FormularioPropagazione Guidata e Dispositivi: definizioni, teoremi e formule delle note, in ordine di capitolo

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1. Linee di trasmissione in regime sinusoidale

Linee di trasmissione - modello, equazioni del telegrafo e costante di propagazione

Formula (equazioni del telegrafo nel dominio del tempo). Si dividono le due equazioni per $\Delta z$ e si fa tendere $\Delta z\to0$ : i rapporti $\frac{v(z+\Delta z)-v(z)}{\Delta z}$ diventano derivate rispetto a $z$ e si ottengono le equazioni del telegrafo

$\frac{\partial v(z,t)}{\partial z}=-R\,i(z,t)-L\frac{\partial i(z,t)}{\partial t},\qquad\frac{\partial i(z,t)}{\partial z}=-G\,v(z,t)-C\frac{\partial v(z,t)}{\partial t}.$

Esempio. In una linea ideale ( $R = G = 0$ ) con $L = 250\ \mathrm{nH/m}$ e $\partial i/\partial t = 2\ \mathrm{A/\mu s}$ : $\partial v/\partial z = -L\,\partial i/\partial t = -250 \cdot 10^{-9} \cdot 2 \cdot 10^{6} = -0{,}5\ \mathrm{V/m}$ .

Formula (equazioni del telegrafo in regime sinusoidale). Per scrivere più in breve si definiscono l'impedenza per unità di lunghezza $Z=R+j\omega L$ e l'ammettenza per unità di lunghezza $Y=G+j\omega C$ . Le due equazioni diventano

$\frac{dV}{dz}=-Z\,I,\qquad\frac{dI}{dz}=-Y\,V.$

Esempio. A $100\ \mathrm{MHz}$ con $R = 0{,}5\ \Omega/\mathrm m$ e $L = 250\ \mathrm{nH/m}$ : $Z = R + j\omega L = 0{,}5 + j157\ \Omega/\mathrm m$ .

Definizione (costante di propagazione). e analogamente per la corrente: $\frac{d^2I}{dz^2}-\gamma^2I=0$ . Queste sono le equazioni d'onda per tensione e corrente. La quantità

$\boxed{\gamma=\sqrt{(R+j\omega L)(G+j\omega C)}=\alpha+j\beta}$

si chiama costante di propagazione: la parte reale $\alpha$ (Np/m) è l'attenuazione, la parte immaginaria $\beta$ (rad/m) è la costante di fase.

Esempio. Con $R = 0{,}5\ \Omega/\mathrm m$ , $L = 250\ \mathrm{nH/m}$ , $G = 100\ \mu\mathrm{S/m}$ e $C = 100\ \mathrm{pF/m}$ a $100\ \mathrm{MHz}$ : $\gamma = \alpha + j\beta = 0{,}0075 + j3{,}1416\ \mathrm m^{-1}$ .

Formula (tensione e corrente come somma di onda progressiva e regressiva). L'equazione $V''=\gamma^2V$ ha come soluzione generale

$V(z)=V^+e^{-\gamma z}+V^-e^{+\gamma z},$

con $V^+$ e $V^-$ costanti complesse (ampiezza e fase). Sostituendo nella prima equazione del telegrafo si trova la corrente:

$I(z)=-\frac1Z\frac{dV}{dz}=\frac{\gamma}{Z}\left(V^+e^{-\gamma z}-V^-e^{+\gamma z}\right)=\frac{V^+e^{-\gamma z}-V^-e^{+\gamma z}}{Z_0}.$

Esempio. Con $V^+ = 6\ \mathrm V$ , $V^- = 2\ \mathrm V$ e $Z_0 = 50\ \Omega$ in $z = 0$ (linea ideale): $V(0) = 8\ \mathrm V$ e $I(0) = (6 - 2)/50 = 80\ \mathrm{mA}$ .

Definizione (impedenza caratteristica). Il fattore che lega tensione e corrente di ciascuna onda è l'impedenza caratteristica

$\boxed{Z_0=\frac{Z}{\gamma}=\sqrt{\frac{R+j\omega L}{G+j\omega C}}}$

Esempio. Con $L = 250\ \mathrm{nH/m}$ e $C = 100\ \mathrm{pF/m}$ (linea ideale): $Z_0 = \sqrt{L/C} = \sqrt{2500} = 50\ \Omega$ .

Definizione (velocità di fase dell'onda progressiva). Significato fisico. Nel dominio del tempo il primo termine vale $|V^+|e^{-\alpha z}\cos(\omega t-\beta z+\varphi^+)$ : è un'onda che avanza verso $z$ crescenti (onda progressiva o incidente) e la cui ampiezza diminuisce come $e^{-\alpha z}$ . Per vederlo si segue un punto a fase costante: da $\omega t_1-\beta z_1=\omega t_2-\beta z_2$ segue $\beta(z_2-z_1)=\omega(t_2-t_1)$ , cioè se $t_2>t_1$ allora $z_2>z_1$ : il punto si sposta verso $+z$ con velocità

$v_p=\frac{\omega}{\beta}$

Esempio. A $100\ \mathrm{MHz}$ con $\beta = 3{,}1416\ \mathrm{rad/m}$ : $v_p = \omega/\beta = 6{,}283 \cdot 10^{8}/3{,}1416 = 2 \cdot 10^{8}\ \mathrm{m/s}$ e $\lambda = 2\pi/\beta = 2\ \mathrm m$ .

