Esercizio 13luogo delle radici con un polo doppio instabile e studio con Routh (temi d'esame luglio 2024 e gennaio 2021)

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Teoria usata: Luogo delle radici - definizione e regole di tracciamentoPer $G=\frac{n(s)}{d(s)}$ (monici, coprimi, $n=\deg d\ge m=\deg n$) e $W_K=\frac{KG}{1+KG}$, il luogo positivo è l'insieme dei $s$ con $d(s)+Kn(s)=0$ per qualche $K>0$ (i poli di $W_K$ al variare di $K$). Regole: $n$ rami simmetrici rispetto all'asse reale, partono dai poli ($K=0$) e finiscono negli $m$ zeri o negli $n-m$ asintoti; un punto reale è nel luogo positivo se alla sua destra ci sono un numero dispari di poli+zeri reali (con molteplicità); asintoti con direzioni $\frac{(2i+1)\pi}{n-m}$ e centro $x_B=\frac{\sum p_i-\sum z_i}{n-m}$; il guadagno in un punto è $K=-\frac{d(s)}{n(s)}$.Luogo delle radici - definizione e regole di tracciamento →, Luogo delle radici - punti doppi e intersezioni con l'asse immaginarioI punti doppi (multipli) del luogo sono i valori $s$ per cui $d+Kn$ ha una radice multipla: soddisfano $d'(s)n(s)-d(s)n'(s)=0$ con $K=-\frac{d}{n}$. Dall'equazione si tolgono le radici che sono poli o zeri multipli di $G$ (corrispondono a $K=0$ o $\infty$); una soluzione è punto doppio del luogo positivo (negativo) solo se $K(s)$ è reale positivo (negativo). Le intersezioni con l'asse immaginario si trovano da $d(j\omega)+Kn(j\omega)=0$ (due equazioni reali in $\omega,K$) o con la tabella di Routh in $K$ (riga nulla).Luogo delle radici - punti doppi e intersezioni con l'asse immaginario →, Luogo negativo delle radiciIl luogo negativo $\mathcal L_-$ ($K<0$) ha la condizione di fase con multipli pari di $\pi$: un punto reale è nel luogo negativo se alla sua destra ci sono un numero pari di poli+zeri reali; gli asintoti hanno direzioni $\frac{2i\pi}{n-m}$ ($i=0,\dots,n-m-1$) e lo stesso centro; punti doppi e intersezioni con l'asse immaginario si trovano con le stesse equazioni, accettando $K<0$. Ogni punto reale (non polo/zero) appartiene esattamente a uno dei due luoghi.Luogo negativo delle radici →, Luogo delle radici - stabilità BIBO al variare di KPer studiare la stabilità BIBO di $W_K=\frac{KG}{1+KG}$ al variare di $K\in\mathbb R\setminus{0}$ si tracciano luogo positivo e negativo (rami, asse reale, asintoti, punti doppi con il segno di $K$, intersezioni con l'asse immaginario con il loro $K$) e si segue come i rami si muovono rispetto all'asse immaginario: il numero di poli in $\mathrm{Re}>0$ cambia solo agli attraversamenti. $W_K$ è BIBO stabile per i soli $K$ con tutti i rami in $\mathrm{Re}<0$; ai $K$ critici (attraversamento) ci sono poli immaginari. La tabella di Routh su $d+Kn$ dà gli stessi risultati.Luogo delle radici - stabilità BIBO al variare di K →, Criterio di Routh-HurwitzIl criterio di Routh stabilisce se un polinomio $P(s)=p_ns^n+\dots+p_0$ è di Hurwitz senza calcolarne le radici. Si costruisce la tabella (righe $n,n-1,\dots,0$) con $\text{nuovo}=\frac{\text{pivot}\cdot a-\text{prec.}\cdot b}{\text{pivot}}$; se la tabella va a compimento, il numero di variazioni di segno nella prima colonna è il numero di radici con $\mathrm{Re}>0$, le permanenze il numero con $\mathrm{Re}<0$. Elemento nullo in prima colonna: $P$ non è Hurwitz; riga nulla: radici simmetriche (spesso immaginarie) date dal polinomio ausiliario. Con parametro $K$ nei coefficienti dà gli intervalli di stabilità.Criterio di Routh-Hurwitz →.

1. Dati

$n=3$ poli: $2$ (doppio, instabile) e $-4$; $m=1$ zero: $1$ (instabile). Quindi $n-m=2$ asintoti. Polinomi: $n(s)=s-1$, $d(s)=(s-2)^2(s+4)=s^3-12s+16$.

2. Asse reale

Poli e zeri reali a destra (con molteplicità), per ciascun tratto:

• $\alpha>2$: $0$ (pari): luogo negativo;
• $1<\alpha<2$: i due poli in $2$: $2$ (pari): luogo negativo;
• $-4<\alpha<1$: lo zero in $1$ e i due poli: $3$ (dispari): luogo positivo;
• $\alpha<-4$: $4$ (pari): luogo negativo.

