Schemi di controllo in retroazione e funzioni di trasferimento

Il controllo in retroazione è l'idea di base del corso: si misura l'uscita $y(t)$, la si confronta con il valore desiderato (riferimento $r(t)$) e si usa la differenza (errore) per comandare il sistema.

Lo schema in retroazione unitaria negativa

$$e(t)=r(t)-y(t),\qquad u(t)=\text{uscita del controllore a partire da }e,\qquad y(t)=\text{uscita del processo a partire da }u.$$ Il processo ha funzione di trasferimento $G(s)$ (propria, data) e il controllore $C(s)$ (propria, da progettare). Si chiamano:

• $\tilde G(s)=C(s)G(s)$: funzione di trasferimento in catena apertasi considera solo il ramo diretto C·G, senza chiudere l'anello (si "apre" l'anello e si percorre solo il ramo diretto);
• $W(s)$: funzione di trasferimento in catena chiusa (da $r$ a $y$).

Gli obiettivi sono: garantire la stabilità BIBO di $W$; risolvere un problema di regolazione (portare $y$ a un valore finale desiderato); migliorare le prestazioni (tipo, errore a regime, tempo di salita, sovraelongazione).

Le funzioni di trasferimento dello schema

In Laplace, con condizioni iniziali nulle: $$Y=G\,U,\qquad U=C\,E,\qquad E=R-Y.$$ Sostituendo: $Y=GC(R-Y)\Rightarrow(1+\tilde G)\,Y=\tilde G\,R$, da cui $$\boxed{W(s)=\frac{Y}{R}=\frac{\tilde G(s)}{1+\tilde G(s)}=\frac{C(s)G(s)}{1+C(s)G(s)}.}$$ Le altre funzioni utili: $$\frac ER=\frac1{1+\tilde G}=1-W,\qquad\frac UR=\frac C{1+\tilde G}.$$ La prima è la funzione di sensitivitàS=1/(1+G̃): quanto dell'errore o del disturbo in uscita rimane con la retroazione: dice quanto dell'errore rimane. Per un riferimento costante, $e\to0$ richiede $\frac1{1+\tilde G(0)}=0$, cioè $|\tilde G(0)|=\infty$ (Tipo e errore a regime di un sistema retroazionatoSe $W=\frac{\tilde G}{1+\tilde G}$ (con $\tilde G$ propria) è propria, BIBO stabile e $W(0)\ne0$, il tipo di $W$ coincide con il numero $h$ di poli nell'origine di $\tilde G$ (integratori in catena aperta). L'errore a regime corrispondente è $e_{rp}^{(h+1)}=\frac1{K_B(\tilde G)}$ per $h\ge1$ e $e_{rp}^{(1)}=\frac1{1+K_B(\tilde G)}$ per $h=0$. Per ridurre l'errore si alza il guadagno di Bode o si aggiungono integratori, compatibilmente con la stabilità.Tipo e errore a regime di un sistema retroazionato →).

Zeri e poli del sistema retroazionato

Si scrive $\tilde G=\frac{\tilde n}{\tilde d}$ con $\tilde n,\tilde d$ coprimi. Allora $$W=\frac{\tilde n/\tilde d}{1+\tilde n/\tilde d}=\frac{\tilde n}{\tilde d+\tilde n},\qquad\text{con }\tilde n,\ \tilde d+\tilde n\ \text{coprimi}.$$ Quindi: $$\{\text{zeri di }W\}=\{\text{zeri di }\tilde G\},\qquad\{\text{poli di }W\}=\{\text{zeri di }1+\tilde G\}=\{\text{radici di }\tilde d+\tilde n\}.$$ Gli zeri di $W$ non cambiano con la retroazione; i poli sì: sono le radici dell'equazione caratteristica $1+\tilde G(s)=0$, ossia $\tilde d(s)+\tilde n(s)=0$. Questo è il punto di partenza di tutte le analisi di stabilità del corso: criterio di Routh su $\tilde d+\tilde n$ (Criterio di Routh-HurwitzIl criterio di Routh stabilisce se un polinomio $P(s)=p_ns^n+\dots+p_0$ è di Hurwitz senza calcolarne le radici. Si costruisce la tabella (righe $n,n-1,\dots,0$) con $\text{nuovo}=\frac{\text{pivot}\cdot a-\text{prec.}\cdot b}{\text{pivot}}$; se la tabella va a compimento, il numero di variazioni di segno nella prima colonna è il numero di radici con $\mathrm{Re}>0$, le permanenze il numero con $\mathrm{Re}<0$. Elemento nullo in prima colonna: $P$ non è Hurwitz; riga nulla: radici simmetriche (spesso immaginarie) date dal polinomio ausiliario. Con parametro $K$ nei coefficienti dà gli intervalli di stabilità.Criterio di Routh-Hurwitz →), criterio di Nyquist (Criterio di Nyquist - versione ristretta e criterio ridottoSia $G$ razionale propria, di cui si conosce il numero $n_{G+}$ di poli con $\mathrm{Re}>0$, e il diagramma di Nyquist completo. Sotto C1 (il diagramma resta al finito, cioè $G$ non ha poli sull'asse immaginario) e C2 (il diagramma non passa per il punto critico $-1+j0$) si ha $N=n_{G+}-n_{W+}$, con $N$ numero di giri del diagramma attorno a $-1$ contati $+$ in senso antiorario e $-$ in senso orario e $n_{W+}$ numero di poli con $\mathrm{Re}>0$ di $W=\frac G{1+G}$. Quindi $W$ è BIBO stabile $\iff N=n_{G+}$; se $G$ è BIBO stabile ($n_{G+}=0$), $W$ è stabile $\iff N=0$ (criterio ridotto).Criterio di Nyquist - versione ristretta e criterio ridotto →), luogo delle radici (Luogo delle radici - definizione e regole di tracciamentoPer $G=\frac{n(s)}{d(s)}$ (monici, coprimi, $n=\deg d\ge m=\deg n$) e $W_K=\frac{KG}{1+KG}$, il luogo positivo è l'insieme dei $s$ con $d(s)+Kn(s)=0$ per qualche $K>0$ (i poli di $W_K$ al variare di $K$). Regole: $n$ rami simmetrici rispetto all'asse reale, partono dai poli ($K=0$) e finiscono negli $m$ zeri o negli $n-m$ asintoti; un punto reale è nel luogo positivo se alla sua destra ci sono un numero dispari di poli+zeri reali (con molteplicità); asintoti con direzioni $\frac{(2i+1)\pi}{n-m}$ e centro $x_B=\frac{\sum p_i-\sum z_i}{n-m}$; il guadagno in un punto è $K=-\frac{d(s)}{n(s)}$.Luogo delle radici - definizione e regole di tracciamento →).