Formula (linea senza perdite). Se $R=0$ e $G=0$ (linea ideale), le formule si semplificano molto:

$\gamma=j\omega\sqrt{LC}=j\beta,\quad\alpha=0,\quad\beta=\omega\sqrt{LC},\quad Z_0=\sqrt{\frac LC}\ \text{(reale)},\quad v_p=\frac1{\sqrt{LC}}.$

Esempio. Una linea riempita di polietilene ( $\varepsilon_r = 2{,}25$ ) ha $v_p = c_0/\sqrt{\varepsilon_r} = 3 \cdot 10^{8}/1{,}5 = 2 \cdot 10^{8}\ \mathrm{m/s}$ .

Linee senza perdite - impedenza, coefficiente di riflessione e periodicità

Formula (tensione e corrente a distanza l dal carico). Ponendo $z=-l$ nelle soluzioni generali:

$V(-l)=V^+e^{j\beta l}+V^-e^{-j\beta l},\qquad I(-l)=\frac{V^+e^{j\beta l}-V^-e^{-j\beta l}}{Z_0}.$

Esempio. Con $V^+ = 6\ \mathrm V$ , $V^- = 2\ \mathrm V$ e $Z_0 = 50\ \Omega$ , sul carico ( $l = 0$ ): $V_L = 8\ \mathrm V$ e $I_L = (6 - 2)/50 = 80\ \mathrm{mA}$ .

Definizione (coefficiente di riflessione sul carico). Si definisce coefficiente di riflessione sul carico

$\boxed{\Gamma_L=\frac{V^-}{V^+}=\frac{Z_L-Z_0}{Z_L+Z_0}=|\Gamma_L|e^{j\varphi_L}}$

È un numero complesso con $|\Gamma_L|\le1$ per un carico passivo. Dice quanto dell'onda incidente viene riflesso e con quale sfasamento. L'inversa è $Z_L=Z_0\dfrac{1+\Gamma_L}{1-\Gamma_L}$ .

Esempio. Con $Z_0 = 50\ \Omega$ e $Z_L = 100\ \Omega$ : $\Gamma_L = \frac{100 - 50}{100 + 50} = \frac{1}{3}$ .

Formula (coefficiente di riflessione a distanza l dal carico). Lungo la linea il rapporto fra onda riflessa e incidente in un punto è

$\Gamma(-l)=\frac{V^-e^{-j\beta l}}{V^+e^{j\beta l}}=\Gamma_Le^{-j2\beta l}=|\Gamma_L|\,e^{j(\varphi_L-2\beta l)}.$

Il modulo non cambia (in una linea senza perdite l'onda riflessa mantiene il suo rapporto di ampiezza con l'incidente); cambia solo la fase, che diminuisce di $2\beta l$ : andando dal carico verso il generatore il coefficiente di riflessione ruota in senso orario. Per ogni $\lambda/2$ ( $2\beta l=2\pi$ ) fa un giro completo.

Esempio. Con $\Gamma_L = 0{,}7625\,e^{-j60{,}8^\circ}$ e $l = \lambda/8$ si ha $2\beta l = 90^\circ$ , quindi $\Gamma(-l) = 0{,}7625\,e^{-j150{,}8^\circ}$ , con lo stesso modulo.

Formula (impedenza lungo la linea). Con $V(-l)=V^+e^{j\beta l}\left[1+\Gamma(-l)\right]$ e $I(-l)=\dfrac{V^+}{Z_0}e^{j\beta l}\left[1-\Gamma(-l)\right]$ l'impedenza nel punto $-l$ è

$\boxed{Z(-l)=\frac{V(-l)}{I(-l)}=Z_0\,\frac{1+\Gamma(-l)}{1-\Gamma(-l)}}$

che, sostituendo $\Gamma(-l)=\Gamma_Le^{-j2\beta l}$ e $\Gamma_L$ in funzione di $Z_L$ , diventa

$Z(-l)=Z_0\frac{Z_L+jZ_0\tan\beta l}{Z_0+jZ_L\tan\beta l}.$

Esempio. Con $Z_0 = 50\ \Omega$ e $\Gamma(-l) = 1/3$ : $Z = 50\,\frac{1 + 1/3}{1 - 1/3} = 100\ \Omega$ .

Definizione (impedenza e ammettenza normalizzate). È comodo dividere ogni impedenza per $Z_0$ : l'impedenza normalizzata è $z=Z/Z_0$ (numero puro) e l'ammettenza normalizzata è $y=1/z=Y/Y_0$ . Le formule diventano

$z(-l)=\frac{1+\Gamma(-l)}{1-\Gamma(-l)},\qquad\Gamma=\frac{z-1}{z+1},\qquad y=\frac{1-\Gamma}{1+\Gamma},\qquad z(-l)=\frac{z_L+j\tan\beta l}{1+jz_L\tan\beta l}.$

Esempio. Con $Z_0 = 50\ \Omega$ e $Z = 100 + j50\ \Omega$ : $z = 2 + j$ e $\Gamma = \frac{z - 1}{z + 1} = \frac{1 + j}{3 + j} = 0{,}4 + 0{,}2j = 0{,}447\,e^{j26{,}6^\circ}$ .