3. Asintoti

Centro $x_B=\dfrac{(2+2-4)-1}{2}=-\dfrac12$. Direzioni: luogo positivo $\pm\frac\pi2$ (asintoti verticali in $\mathrm{Re}=-\frac12$); luogo negativo $0$ e $\pi$.

4. Punti doppi

Con $d'(s)=3s^2-12$, $n=s-1$, $n'=1$: $$d'n-dn'=(3s^2-12)(s-1)-(s^3-12s+16)=3s^3-3s^2-12s+12-s^3+12s-16=2s^3-3s^2-4=(s-2)(2s^2+s+2).$$ (Verifica: $(s-2)(2s^2+s+2)=2s^3+s^2+2s-4s^2-2s-4=2s^3-3s^2-4$ ✓.) Quindi l'equazione dei candidati è $(s-2)(2s^2+s+2)=0$. La radice $s=2$ è il polo doppio di $G$ ($K=0$): non è un punto doppio. Le altre due radici sono complesse coniugate, $s=-\frac14\pm j\,0{,}968$, e il valore corrispondente $K=-\frac dn=14{,}625\mp1{,}452j$ è complesso: non sono punti del luogo. (Si noti anche che con $n=3$ rami non ci possono essere punti doppi complessi coniugati: ne servirebbero $4$.) Il luogo non ha punti doppi.

5. Intersezioni con l'asse immaginario

$d(s)+Kn(s)=s^3+(K-12)s+(16-K)$. In $s=j\omega$: $-j\omega^3+(K-12)j\omega+16-K=0$, cioè $$\begin{cases}16-K=0\\ \omega(-\omega^2+K-12)=0\end{cases}\ \Longrightarrow\ K=16,\quad\omega=0\ \text{oppure}\ \omega^2=K-12=4,\ \omega=\pm2.$$ Per $K=16$ il polinomio è $s^3+4s=s(s^2+4)$: radici $0$ e $\pm2j$. Il luogo positivo attraversa dunque l'asse immaginario solo per $K=16$, in $s=0$ e in $s=\pm2j$.

6. I due luoghi

Luogo negativo ($K<0$). Ha solo tratti sull'asse reale: un ramo dal polo $2$ verso $+\infty$ (lungo $\alpha>2$), uno dal polo $2$ verso lo zero $1$ (lungo $(1,2)$), uno dal polo $-4$ verso $-\infty$. Il polo doppio in $2$ si divide quindi in due rami reali opposti.

Luogo positivo ($K>0$). Il ramo reale va da $-4$ verso lo zero $1$ e attraversa l'asse immaginario nell'origine per $K=16$. I due rami che partono dal polo doppio $2$ escono subito dall'asse reale (non ci sono tratti reali attorno a $2$ nel luogo positivo) e vanno verso gli asintoti verticali di centro $-\frac12$, attraversando l'asse immaginario in $\pm2j$ per $K=16$.

7. Stabilità BIBO

$W$ non è mai BIBO stabile, per nessun $K\ne0$: per $K<0$ e per $0<K<16$ ha due poli instabili, per $K>16$ ne ha uno (il ramo reale che da $-4$ arriva allo zero instabile in $1$ resta in $\mathrm{Re}>0$ oltre l'origine). Controllo numerico: $K=1$: $1{,}93\pm0{,}41j,\ -3{,}86$; $K=10$: $1{,}09\pm1{,}25j,\ -2{,}18$; $K=17$: $-0{,}10\pm2{,}24j,\ 0{,}198$; $K=100$: $-0{,}47\pm9{,}42j,\ 0{,}945$; $K=-1$: $2{,}48,\ 1{,}66,\ -4{,}14$.

8. Analisi con Routh

$d+Kn=s^3+0\cdot s^2+(K-12)s+(16-K)$: il coefficiente di $s^2$ è nullo per ogni $K$. Le prime due righe della tabella sono $(1,\ K-12)$ e $(0,\ 16-K)$: il primo elemento della seconda riga è sempre nullo e la tabella non si può completare, qualunque sia $K$. Per il teorema di Routh un polinomio con un coefficiente nullo (e gli altri non tutti dello stesso segno) non è di Hurwitz: la tabella dà quindi solo l'informazione "non c'è mai stabilità", la stessa conclusione del luogo, ma non il numero di poli instabili (che si ricava dal luogo).

Errori comuni

• Prendere $s=2$ come punto doppio: è un polo doppio di $G$ ($K=0$).
• Considerare i due punti complessi $-\frac14\pm0{,}97j$ come punti doppi: il valore di $K$ è complesso.
• Dimenticare che per $K<0$ il polo doppio si divide in due rami reali (non complessi): entrambi restano in $\mathrm{Re}>0$.
• Dedurre una regione di stabilità per $K>16$ senza notare che lo zero instabile in $1$ trattiene un ramo in $\mathrm{Re}>0$.
• Tentare di completare la tabella di Routh con $\varepsilon$ ed estrarre un numero di poli: qui la tabella non porta oltre.