Esempio. $G=\frac1{s(s+1)}$ (processo instabile al limite: polo in $0$) con $C=K$: $\tilde G=\frac K{s(s+1)}$, $W=\frac K{s^2+s+K}$. Poli: radici di $s^2+s+K$, tutte con $\mathrm{Re}<0$ per ogni $K>0$ (secondo grado con coefficienti positivi): la retroazione proporzionale ha reso BIBO stabile un sistema che non lo era. Per $K=\frac14$ doppio $-\frac12$; per $K>\frac14$ coppia complessa $-\frac12\pm j\sqrt{K-\frac14}$ (risposta oscillante).

Esempio: il carrello ($G=\frac1{ms^2}$, due poli in $0$). Con $C=K$ si ha $W=\frac{K}{ms^2+K}$: poli immaginari $\pm j\sqrt{K/m}$, mai BIBO stabile. Con un controllore con azione derivativa $C=K(1+\tau s)$ ($m=1$): $W=\frac{K(1+\tau s)}{s^2+K\tau s+K}$, stabile per $K>0,\tau>0$ (secondo grado con coefficienti positivi); per $K=4$, $\tau=1$ ha un polo doppio in $-2$. Per questo la sola azione proporzionale non basta: serve l'anticipo di fase dato dal derivativo (Controllori PIDIl controllore PID calcola $u=K_pe+K_d\dot e+K_i\int e$, cioè $C_{PID}(s)=K_p+K_ds+\frac{K_i}s=\frac{K_i}s\Big(1+\frac{K_p}{K_i}s+\frac{K_d}{K_i}s^2\Big)$ (due zeri e un polo nell'origine: non proprio). Nella sintesi per tentativi $\frac{K_i}s$ alza il tipo (Passo 1) e i due zeri sono una doppia azione anticipatrice (Passo 2): $PI$ = un integratore + uno zero (anticipo fino a $90^\circ$), $PID$ = integratore + due zeri (anticipo fino a $180^\circ$), $PD$ = zero senza integratore. Gli zeri si mettono $\frac M{20}$ (PI) o $\frac M{40}$ decadi ciascuno (PID) prima di $\omega_A^*$.Controllori PID →).

Cancellazioni: quando sono proibite

$\tilde G=CG=\frac{n_C}{d_C}\frac{n_G}{d_G}$ non è in generale una rappresentazione irriducibile: se $d_C$ e $n_G$ (o $n_C$ e $d_G$) hanno un fattore comune $(s-\lambda)$, si ha una cancellazione incrociata. Poiché $G$ è nota solo approssimativamente, la posizione esatta di poli e zeri non è garantita, e la cancellazione perfetta non si realizza mai: resta una quasi-cancellazione che non elimina il modo.

Regola. Le cancellazioni sono accettabili solo per fattori stabili ($\mathrm{Re}\,\lambda<0$). Le cancellazioni di fattori instabili sono proibite.