Proprietà (periodicità lungo la linea senza perdite).

Tensione e corrente hanno periodo spaziale $\lambda$ : $\beta\lambda=2\pi$ .

Impedenza e coefficiente di riflessione hanno periodo $\lambda/2$ . Infatti $\Gamma(-l\mp\lambda/2)=\Gamma_Le^{-j2\beta l}e^{\pm j2\pi}=\Gamma(-l)$ , e anche $\tan(\beta l+\pi)=\tan\beta l$ .

Il motivo della differenza: dopo mezza lunghezza d'onda $V$ e $I$ cambiano segno, $V(z+\lambda/2)=V^+e^{-j\beta z}e^{-j\pi}+V^-e^{j\beta z}e^{j\pi}=-V(z)$ , e così $I(z+\lambda/2)=-I(z)$ . Il rapporto $Z=V/I$ resta uguale.

Esempio. A $f = 100\ \mathrm{MHz}$ in aria ( $\lambda = 3\ \mathrm m$ ): $V$ e $I$ si ripetono ogni $3\ \mathrm m$ , $\Gamma$ e $Z$ ogni $1{,}5\ \mathrm m$ .

Proprietà (trasformazione dell'impedenza su un quarto d'onda). Trasformatore a quarto d'onda. Spostandosi di $\lambda/4$ ( $\beta l=\pi/2$ , $\tan\beta l\to\infty$ ) si ha $z(-l-\lambda/4)=\dfrac{1}{z(-l)}$ : l'impedenza normalizzata si trasforma nella sua inversa, cioè nell'ammettenza normalizzata ( $\Gamma$ cambia segno, ruota di $180^\circ$ ). Per questo una linea lunga $\lambda/4$ è detta trasformatore: per esempio, se la linea ha $Z_0=50\ \Omega$ e il carico è $Z_L=100\ \Omega$ ( $z_L=2$ ), dopo $\lambda/4$ si vede $z=1/2$ , cioè $25\ \Omega$ (vedi Adattatore a quarto d'onda).

Esempio. Con $z_L = 2 + j$ : dopo $\lambda/4$ si ha $z = 1/(2 + j) = 0{,}4 - 0{,}2j$ .

Proprietà (coefficiente di riflessione dei carichi notevoli).

carico $z_L$ $\Gamma_L$ $V_L$ in funzione di $V^+$

adattato $Z_L=Z_0$ $1$ $0$ $V^+$ (niente onda riflessa)

corto circuito $Z_L=0$ $0$ $-1$ $0$

circuito aperto $Z_L\to\infty$ $\infty$ $+1$ $2V^+$

resistenza $R>Z_0$ reale $>1$ reale $>0$ $V_L>V^+$

resistenza $R<Z_0$ reale $<1$ reale $<0$ $V_L<V^+$

reattanza pura $jX$ $jx$ $\lvert\Gamma\rvert=1$ nessuna potenza assorbita

carico	$z_L$	$\Gamma_L$	$V_L$ in funzione di $V^+$
adattato $Z_L=Z_0$	$1$	$0$	$V^+$ (niente onda riflessa)
corto circuito $Z_L=0$	$0$	$-1$	$0$
circuito aperto $Z_L\to\infty$	$\infty$	$+1$	$2V^+$
resistenza $R>Z_0$	reale $>1$	reale $>0$	$V_L>V^+$
resistenza $R<Z_0$	reale $<1$	reale $<0$	$V_L<V^+$
reattanza pura $jX$	$jx$	$\lvert\Gamma\rvert=1$	nessuna potenza assorbita

Esempio. Su una linea da $50\ \Omega$ : corto circuito $\Gamma = -1$ (tensione nulla sul carico), circuito aperto $\Gamma = +1$ ( $V_L = 2V^+$ ), carico da $50\ \Omega$ adattato ( $\Gamma = 0$ ).

Onda progressiva, stazionaria e parzialmente stazionaria - massimi, minimi e ROS

Formula (posizione e valore dei massimi e dei minimi di tensione). Il modulo di tensione è massimo quando il vettore ruotato è parallelo a $+1$ :

$\varphi_L-2\beta l_M=2k\pi\ \Rightarrow\ l_M=\frac{\lambda}{4\pi}\left(\varphi_L-2k\pi\right)=\lambda\left(\frac{\varphi_L}{4\pi}-\frac k2\right),\quad l_M>0,\ k\in\mathbb Z,$

e vale $|V|_{max}=|V^+|(1+|\Gamma_L|)$ ; negli stessi punti la corrente ha il minimo $|I|_{min}=\dfrac{|V^+|}{Z_0}(1-|\Gamma_L|)$ . Il modulo è minimo quando il vettore è parallelo a $-1$ :

$\varphi_L-2\beta l_m=(2k+1)\pi\ \Rightarrow\ l_m=\lambda\left(\frac{\varphi_L}{4\pi}-\frac{2k+1}{4}\right),\quad l_m>0,$

con $|V|_{min}=|V^+|(1-|\Gamma_L|)$ e $|I|_{max}=\dfrac{|V^+|}{Z_0}(1+|\Gamma_L|)$ . Si prende l'intero $k$ in modo che la distanza sia positiva (si cerca il primo punto a partire dal carico verso il generatore). Due massimi consecutivi distano $\lambda/2$ , e un massimo e il minimo adiacente $\lambda/4$ .

