Esercizio 2valore del parametro a e ampiezza della risposta di regime a un seno (tema d'esame febbraio 2023)

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Teoria usata: Risposta di regime permanente e risposta transitoriaCon ingresso $u=e^{j\tilde\omega t}\delta_{-1}(t)$ e $\tilde\omega$ non polo di $W$, l'uscita è $y=y_{rp}+y_{tr}$ con $y_{rp}(t)=W(j\tilde\omega)e^{j\tilde\omega t}$ (regime permanente) e $y_{tr}$ combinazione dei modi di $a(s)$ (transitorio, a condizioni iniziali nulle solo dei poli di $W$). Per $u=A\cos(\tilde\omega t+\varphi)$: $y_{rp}=A|W(j\tilde\omega)|\cos(\tilde\omega t+\varphi+\arg W(j\tilde\omega))$. Se il sistema è stabile il transitorio si spegne.Risposta di regime permanente e risposta transitoria →, Stabilità asintotica e BIBO dei modelli I-OIl modello è asintoticamente stabile se la libera tende a zero per ogni stato iniziale: tutte le radici di $a(s)$ hanno $\mathrm{Re}<0$ ($a(s)$ di Hurwitz). È BIBO stabile se a ogni ingresso limitato corrisponde un'uscita forzata limitata: equivale a $\int_0^\infty|w|<\infty$, cioè a poli di $W(s)$ (ridotta) tutti in $\mathrm{Re}<0$. Asintotica $\Rightarrow$ BIBO, non viceversa (cancellazioni polo-zero instabili). Poli immaginari semplici: non BIBO (risonanza).Stabilità asintotica e BIBO dei modelli I-O →.

(1) Che cosa chiede la risposta di regime

Per un sistema BIBO stabile e un ingresso $\sin(\tilde\omega t)\delta_{-1}$ con $\tilde\omega=1$, il regime è $y_{rp}=|W(j)|\sin(t+\arg W(j))$. L'uscita richiesta $A\sin(t-\frac\pi4)$ ha perciò $$A=|W(j)|,\qquad\arg W(j)=-\frac\pi4\ \ (\text{modulo }2\pi).$$ Il valore di $A$ non è assegnato: si impone solo la fase.

(2) La fase di $W(j)$

Si calcola $W(j)=\dfrac{1+j}{(j)^2+3j+a}=\dfrac{1+j}{(a-1)+3j}$. La fase del numeratore è $\arg(1+j)=\frac\pi4$. La fase del quoziente è $\arg W(j)=\frac\pi4-\arg\big[(a-1)+3j\big]$. Si vuole $=-\frac\pi4$, quindi $$\arg\big[(a-1)+3j\big]=\frac\pi2.$$ Un numero complesso con parte immaginaria $3>0$ ha fase $\frac\pi2$ se e solo se la parte reale è nulla: $a-1=0$, cioè $a=1$. È l'unico valore possibile (per qualsiasi altro $a$ la fase del denominatore è diversa da $\frac\pi2$).

(3) Stabilità e ampiezza

Per $a=1$ il denominatore è $s^2+3s+1$, con coefficienti tutti positivi (grado 2): Hurwitz. Radici $\frac{-3\pm\sqrt5}2=-0{,}382,\ -2{,}618$ (nessuna cancellazione con lo zero in $-1$). Il sistema è BIBO stabile ✓.

Con $a=1$: $W(j)=\dfrac{1+j}{3j}=\dfrac{(1+j)(-j)}3=\dfrac{1-j}3$, quindi $$A=|W(j)|=\frac{\sqrt2}3\approx0{,}471,\qquad\arg W(j)=-\frac\pi4\ \checkmark.$$ Il regime è $y_{rp}(t)=\frac{\sqrt2}3\sin\left(t-\frac\pi4\right)$ (verificato numericamente: modulo $0{,}4714$, fase $-45^\circ$).

Errori comuni

• Imporre il modulo invece della fase: $A$ è incognito.
• Dimenticare la condizione di stabilità BIBO (per $a=1$ vale, ma va controllata: per esempio $a<0$ darebbe una radice positiva).
• Sbagliare la fase di un quoziente: $\arg\frac{N}{D}=\arg N-\arg D$, non $\arg N+\arg D$.
• Cercare una soluzione con $a-1\ne0$ imponendo solo la tangente della fase e perdere il caso in cui il denominatore è immaginario puro (qui è l'unico).