Diagrammi di Nyquist - tracciamento, asintoti e intersezioni

Il diagramma di Nyquist della funzione di trasferimento $G(s)$ è l'immagine dell'asse immaginario: $$\mathcal N_G=\{G(j\omega)\in\mathbb C:\ \omega\in\mathbb R\},$$ disegnata nel piano complesso (asse delle ascisse $\mathrm{Re}$, delle ordinate $\mathrm{Im}$) con una freccia che indica il verso delle $\omega$ crescenti. Serve per applicare il criterio di Nyquist (Criterio di Nyquist - versione ristretta e criterio ridottoSia $G$ razionale propria, di cui si conosce il numero $n_{G+}$ di poli con $\mathrm{Re}>0$, e il diagramma di Nyquist completo. Sotto C1 (il diagramma resta al finito, cioè $G$ non ha poli sull'asse immaginario) e C2 (il diagramma non passa per il punto critico $-1+j0$) si ha $N=n_{G+}-n_{W+}$, con $N$ numero di giri del diagramma attorno a $-1$ contati $+$ in senso antiorario e $-$ in senso orario e $n_{W+}$ numero di poli con $\mathrm{Re}>0$ di $W=\frac G{1+G}$. Quindi $W$ è BIBO stabile $\iff N=n_{G+}$; se $G$ è BIBO stabile ($n_{G+}=0$), $W$ è stabile $\iff N=0$ (criterio ridotto).Criterio di Nyquist - versione ristretta e criterio ridotto →) e per leggere la stabilità di $\frac{KG}{1+KG}$ al variare di $K$. Si usa il diagramma completo ($\omega\in(-\infty,+\infty)$), non solo $\omega\ge0$.

Simmetria hermitiana

Poiché $G$ ha coefficienti reali, $G(-j\omega)=\overline{G(j\omega)}$: modulo uguale e fase opposta. Il tratto per $\omega<0$ è quindi il simmetrico rispetto all'asse reale del tratto per $\omega>0$, percorso in verso opposto (da $\omega=-\infty$ a $0^-$). Basta studiare $\omega\ge0$.

Il diagramma da modulo e fase

Per ogni $\omega$ il punto $G(j\omega)$ ha raggio $|G(j\omega)|$ e angolo $\arg G(j\omega)$: sono i valori letti dai diagrammi di Bode (Tracciare i diagrammi di Bode di una funzione di trasferimentoPer tracciare Bode di $G(s)$: (1) forma di Bode ($K_B$, $h$, termini); (2) elenco ordinato delle pulsazioni di spezzamento; (3) modulo asintotico: parte con pendenza $-20h$ dB/dec passando per $20\log|K_B|$ in $\omega=1$ e cambia pendenza di $\pm20$ ($\pm40$) a ogni spezzamento; (4) fase: $\arg K_B-90^\circ h$ iniziale più i contributi di zeri e poli (opposti se instabili), con salti di $\pm180^\circ$ per radici immaginarie; (5) correzioni (picchi dei trinomi, 3 dB agli spezzamenti).Tracciare i diagrammi di Bode di una funzione di trasferimento →). Tracciando i due diagrammi si ottiene l'andamento qualitativo: dove la fase passa per multipli di $180^\circ$ il diagramma incrocia l'asse reale, per $\pm90^\circ$ l'asse immaginario; dove il modulo cresce o decresce il raggio aumenta o diminuisce. Il confronto dei Bode permette di stimare le intersezioni con gli assi anche senza calcoli: si cercano le $\omega$ in cui la fase vale $0,\pm180^\circ,\dots$ (asse reale) o $\pm90^\circ,\pm270^\circ,\dots$ (asse immaginario) e si legge lì il modulo.

Comportamento agli estremi

Sia $G=\frac{K_B}{s^h}\,\frac{\prod(1+T_i's)\cdots}{\prod(1+T_is)\cdots}$ in forma di Bode, con grado relativo $r=n-m$.

Per $\omega\to0^+$.

• $h=0$: il diagramma parte dal punto $K_B$ dell'asse reale.
• $h>0$: il modulo tende a $\infty$, con angolo $\arg K_B-90^\circ h$ (il diagramma "parte da infinito" nella direzione di quell'angolo).
• Asintoto per $h=1$. $G(j\omega)\approx\frac{K_B}{j\omega}(1+j\omega\tau)=-j\frac{K_B}\omega+K_B\tau$, dove $\tau=\sum_iT_i'-\sum_iT_i+\sum_i\frac{2\xi_i'}{\omega_{ni}'}-\sum_i\frac{2\xi_i}{\omega_{ni}}$ (somma dei coefficienti di $s$ nei fattori del numeratore meno quelli del denominatore, esclusa la costante). La parte immaginaria tende a $\mp\infty$ mentre la parte reale tende al valore finito $$\boxed{\mathrm{Re}_{\text{asintoto}}=K_B\,\tau}\qquad(h=1).$$ Il diagramma ha un asintoto verticaleretta verticale a cui la curva si avvicina mentre la parte immaginaria diverge di equazione $\mathrm{Re}=K_B\tau$.
• $h=2$: $G\approx-\frac{K_B}{\omega^2}-j\frac{K_B\tau}\omega$: modulo infinito, parte reale che tende a $-\mathrm{sign}(K_B)\infty$ più rapidamente della parte immaginaria: nessun asintoto, il ramo parte da infinito lungo la direzione $\arg K_B-180^\circ$.
• $h=3$: direzione $\arg K_B-270^\circ$, ecc.