Esempio. Con $\varphi_L = 30^\circ$ e $|\Gamma_L| = 0{,}3$ : il primo massimo di tensione è a $l_M = \lambda\,\varphi_L/(4\pi) = 0{,}0417\,\lambda$ dal carico ( $|V|_{max} = 1{,}3|V^+|$ ) e il primo minimo a $0{,}0417\lambda + 0{,}25\lambda = 0{,}292\lambda$ ( $|V|_{min} = 0{,}7|V^+|$ ).

Definizione (rapporto d'onda stazionario). Il rapporto d'onda stazionaria è definito come

$\boxed{S=\frac{|V|_{max}}{|V|_{min}}=\frac{|I|_{max}}{|I|_{min}}=\frac{1+|\Gamma_L|}{1-|\Gamma_L|}},\qquad|\Gamma_L|=\frac{S-1}{S+1}.$

È un numero reale con $1\le S\le\infty$ : $S=1$ per la linea adattata, $S=\infty$ per riflessione totale. Il valore di $S$ è lo stesso in tutta la linea (dipende solo da $|\Gamma|$ che è costante) e può essere misurato con uno strumento, senza conoscere il carico: è il modo più diretto per conoscere $|\Gamma|$ (vedi Problemi inversi - dai massimi e minimi al carico).

Esempio. Con $|\Gamma_L| = 0{,}3$ : $S = \frac{1 + 0{,}3}{1 - 0{,}3} \approx 1{,}86$ . Viceversa, da $S = 3$ si ha $|\Gamma_L| = \frac{3 - 1}{3 + 1} = 0{,}5$ .

Proprietà (impedenza reale nei massimi e nei minimi di tensione). Impedenza nei massimi e nei minimi. Nei punti di massimo o di minimo $\Gamma(-l)$ è reale, quindi l'impedenza è reale:

nel massimo di tensione (minimo di corrente) $\Gamma(-l)=+|\Gamma|$ , quindi $Z=Z_0\dfrac{1+|\Gamma|}{1-|\Gamma|}=S\,Z_0>Z_0$ ;

nel minimo di tensione (massimo di corrente) $\Gamma(-l)=-|\Gamma|$ , quindi $Z=\dfrac{Z_0}{S}<Z_0$ .

Esempio. Con $Z_0 = 50\ \Omega$ e $S = 2$ : nel massimo di tensione $Z = S\,Z_0 = 100\ \Omega$ , nel minimo $Z = Z_0/S = 25\ \Omega$ .

Potenza sulla linea e legame con il generatore

Formula (potenza attiva sulla linea senza perdite). La parte reale è la potenza attiva (media):

$\boxed{P_A=\frac12\frac{|V^+|^2}{Z_0}\left(1-|\Gamma_L|^2\right)=\underbrace{\frac12\frac{|V^+|^2}{Z_0}}_{P_{inc}}-\underbrace{\frac12\frac{|V^-|^2}{Z_0}}_{P_{rifl}}}$

Esempio. Con $|V^+| = 5\ \mathrm V$ , $Z_0 = 50\ \Omega$ e $|\Gamma_L| = 0{,}5$ : $P_A = \frac12 \cdot \frac{25}{50}\,(1 - 0{,}25) = 0{,}1875\ \mathrm W$ .

Formula (tensioni e correnti massime e minime in funzione di potenza e ROS).

Nei massimi di tensione l'impedenza è $SZ_0$ e $P_A=\dfrac{|V|_{max}^2}{2SZ_0}$ ; nei minimi l'impedenza è $Z_0/S$ e $P_A=\dfrac{|V|_{min}^2S}{2Z_0}$ . Perciò

$|V|_{max}=\sqrt{2P_AZ_0S},\quad|V|_{min}=\sqrt{\frac{2P_AZ_0}{S}},\quad|I|_{max}=\sqrt{\frac{2P_AS}{Z_0}},\quad|I|_{min}=\sqrt{\frac{2P_A}{SZ_0}}.$

Esempio. Con $P_A = 125\ \mathrm{mW}$ , $Z_0 = 50\ \Omega$ e $S = 2$ : $|V|_{max} = \sqrt{2 \cdot 0{,}125 \cdot 50 \cdot 2} = 5\ \mathrm V$ e $|V|_{min} = \sqrt{2 \cdot 0{,}125 \cdot 50/2} = 2{,}5\ \mathrm V$ .

