale il motore si comporta come un primo ordine con costante di tempo $\tau\approx\frac{RJ}{Rb+k_tk_e}=0{,}098$ s e guadagno in continua $\frac{k_t}{Rb+k_tk_e}=0{,}488$ rad/s per volt (valore finale $0{,}4878$ della simulazione del modello completo, con $t_r=0{,}235$ s). La posizione $\theta$ è l'integrale di $\omega$: $\Theta=\frac{\Omega}s$, con un polo in più nell'origine.

Sistemi termici e idraulici

Una stanza (o un serbatoio) con capacità termica $C_t$ (J/K) e resistenza termica verso l'esterno $R_t$ (K/W), riscaldata dalla potenza $P$: $C_t\dot T=P-\frac{T-T_a}{R_t}$. Posto $y=T-T_a$ (scarto dalla temperatura ambiente) e $u=P$: $W(s)=\frac{R_t}{1+R_tC_ts}$, un primo ordine con costante di tempo $R_tC_t$ (per $R_t=2$ K/W, $C_t=500$ J/K, $\tau=1000$ s). Nel corso questi sistemi si controllano con un regolatore (per esempio un PID: Controllori PIDIl controllore PID calcola $u=K_pe+K_d\dot e+K_i\int e$, cioè $C_{PID}(s)=K_p+K_ds+\frac{K_i}s=\frac{K_i}s\Big(1+\frac{K_p}{K_i}s+\frac{K_d}{K_i}s^2\Big)$ (due zeri e un polo nell'origine: non proprio). Nella sintesi per tentativi $\frac{K_i}s$ alza il tipo (Passo 1) e i due zeri sono una doppia azione anticipatrice (Passo 2): $PI$ = un integratore + uno zero (anticipo fino a $90^\circ$), $PID$ = integratore + due zeri (anticipo fino a $180^\circ$), $PD$ = zero senza integratore. Gli zeri si mettono $\frac M{20}$ (PI) o $\frac M{40}$ decadi ciascuno (PID) prima di $\omega_A^*$.Controllori PID →).

Modelli non lineari, equilibri e linearizzazione

Molti sistemi fisici sono descritti da equazioni non lineari: $\dot x=f(x,u)$, $y=h(x)$. Gli strumenti del corso si applicano al modello linearizzato, valido vicino a un punto di funzionamento.

1. Equilibrisoluzioni costanti del modello: la derivata dello stato è nulla. Un equilibrio $(\bar x,\bar u)$ è una soluzione costante: $f(\bar x,\bar u)=0$ ($\dot x=0$).

2. Linearizzazione. Con $\delta x=x-\bar x$, $\delta u=u-\bar u$, lo sviluppo di Taylor al primo ordine dà $$\delta\dot x=A\,\delta x+B\,\delta u,\qquad A=\frac{\partial f}{\partial x}\Big|_{(\bar x,\bar u)},\ B=\frac{\partial f}{\partial u}\Big|_{(\bar x,\bar u)},$$ e per modelli a una variabile si ottiene direttamente una equazione I/O lineare nelle variabili di scarto, quindi una funzione di trasferimento.

3. Stabilità. La stabilità di un equilibrio (per piccole perturbazioni) si studia con i poli del modello linearizzato (Stabilità asintotica e BIBO dei modelli I-OIl modello è asintoticamente stabile se la libera tende a zero per ogni stato iniziale: tutte le radici di $a(s)$ hanno $\mathrm{Re}<0$ ($a(s)$ di Hurwitz). È BIBO stabile se a ogni ingresso limitato corrisponde un'uscita forzata limitata: equivale a $\int_0^\infty|w|<\infty$, cioè a poli di $W(s)$ (ridotta) tutti in $\mathrm{Re}<0$. Asintotica $\Rightarrow$ BIBO, non viceversa (cancellazioni polo-zero instabili). Poli immaginari semplici: non BIBO (risonanza).Stabilità asintotica e BIBO dei modelli I-O →).

