Esercizio 11Nyquist con un polo triplo nell'origine (tema d'esame settembre 2025)

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Teoria usata: Forma di Bode e diagrammi di Bode dei termini elementariLa forma di Bode scrive $W(s)=\frac{K_B}{s^h}\frac{\prod(1+T_i's)\prod(1+2\xi_i'\frac s{\omega_{ni}'}+\frac{s^2}{\omega_{ni}'^2})}{\prod(1+T_is)\prod(1+2\xi_i\frac s{\omega_{ni}}+\frac{s^2}{\omega_{ni}^2})}$ con $K_B=\lim_{s\to0}s^hW(s)$. Il diagramma di Bode (modulo in dB e fase, su asse $\omega$ logaritmico) si ottiene sommando i contributi dei termini elementari: costante, $s^{\mp1}$ ($\mp20$ dB/dec, $\mp90^\circ$), binomio ($\pm20$ dB/dec dopo $1/|T|$, fase $\pm90^\circ$, opposta se instabile), trinomio ($\pm40$ dB/dec dopo $\omega_n$, fase $\pm180^\circ$, picco $20\log2\xi$).Forma di Bode e diagrammi di Bode dei termini elementari →, Diagrammi di Nyquist - tracciamento, asintoti e intersezioniIl diagramma di Nyquist di $G(s)$ è la curva ${G(j\omega):\omega\in\mathbb R}$ nel piano complesso, percorsa per $\omega$ crescente; per $\omega<0$ è il simmetrico rispetto all'asse reale di quella per $\omega>0$. Si traccia combinando modulo e fase di Bode: per $\omega\to0^+$ parte da $K_B$ (se $h=0$) o da infinito con angolo $\arg K_B-90^\circ h$ (asintoto verticale $\mathrm{Re}=K_B(\sum T_i'-\sum T_i)$ per $h=1$), per $\omega\to\infty$ arriva nell'origine con angolo $-90^\circ(n-m)$. Le intersezioni con gli assi si trovano da $\mathrm{Im},G(j\omega)=0$ e $\mathrm{Re},G(j\omega)=0$.Diagrammi di Nyquist - tracciamento, asintoti e intersezioni →, Criterio di Nyquist - poli sull'asse immaginario e guadagno variabileSe $G$ ha poli sull'asse immaginario il diagramma va all'infinito e si chiude al finito con archi di raggio infinito percorsi in senso orario: un polo di molteplicità $\mu$ in $j\omega_0$ ($\omega_0\ge0$) aggiunge un arco di ampiezza $\mu\pi$ tra $G(j(\omega_0-\epsilon))$ e $G(j(\omega_0+\epsilon))$ (per $\omega_0=0$ gli estremi sono i rami $\omega\to0^\mp$). Poi vale ancora $N=n_{G+}-n_{W+}$, con $n_{G+}$ che non conta i poli immaginari. Per $W=\frac{KG}{1+KG}$, $K\in\mathbb R\setminus{0}$, il punto critico è $-\frac1K$: si conta $N$ in ciascun intervallo dell'asse reale tra le intersezioni del diagramma; quando $-\frac1K$ è sul diagramma $W$ ha poli immaginari (caso critico).Criterio di Nyquist - poli sull'asse immaginario e guadagno variabile →, Criterio di Routh-HurwitzIl criterio di Routh stabilisce se un polinomio $P(s)=p_ns^n+\dots+p_0$ è di Hurwitz senza calcolarne le radici. Si costruisce la tabella (righe $n,n-1,\dots,0$) con $\text{nuovo}=\frac{\text{pivot}\cdot a-\text{prec.}\cdot b}{\text{pivot}}$; se la tabella va a compimento, il numero di variazioni di segno nella prima colonna è il numero di radici con $\mathrm{Re}>0$, le permanenze il numero con $\mathrm{Re}<0$. Elemento nullo in prima colonna: $P$ non è Hurwitz; riga nulla: radici simmetriche (spesso immaginarie) date dal polinomio ausiliario. Con parametro $K$ nei coefficienti dà gli intervalli di stabilità.Criterio di Routh-Hurwitz →.