Formula (frazione di potenza che arriva al carico). Quanta potenza passa. La frazione di potenza incidente che arriva al carico è $\dfrac{P_A}{P_{inc}}=1-|\Gamma|^2=\dfrac{4S}{(1+S)^2}$ .

Esempio. Con $S = 3$ : $|\Gamma|^2 = 0{,}25$ e al carico arriva il $75\%$ della potenza incidente ( $4S/(1 + S)^2 = 12/16 = 0{,}75$ ).

Grafico interattivo: Frazione di potenza incidente assorbita dal carico, 1−|Γ|² = 4S/(1+S)², in funzione del rapporto d'onda stazionario S

Formula (onda progressiva in funzione del generatore). D'altra parte $V(-L)=V^+e^{j\beta L}(1+\Gamma(-L))$ . Uguagliando le due espressioni (il fattore $1+\Gamma(-L)$ si semplifica):

$\boxed{V^+=V_g\,e^{-j\beta L}\,\frac{Z_0}{Z_g\left(1-\Gamma(-L)\right)+Z_0\left(1+\Gamma(-L)\right)}}$

Esempio. Con $Z_g = 100\ \Omega$ , $Z_0 = 50\ \Omega$ , carico adattato ( $\Gamma(-L) = 0$ ) e $L = \lambda$ : $V^+ = V_g\,e^{-j2\pi}\,\frac{50}{100 + 50} = V_g/3$ .

Formula (generatore adattato alla linea). Generatore adattato alla linea ( $Z_g=Z_0$ ). Il denominatore diventa $Z_0\left[(1-\Gamma)+(1+\Gamma)\right]=2Z_0$ e la dipendenza dal carico sparisce:

$V^+=\frac{V_g}{2}e^{-j\beta L},\qquad|V^+|=\frac{|V_g|}{2}.$

Esempio. Con $V_g = 10\ \mathrm V$ e $Z_g = Z_0$ : $|V^+| = |V_g|/2 = 5\ \mathrm V$ , qualunque sia il carico.

Formula (potenza con generatore adattato e potenza disponibile). Non ci sono riflessioni multiple: l'onda riflessa dal carico arriva al generatore e vi viene assorbita da $Z_g$ . La potenza attiva disponibile in linea è

$P_A=\frac12\frac{|V_g|^2}{4Z_0}\left(1-|\Gamma_L|^2\right)=\frac{|V_g|^2}{8Z_0}\left(1-|\Gamma_L|^2\right),$

e con il carico adattato ( $\Gamma_L=0$ ) raggiunge il massimo $\dfrac{|V_g|^2}{8Z_0}$ , detto potenza disponibile del generatore. Dopo aver inserito un adattatore senza perdite la potenza che arriva al carico aumenta fino a questo valore: l'aumento è dovuto solo al fatto che la potenza riflessa è diventata nulla (Adattatore a quarto d'onda e Stub e adattatore a singolo stub).

Esempio. Con $V_g = 10\ \mathrm V$ , $Z_0 = 50\ \Omega$ e $|\Gamma_L| = 0{,}5$ : $P_A = \frac{100}{400}\,(1 - 0{,}25) = 187{,}5\ \mathrm{mW}$ ; con il carico adattato la potenza disponibile è $250\ \mathrm{mW}$ .

Carta di Smith - costruzione e uso

Formula (parti reale e immaginaria dell'impedenza normalizzata in funzione di Γ). Si scrive $\Gamma=u+jv$ e $z=r+jx=\dfrac{1+\Gamma}{1-\Gamma}=\dfrac{1+u+jv}{1-u-jv}$ . Razionalizzando (moltiplicando numeratore e denominatore per il complesso coniugato $1-u+jv$ ) si ottengono le parti reale e immaginaria:

$r=\frac{1-u^2-v^2}{(1-u)^2+v^2},\qquad x=\frac{2v}{(1-u)^2+v^2}.$

Esempio. Con $\Gamma = 0{,}4 - j0{,}2$ ( $u = 0{,}4$ , $v = -0{,}2$ ): $r = \frac{1 - 0{,}16 - 0{,}04}{0{,}36 + 0{,}04} = 2$ e $x = \frac{2 \cdot (-0{,}2)}{0{,}4} = -1$ , cioè $z = 2 - j$ .

Proprietà (circonferenze a r costante e a x costante nel piano di Γ). La trasformazione $z\mapsto\Gamma$ è bilineare: trasforma circonferenze e rette (circonferenze di raggio infinito) in circonferenze. Fissando $r$ nella prima relazione si ha $r\left[(1-u)^2+v^2\right]=1-u^2-v^2$ ; sviluppando e raccogliendo $u^2$ e $v^2$ (con $1+r$ come coefficiente) e completando il quadrato si trova

$\left(u-\frac r{1+r}\right)^2+v^2=\left(\frac1{1+r}\right)^2:$

una circonferenza di centro $\left(\frac r{1+r},0\right)$ e raggio $\frac1{1+r}$ . Per $r=0$ è la circonferenza unitaria $|\Gamma|=1$ , per $r\to\infty$ si riduce al punto $\Gamma=1$ ; tutte le circonferenze $r=$ costante passano per $\Gamma=1$ . Analogamente dalla seconda ( $x\left[(1-u)^2+v^2\right]=2v$ , diviso per $x$ e completando il quadrato in $v$ ):

$(u-1)^2+\left(v-\frac1x\right)^2=\left(\frac1x\right)^2:$

circonferenza di centro $\left(1,\frac1x\right)$ e raggio $\frac1{|x|}$ , di cui interessa solo l'arco dentro $|\Gamma|\le1$ (un carico passivo ha $r\ge0$ ). Nella carta si disegnano le due famiglie:

Esempio. Per $r = 1$ la circonferenza ha centro $(1/2, 0)$ e raggio $1/2$ ; per $x = 1$ ha centro $(1, 1)$ e raggio $1$ .