Esempio 1: serbatoio. Area $A=2\ \mathrm m^2$, portata in ingresso $q$, portata in uscita $k\sqrt h$ con $k=0{,}5$: $A\dot h=q-k\sqrt h$ (non lineare). Con $\bar q=1$: l'equilibrio è $\bar h=\left(\frac{\bar q}k\right)^2=4$ m. Linearizzando: $\frac{\partial}{\partial h}\big(-k\sqrt h\big)=-\frac k{2\sqrt{\bar h}}=-0{,}125$, quindi $2\,\delta\dot h=\delta q-0{,}125\,\delta h$, cioè $$W(s)=\frac{\delta H}{\delta Q}=\frac{8}{1+16\,s}\qquad(\tau=16\ \mathrm s,\ \text{guadagno }8\ \text{m per unità di portata}).$$ Controllo: un aumento della portata da $1$ a $1{,}1$ porta il modello lineare a $h=4+8\cdot0{,}1=4{,}8$ m e il modello non lineare (simulato) a $4{,}84$ m (il valore esatto è $\left(\frac{1{,}1}{0{,}5}\right)^2=4{,}84$); dopo $16$ s il livello è $4{,}511$ (non lineare) contro $4{,}506$ (lineare): per scarti piccoli i due modelli coincidono.

Esempio 2: pendolo con attrito. $\ddot\theta+c\dot\theta+\frac gL\sin\theta=u$, con $c=0{,}2$, $\frac gL=1$. Con $u=0$ gli equilibri sono $\theta=0$ (pendolo in basso) e $\theta=\pi$ (in alto).

• In $\theta=0$: $\sin\theta\approx\theta$: $\delta\ddot\theta+0{,}2\,\delta\dot\theta+\delta\theta=u$, poli $-0{,}1\pm0{,}995j$ (stabile, oscillante).
• In $\theta=\pi$: posto $\theta=\pi+\delta$, $\sin(\pi+\delta)=-\sin\delta\approx-\delta$: $\ddot\delta+0{,}2\dot\delta-\delta=u$, poli $\frac{-0{,}2\pm\sqrt{0{,}04+4}}2=0{,}905$ e $-1{,}105$: un polo in $\mathrm{Re}>0$, instabile. Il processo "pendolo in alto" è l'esempio di un processo con un polo instabile, come quelli che compaiono negli esercizi: va stabilizzato con la retroazione (Luogo delle radici - stabilità BIBO al variare di KPer studiare la stabilità BIBO di $W_K=\frac{KG}{1+KG}$ al variare di $K\in\mathbb R\setminus{0}$ si tracciano luogo positivo e negativo (rami, asse reale, asintoti, punti doppi con il segno di $K$, intersezioni con l'asse immaginario con il loro $K$) e si segue come i rami si muovono rispetto all'asse immaginario: il numero di poli in $\mathrm{Re}>0$ cambia solo agli attraversamenti. $W_K$ è BIBO stabile per i soli $K$ con tutti i rami in $\mathrm{Re}<0$; ai $K$ critici (attraversamento) ci sono poli immaginari. La tabella di Routh su $d+Kn$ dà gli stessi risultati.Luogo delle radici - stabilità BIBO al variare di K →).

Errori comuni

• Scrivere l'equazione senza scegliere ingresso e uscita: la stessa fisica dà funzioni di trasferimento diverse (per il motore: velocità o posizione).
• Linearizzare attorno a un punto che non è di equilibrio: gli scarti non obbediscono a un modello lineare omogeneo.
• Dimenticare di sottrarre l'equilibrio dall'ingresso e dall'uscita: la FdT è relativa agli scarti, non ai valori assoluti.
• Giudicare la stabilità del sistema non lineare globalmente dal modello linearizzato: vale solo vicino all'equilibrio (e il pendolo ha equilibri di natura diversa).
• Trascurare la separazione dei poli: un motore con $L$ piccolo si approssima al primo ordine solo se il polo elettrico è molto più lontano di quello meccanico.