Per $\omega\to+\infty$. $G(j\omega)\approx\frac{b_m}{a_n}\frac1{(j\omega)^{r}}$: se $r>0$ il diagramma arriva nell'origine con angolo $\arg\frac{b_m}{a_n}-90^\circ r$ (tangente a quella direzione); se $r=0$ (grado relativo $0$) arriva nel punto finito $\frac{b_m}{a_n}\ne0$.

Intersezioni con gli assi

Si scrive $G(j\omega)=R(\omega)+jX(\omega)$ con $R,X$ funzioni razionali di $\omega$ (si moltiplica numeratore e denominatore per il coniugato del denominatore).

• Con l'asse reale: $X(\omega)=0$, valore $R(\omega)$ nei punti trovati (più l'eventuale punto $\omega=0$ o $\omega\to\infty$).
• Con l'asse immaginario: $R(\omega)=0$, valore $X(\omega)$.

Se $R$ o $X$ si annullano in $\omega=0$ o $\infty$ per ragioni di segno, questi sono punti del diagramma ma non "intersezioni" in senso stretto.

Esempio 1: un polo nell'origine

$$G(s)=\frac{10}{s\,(1+s)\,(1+\frac s{10})}.$$ Qui $K_B=10$, $h=1$, $r=3$, $\tau=-1-0{,}1=-1{,}1$: asintoto verticale $\mathrm{Re}=10\cdot(-1{,}1)=-11$. Parte da $\infty$ con angolo $-90^\circ$ ($\mathrm{Im}\to-\infty$) e arriva nell'origine con angolo $-270^\circ\equiv+90^\circ$ (tangente all'asse immaginario positivo). Calcolando: $$\mathrm{Re}\,G(j\omega)=\frac{-1100}{(1+\omega^2)(100+\omega^2)},\qquad\mathrm{Im}\,G(j\omega)=\frac{100(\omega^2-10)}{\omega(1+\omega^2)(100+\omega^2)}.$$ La parte reale è sempre negativa (il diagramma sta nel semipiano sinistro), tende a $-11$ per $\omega\to0^+$ ✓. La parte immaginaria è negativa per $\omega<\sqrt{10}$, nulla per $\omega=\sqrt{10}\approx3{,}16$, positiva dopo. Dunque il diagramma parte da $-11-j\infty$ (terzo quadrante), attraversa il semiasse reale negativo in $\omega=\sqrt{10}$ nel punto $\mathrm{Re}=-\frac{1100}{11\cdot110}=-\frac{10}{11}\approx-0{,}909$, passa nel secondo quadrante e arriva nell'origine tangente all'asse immaginario positivo; nel semipiano $\mathrm{Re}=0$ non incontra l'asse immaginario (la parte reale non si annulla mai). Il diagramma per $\omega<0$ è il simmetrico. Questo tracciato dà subito il risultato sulla stabilità di $\frac{KG}{1+KG}$: il punto critico $-\frac1K$ è attraversato per $-\frac1K=-\frac{10}{11}$, cioè $K=1{,}1$; per $0<K<1{,}1$ il sistema è stabile e per $K>1{,}1$ instabile (verificato con i poli: $K=1{,}05$ stabile, $K=1{,}2$ con due poli in $\mathrm{Re}>0$).

Esempio 2: due poli nell'origine

$$G(s)=\frac{1+s}{s^2\,(1+\frac s{10})},\quad K_B=1,\ h=2,\ r=2,\ \tau=1-0{,}1=0{,}9.$$ Parte da infinito con angolo $-180^\circ$ (lungo l'asse reale negativo) e arriva nell'origine con angolo $-180^\circ$, perché il comportamento a frequenza alta è $\frac{10}{s^2}$. Le componenti sono $$\mathrm{Re}=-\frac{10(\omega^2+10)}{\omega^2(\omega^2+100)},\qquad\mathrm{Im}=-\frac{90}{\omega(\omega^2+100)},$$ entrambe negative per ogni $\omega>0$: il diagramma resta nel terzo quadrante e non interseca mai gli assi. Non ha asintoti: per $\omega\to0^+$ la parte reale tende a $-\infty$ come $-\frac1{\omega^2}$, quella immaginaria come $-\frac{0{,}9}\omega$.

Errori comuni

• Disegnare solo $\omega\ge0$ e dimenticare il tratto simmetrico.
• Confondere asintoto e intersezione: l'asintoto verticale (per $h=1$) è $\mathrm{Re}=K_B\tau$, non un'intersezione con l'asse reale.
• Sbagliare il segno di $K_B\tau$ con radici instabili: per un fattore $(1-\frac sz)$ il coefficiente $T'$ vale $-\frac1z$.
• Non verificare la direzione di arrivo nell'origine: dipende dal grado relativo e dal segno del coefficiente direttivo.
• Dimenticare che il verso di percorrenza è quello delle $\omega$ crescenti e che un tratto simmetrico va percorso al contrario.