Grafico interattivo

Proprietà (procedura di lettura sulla carta di Smith).

Normalizzare: $z_L=Z_L/Z_0$ e disegnare il punto $A$ .

Tracciare la circonferenza a $|\Gamma|$ costante passante per $A$ (compasso con centro nell'origine).

Leggere $|\Gamma_L|$ , $\varphi_L$ , $S$ .

Per spostarsi di $l$ verso il generatore, ruotare in senso orario di $l/\lambda$ sulla scala: il punto di arrivo dà $z(-l)$ . Il primo massimo di tensione a partire dal carico è dove la rotazione oraria raggiunge il semiasse reale positivo; il primo minimo dove raggiunge il negativo; la distanza si legge come differenza delle letture sulla scala (in $\lambda$ ).

Per passare ad ammettenza, ruotare di $180^\circ$ .

Esempio. Con $Z_0 = 50\ \Omega$ e $Z_L = 100 - j50\ \Omega$ : $z_L = 2 - j$ , $|\Gamma_L| = 0{,}447$ , $\varphi_L = -26{,}6^\circ$ e $S = 2{,}62$ .

Problemi inversi - dai massimi e minimi al carico

Formula (lunghezza d'onda e frequenza dalla distanza tra massimi e minimi). Passo 1 - Lunghezza d'onda e frequenza. Un massimo e il minimo adiacente distano $\lambda/4$ , due massimi (o due minimi) consecutivi distano $\lambda/2$ :

$\lambda=4\,|d_1-d_2|\quad\text{oppure}\quad\lambda=2\,\Delta d_{\text{minimi consecutivi}},\qquad f=\frac{v_p}{\lambda}.$

Esempio. Con massimo e minimo adiacenti distanti $62{,}5\ \mathrm{mm}$ : $\lambda = 4 \cdot 62{,}5 = 250\ \mathrm{mm}$ e, nel vuoto, $f = 3 \cdot 10^{8}/0{,}25 = 1{,}2\ \mathrm{GHz}$ .

Formula (ROS e modulo del coefficiente di riflessione dalle misure). Passo 2 - Rapporto d'onda stazionaria e modulo di $\Gamma_L$ .

$S=\frac{|V|_{max}}{|V|_{min}}=\frac{|I|_{max}}{|I|_{min}},\qquad|\Gamma_L|=\frac{S-1}{S+1}.$

Esempio. Con $|V|_{max} = 21\ \mathrm V$ e $|V|_{min} = 3\ \mathrm V$ : $S = 7$ e $|\Gamma_L| = 6/8 = 0{,}75$ .

Formula (fase del coefficiente di riflessione dalla posizione di un massimo o di un minimo). Passo 3 - Fase di $\Gamma_L$ . Un massimo di tensione a distanza $d_M$ soddisfa $\varphi_L-2\beta d_M=2k\pi$ , quindi $\varphi_L=2\beta d_M=\dfrac{4\pi d_M}{\lambda}$ (modulo $2\pi$ ). Un minimo di tensione a distanza $d_m$ soddisfa $\varphi_L-2\beta d_m=(2k+1)\pi$ , quindi $\varphi_L=\pi+\dfrac{4\pi d_m}{\lambda}$ . Attenzione: se il grafico è della corrente, i massimi di $|I|$ sono i minimi di $|V|$ e viceversa. Le due espressioni danno lo stesso risultato (è un controllo).

Esempio. Con un massimo di tensione a $d_M = 16{,}5\ \mathrm{mm}$ e $\lambda = 250\ \mathrm{mm}$ : $\varphi_L = 4\pi d_M/\lambda = 0{,}829\ \mathrm{rad} = 47{,}5^\circ$ .

Formula (ampiezza dell'onda incidente dalle misure di corrente). Passo 5 - Tensioni e correnti. Dal massimo di tensione $|V|_{max}=|V^+|(1+|\Gamma|)$ si ricava $|V^+|$ . Con la corrente: $|I|_{max}=\dfrac{|V^+|}{Z_0}(1+|\Gamma|)$ e $|I|_{min}=\dfrac{|V^+|}{Z_0}(1-|\Gamma|)$ , quindi sommando e dividendo per due

$\frac{|V^+|}{Z_0}=\frac{|I|_{max}+|I|_{min}}{2}.$

Esempio. Con $|I|_{max} = 0{,}35\ \mathrm A$ , $|I|_{min} = 0{,}05\ \mathrm A$ e $Z_0 = 50\ \Omega$ : $|V^+|/Z_0 = 0{,}2\ \mathrm A$ , quindi $|V^+| = 10\ \mathrm V$ .