(i) Diagrammi di Bode

Forma di Bode. $s+0{,}1=0{,}1\,(1+10s)$ e $s^2+2s+100=100\left(1+0{,}02s+\frac{s^2}{100}\right)$. Quindi $$G(s)=\frac{10\,(1+10s)\left(1+0{,}02s+\frac{s^2}{100}\right)}{s^3},\qquad K_B=\lim_{s\to0}s^3G(s)=0{,}1\cdot100=10,\quad h=3.$$ Termini: polo triplo nell'origine; zero reale in $0{,}1$ ($\omega=\frac1{10}$); coppia di zeri complessi con $\omega_n=10$ e $\xi=0{,}1$ (antirisonanza).

Modulo asintotico. Parte con $-60$ dB/dec passando per $20\log10=20$ dB in $\omega=1$ (quindi $80$ dB in $\omega=0{,}1$). In $\omega=0{,}1$ lo zero porta la pendenza a $-40$ dB/dec: dal punto ($0{,}1$; $80$ dB) la retta scende di $40\cdot2=80$ dB in due decadi e arriva a $0$ dB in $\omega=10$. In $\omega=10$ la coppia di zeri dà $+40$ dB/dec e il modulo diventa piatto a $0$ dB ($G(\infty)=1$). Il modulo reale ha una antirisonanza in $\omega=10$: $20\log(2\xi)=-14$ dB; esatto: $|G(10j)|=0{,}2$ ($-14$ dB).

Fase. Parte da $-270^\circ$ (tre poli nell'origine). Lo zero in $0{,}1$ aggiunge $+90^\circ$ (da $0{,}01$ a $1$): la fase sale a $-180^\circ$. La coppia di zeri complessi aggiunge $+180^\circ$ (brusca perché $\xi$ è piccolo) attorno a $\omega=10$: fase finale $0^\circ$ (coerente con $G(\infty)=1>0$).

(ii) Diagramma di Nyquist

Per $\omega>0$: $G(j\omega)=\dfrac{(0{,}1+j\omega)\left(100-\omega^2+2j\omega\right)}{(j\omega)^3}=\dfrac{(0{,}1+j\omega)\left(100-\omega^2+2j\omega\right)}{-j\omega^3}$. Sviluppando il numeratore: $(0{,}1+j\omega)(100-\omega^2+2j\omega)=(10-0{,}1\omega^2-2\omega^2)+j(0{,}2\omega+100\omega-\omega^3)=(10-2{,}1\omega^2)+j\omega(100{,}2-\omega^2)$. Dividendo per $-j\omega^3$ (cioè moltiplicando per $\frac j{\omega^3}$): $$\mathrm{Re}\,G(j\omega)=\frac{\omega^2-100{,}2}{\omega^2}=1-\frac{100{,}2}{\omega^2},\qquad\mathrm{Im}\,G(j\omega)=\frac{10-2{,}1\omega^2}{\omega^3}.$$

Estremi.

• $\omega\to0^+$: $\mathrm{Re}\to-\infty$ come $-\frac{100{,}2}{\omega^2}$ e $\mathrm{Im}\to+\infty$ come $\frac{10}{\omega^3}$, più rapidamente: il diagramma parte da infinito con direzione $+90^\circ$ (verticalmente, dall'alto, nel secondo quadrante) e non ha asintoto ($h=3$).
• $\omega\to+\infty$: $\mathrm{Re}\to1$, $\mathrm{Im}\approx-\frac{2{,}1}\omega\to0^-$: termina in $(1,0)$ da sotto.

Intersezioni.

• Asse reale ($\mathrm{Im}=0$): $\omega^2=\frac{10}{2{,}1}=4{,}762$, $\omega=2{,}182$ rad/s; in tal punto $\mathrm{Re}=1-\frac{100{,}2}{4{,}762}=-20{,}04$. Taglia il semiasse reale negativo in $-20{,}04$.
• Asse immaginario ($\mathrm{Re}=0$): $\omega^2=100{,}2$, $\omega=10{,}01$; $\mathrm{Im}=\frac{10-2{,}1\cdot100{,}2}{10{,}01^3}=-0{,}200$. Taglia il semiasse immaginario negativo in $-0{,}2j$.