Due casi:

• Zero instabile di $G$ cancellato da un polo di $C$: lo zero resta nello schema e $W$ lo conserva (gli zeri di $W$ sono quelli di $CG$ prima di semplificare). Il sistema di controllo avrà un comportamento a fase non minima, che nessun controllore può eliminare.
• Polo instabile di $G$ cancellato da uno zero di $C$: per $G=\frac1{s-1}$ e $C=\frac{s-1}{s+2}$ si ottiene $\tilde G=\frac1{s+2}$ e $W=\frac1{s+3}$, formalmente stabile. Ma basta una piccola variazione di un parametro (il polo in $1{,}01$ invece di $1$) perché il modo $e^{t}$ torni, e il sistema in anello chiuso è instabile.

Funzione di sensitività, robustezza ed effetto sul transitorio

Si chiamano funzione di sensitività $S=\frac1{1+\tilde G}$ e funzione di sensitività complementare $T=\frac{\tilde G}{1+\tilde G}=W$. Vale sempre $S+T=1$. Con un disturbo $d$ che si somma all'uscita ($y=y_{proc}+d$) l'uscita è $$Y=T\,R+S\,D:$$ il disturbo arriva all'uscita moltiplicato per $S$, quindi lo si attenua dove $|\tilde G|\gg1$ ($|S|\approx\frac1{|\tilde G|}$): per questo si vuole un guadagno d'anello alto a bassa frequenza (Reiezione dei disturbi e inseguimento di segnali sinusoidaliCon $W=\frac{CG}{1+CG}$ BIBO stabile, un disturbo costante $d_0$ all'ingresso del processo è reiettato a regime se e solo se $C(s)$ ha un polo in $0$ (integratore prima del punto in cui entra il disturbo); un disturbo all'uscita è reiettato se e solo se $CG$ ha un polo in $0$ (tipo $\ge1$). Un riferimento sinusoidale $A\cos(\omega_0t+\varphi)\delta_{-1}$ è inseguito con errore nullo se e solo se la catena aperta $\tilde G=CG$ ha una coppia di poli immaginari $\pm j\omega_0$ (principio del modello interno).Reiezione dei disturbi e inseguimento di segnali sinusoidali →).

Sensibilità ai parametri. Se il processo varia di $\delta G$, la funzione $T=\frac{CG}{1+CG}$ varia di $\frac{dT}{dG}=\frac C{(1+CG)^2}$, quindi $$\frac{\delta T}T=S\,\frac{\delta G}G.$$ Con $|\tilde G|=100$ si ha $|S|\approx0{,}01$: una variazione del $10\%$ di $G$ cambia $T$ di circa $0{,}1\%$. La retroazione rende il comportamento del sistema poco sensibile alle incertezze del processo, a patto che l'anello abbia guadagno alto.

Effetto sul transitorio. Con controllore proporzionale $C=K$ su $G=\frac1{1+\tau s}$ si ha $W=\frac K{1+K+\tau s}$: il polo passa da $-\frac1\tau$ a $-\frac{1+K}\tau$ (il sistema diventa $1+K$ volte più veloce) e il guadagno in continua da $1$ a $\frac K{1+K}$ (l'errore al gradino $\frac1{1+K}$ si riduce al crescere di $K$). Per $\tau=10$ e $K=9$: costante di tempo $1$ s, guadagno $0{,}9$, errore $0{,}1$. Ma la retroazione può peggiorare lo smorzamento: per $G=\frac1{s(s+1)}$ i poli di $W=\frac K{s^2+s+K}$ hanno $\xi=\frac1{2\sqrt K}$, che scende da $0{,}5$ ($K=1$) a $0{,}25$ ($K=4$): più oscillazioni al crescere del guadagno (Margine di fase, banda e picco di risonanzaPer $G$ strettamente propria, senza poli instabili, con $K_B>0$ e $\omega_A$ ben definita, la banda di $W=\frac G{1+G}$ è molto vicina a $\omega_A$ ($B_p\approx\omega_A$) e il tempo di salita si stima con $t_r\approx\frac{2{,}3}{\omega_A}$. Il margine di fase controlla le oscillazioni: $|W(j\omega_A)|=\frac1{2\sin(m_\varphi/2)}$, che approssima il picco di risonanza; per $\frac{\omega_n^2}{s(s+2\xi\omega_n)}$ si ha $m_\varphi\approx100,\xi$ gradi. Specifiche tipiche: $m_\varphi\ge45^\circ$ per poche oscillazioni, $m_\varphi\approx90^\circ$ per risposta tipo primo ordine.Margine di fase, banda e picco di risonanza →).

Errori comuni

• Dire che i poli di $W$ sono quelli di $\tilde G$: sono gli zeri di $1+\tilde G$.
• Pensare che la retroazione cambi gli zeri: restano quelli di $\tilde G$.
• Calcolare $W$ come $\frac{G}{1+G}$ dimenticando $C$, oppure come $\frac{CG}{C+G}$: la formula è $\frac{CG}{1+CG}$.
• Usare cancellazioni polo-zero instabili per "far tornare" i conti: sono proibite.