Formula (impedenza caratteristica dell'adattatore a quarto d'onda dalle misure). Passo 6 - Adattatori. Nel punto di massimo di $|V|$ l'impedenza è reale $=SZ_0$ , nel minimo $=Z_0/S$ : un adattatore a quarto d'onda inserito lì ha impedenza caratteristica $Z_{01}=\sqrt{Z_0\cdot SZ_0}=Z_0\sqrt S$ oppure $Z_{01}=Z_0/\sqrt S$ (Adattatore a quarto d'onda).

Esempio. Con $Z_0 = 50\ \Omega$ e $S = 4$ : $Z_{01} = Z_0\sqrt S = 100\ \Omega$ in un massimo di tensione, oppure $Z_0/\sqrt S = 25\ \Omega$ in un minimo.

Adattamento di potenza e di uniformità - distorsione e velocità di gruppo

Teorema del massimo trasferimento di potenza (adattamento coniugato). Un generatore con tensione a vuoto $V_g$ e impedenza interna $Z_g=R_g+jX_g$ che alimenta un'impedenza $Z_{in}=R_{in}+jX_{in}$ eroga la potenza attiva $P=\tfrac12R_{in}|I|^2$ con $I=\dfrac{V_g}{Z_g+Z_{in}}$ . Il massimo rispetto a $Z_{in}$ si ha per $Z_{in}=Z_g^*$ (la parte reattiva viene annullata e le resistenze sono uguali): è il teorema del massimo trasferimento di potenza. In questo caso

$P_{max}=\frac12R_g\frac{|V_g|^2}{(2R_g)^2}=\frac{|V_g|^2}{8R_g}.$

Esempio. Un generatore con $V_g=10$ V e $Z_g=30+j40\ \Omega$ eroga la massima potenza se vede $Z_{in}=30-j40\ \Omega$ : $P_{max}=\dfrac{10^2}{8\cdot30}=0{,}417$ W. Con $Z_{in}=30+j40$ si avrebbe $I=\dfrac{10}{60+j80}$ , $|I|=0{,}1$ A e $P=\tfrac12\cdot30\cdot0{,}01=0{,}15$ W: molto meno.

Formula (funzione di trasferimento di un tratto di linea). Si considera un tratto di linea lungo $l_1$ chiuso su $Z_L$ , e si guarda il rapporto fra la tensione sul carico e la tensione all'ingresso del tratto (in $z=-l_1$ ):

$H(\omega)=\frac{V_L}{V(-l_1)}=\frac{V^++V^-}{V^+e^{j\beta l_1}+V^-e^{-j\beta l_1}}=\frac{1+\Gamma_L}{e^{j\beta l_1}+\Gamma_Le^{-j\beta l_1}}.$

Sostituendo $\Gamma_L=\frac{Z_L-Z_0}{Z_L+Z_0}$ e semplificando:

$H(\omega)=\frac{2Z_L}{(Z_L+Z_0)e^{j\beta l_1}+(Z_L-Z_0)e^{-j\beta l_1}}=\frac{Z_L}{Z_L\cos\beta l_1+jZ_0\sin\beta l_1}.$

Esempio numerico. Linea con $Z_0=50\ \Omega$ , $v_p=2\cdot10^8$ m/s, lunga $l_1=1$ m, chiusa su $Z_L=100\ \Omega$ (reale!). Si ha $\beta l_1=\dfrac{2\pi f}{v_p}l_1=\dfrac{\pi f}{100\ \text{MHz}}$ .

Grafico interattivo: Modulo della funzione di trasferimento |H(f)| di una linea da 50 Ω lunga 1 m (v = 2·10⁸ m/s) chiusa su 100 Ω, confrontato con il caso adattato (|H| = 1)

Definizione (condizione di non distorsione). Un segnale $a(t)$ arriva senza distorsione su una linea di lunghezza $l_1$ se in uscita compare $a(t-\tau)$ : la stessa forma, con un ritardo $\tau=\dfrac{l_1}{v}$ ( $v$ velocità di propagazione). Nel dominio della frequenza, un componente $A(\omega)e^{j\omega t}$ deve uscire come $A(\omega)e^{j\omega(t-\tau)}$ , cioè

$H(\omega)=e^{-j\omega\tau}:\quad|H|=1,\ \ \text{fase}=-\omega\tau\ \text{lineare in }\omega.$

Esempio. Su una linea ideale lunga $l_1 = 10\ \mathrm m$ con $v = 2 \cdot 10^{8}\ \mathrm{m/s}$ ogni componente è ritardata di $\tau = l_1/v = 50\ \mathrm{ns}$ : il segnale arriva ritardato ma non deformato.