Tracciato ($\omega\ge0$): parte dall'alto (secondo quadrante, $\mathrm{Re}<0$, $\mathrm{Im}>0$), taglia l'asse reale negativo in $-20{,}04$ (per $\omega=2{,}18$) passando al terzo quadrante, taglia l'asse immaginario negativo in $-0{,}2j$ (per $\omega=10{,}01$) e arriva nel quarto quadrante al punto $(1,0)$. Il tratto per $\omega<0$ è il simmetrico.

(iii) Stabilità di $W=\dfrac{KG}{1+KG}$

Dati. $n_{G+}=0$ (l'unico polo è $0$, triplo) quindi $n_{W+}=-N$. Chiusura: il polo nell'origine ha molteplicità $\mu=3$: si aggiunge un arco orario di raggio infinito di ampiezza $3\pi$ (un giro e mezzo) tra il ramo $\omega\to0^-$ (in $\mathrm{Im}\to-\infty$, direzione $-90^\circ$) e il ramo $\omega\to0^+$ (direzione $+90^\circ$). L'arco parte dall'angolo $-90^\circ$ e ruota in senso orario di $540^\circ$: passa per $180^\circ$, $90^\circ$, $0^\circ$, $-90^\circ$, $180^\circ$ e finisce in $90^\circ$. Attraversa quindi il semiasse reale positivo all'infinito una volta (verso il basso).

Attraversamenti dell'asse reale (semiretta a destra di $p=-\frac1K$):

• $x=-20{,}04$ (per $\omega=\pm2{,}18$): due volte, verso il basso ($-1$ ciascuna);
• $x=1$ (giunzione tra $\omega\to+\infty$, che arriva da sotto, e $\omega\to-\infty$, che riparte da sopra): verso l'alto ($+1$);
• arco di chiusura, in $+\infty$: verso il basso ($-1$).

Per $K=-1$ ($p=1=G(\infty)$) $W$ è impropria; per $K=\frac1{20{,}04}\approx\frac1{20}$ il diagramma passa per il punto critico e $W$ ha due poli immaginari ($\pm j2{,}18$). Conclusione: $W$ è BIBO stabile se e solo se $$K<-1\qquad\text{oppure}\qquad K>\frac1{20{,}04}\approx0{,}05.$$

Verifica con Routh

$d+Kn=s^3+K(s^3+2{,}1s^2+100{,}2s+10)=(1+K)s^3+2{,}1K\,s^2+100{,}2K\,s+10K$ (il prodotto $(s+0{,}1)(s^2+2s+100)=s^3+2{,}1s^2+100{,}2s+10$). Per $K>0$ i coefficienti sono positivi e la condizione del terzo grado $p_2p_1>p_3p_0$ dà $2{,}1K\cdot100{,}2K>(1+K)\cdot10K\iff210{,}42K>10(1+K)\iff K>\frac{10}{200{,}42}=0{,}0499$ ✓. Per $K<-1$ si cambia segno al polinomio (tutti i coefficienti diventano positivi) e la stessa condizione diventa $K<0{,}0499$, vera ✓. Per $-1<K<0$ il coefficiente $2{,}1K$ è negativo: instabile (e, per $0<K<0{,}0499$, la tabella dà due variazioni, cioè due poli instabili) ✓. Nel limite $K=0{,}0499$ i poli sono $\pm j2{,}18$ e un reale negativo. Controllo numerico: $K=-10$ e $-1{,}0$: nessun polo instabile; $K=-0{,}5,\ -0{,}05$: uno; $K=0{,}01$: due; $K=0{,}5,\ 5$: nessuno.

Errori comuni

• Usare per il polo triplo una semicirconferenza di ampiezza $\pi$: serve $3\pi$ (un giro e mezzo, perché $\mu=3$).
• Cercare un asintoto per $\omega\to0^+$: per $h=3$ il diagramma va a infinito senza asintoto (parte reale $\sim\omega^{-2}$, parte immaginaria $\sim\omega^{-3}$).
• Dimenticare che $G(\infty)=1$ (grado relativo $0$): il diagramma termina in $(1,0)$ e $K=-1$ rende $W$ impropria.
• Arrotondare $\frac1{20}$ come valore esatto: con $100{,}2$ il limite è $0{,}0499$ (il testo ufficiale riporta $\frac1{20}$ come valore approssimato).
• Contare nei $n_{G+}$ il polo triplo nell'origine.