Definizione (adattamento di uniformità). Se $Z_L=Z_0$ , allora $\Gamma_L=0$ , $V^-=0$ e la funzione di trasferimento diventa

$H(\omega)=e^{-j\beta l_1}=e^{-j\omega l_1\sqrt{LC}}:$

Esempio. Con $Z_L = Z_0$ e $l_1 = 10\ \mathrm m$ : $|H| = 1$ e la fase è $-\beta l_1 = -\omega\tau$ , con $\tau = 50\ \mathrm{ns}$ se $v_p = 2 \cdot 10^{8}\ \mathrm{m/s}$ .

Definizione (velocità di fase e velocità di gruppo).

velocità di fase (della portante): $v_p=\dfrac{\omega_m}{\beta_m}$ ;

velocità di gruppo (dell'inviluppo): $v_g=\dfrac{\Delta\omega}{\Delta\beta}\approx\dfrac{d\omega}{d\beta}=\dfrac1{d\beta/d\omega}$ .

Esempio. Per una linea ideale con $\sqrt{LC} = 5\ \mathrm{ns/m}$ , $\beta = \omega\sqrt{LC}$ è lineare in $\omega$ e $v_p = v_g = 1/\sqrt{LC} = 2 \cdot 10^{8}\ \mathrm{m/s}$ .

Adattatore a quarto d'onda

Formula (adattatore a quarto d'onda per un carico resistivo). Si inserisce fra la linea principale (impedenza caratteristica $Z_0$ ) e il carico $R$ reale un tratto di linea di lunghezza $l=\lambda/4$ e impedenza caratteristica $Z_{01}$ . L'impedenza in ingresso al tratto è, con la formula di trasformazione ( $\beta l=\pi/2$ , $\tan\beta l\to\infty$ ):

$Z_{in}=Z_{01}\frac{R+jZ_{01}\tan\beta l}{Z_{01}+jR\tan\beta l}\ \xrightarrow{\ \beta l=\pi/2\ }\ \frac{Z_{01}^2}{R}.$

Per avere adattamento di uniformità si impone $Z_{in}=Z_0$ , quindi

$\boxed{Z_{01}=\sqrt{Z_0\,R}}$

Esempio. $Z_0=50\ \Omega$ e $R=100\ \Omega$ : $Z_{01}=\sqrt{50\cdot100}=70{,}7\ \Omega$ . Verifica: $Z_{in}=\dfrac{70{,}7^2}{100}=50\ \Omega$ ✓. Se invece $R=12{,}5\ \Omega$ (con $Z_0=50\ \Omega$ ): $Z_{01}=\sqrt{50\cdot12{,}5}=25\ \Omega$ e $Z_{in}=25^2/12{,}5=50\ \Omega$ ✓.

Formula (adattatore a quarto d'onda per un carico complesso). Inserendo l'adattatore in un punto di massimo il carico che vede è $R=SZ_0$ :

$Z_{01}=\sqrt{Z_0\cdot SZ_0}=Z_0\sqrt S\ (>Z_0).$

Inserendolo in un minimo il carico vale $R=Z_0/S$ :

$Z_{01}=\sqrt{Z_0\cdot\frac{Z_0}S}=\frac{Z_0}{\sqrt S}\ (<Z_0).$

Esempio svolto: $Z_L=50-j100\ \Omega$ su $Z_0=50\ \Omega$ a $f=300$ MHz ( $\lambda=1$ m). $z_L=1-j2$ , $\Gamma_L=0{,}5-j0{,}5=0{,}707\,e^{-j45^\circ}$ , $S=\dfrac{1+0{,}707}{1-0{,}707}=5{,}83$ .

Stub e adattatore a singolo stub

Formula (impedenza di uno stub in corto e in aperto).

Stub in corto circuito ( $Z_L=0$ ): $Z=jZ_0\tan\beta l$ , cioè $z=j\tan\beta l$ e $y=-j\cot\beta l$ . È una reattanza pura di valore qualsiasi: induttiva ( $z$ immaginaria positiva) per $0<l<\lambda/4$ , capacitiva per $\lambda/4<l<\lambda/2$ (dopo $\lambda/2$ si ripete). Si può quindi realizzare un induttore o un condensatore di valore arbitrario scegliendo la lunghezza.

Stub in circuito aperto ( $Z_L\to\infty$ ): $Z=\dfrac{Z_0}{j\tan\beta l}=-jZ_0\cot\beta l$ , cioè $z=-j\cot\beta l$ e $y=+j\tan\beta l$ . È capacitivo per $0<l<\lambda/4$ e induttivo per $\lambda/4<l<\lambda/2$ .

Esempio. Uno stub in corto su una linea da $50\ \Omega$ lungo $\lambda/8$ ha $Z = jZ_0\tan(\pi/4) = j50\ \Omega$ (induttivo); lungo $3\lambda/8$ ha $Z = jZ_0\tan(3\pi/4) = -j50\ \Omega$ (capacitivo).

Grafico interattivo: Reattanza normalizzata di uno stub in funzione della lunghezza l/λ: in corto circuito z = j·tan(2πl/λ), in circuito aperto z = −j·cot(2πl/λ)

Formula (distanza dello stub dal carico). Passo 1 - Distanza $d$ . Con $y_L=g+jb_L=\dfrac1{z_L}$ e $t=\tan\beta d$ , $y(-d)=\dfrac{y_L+jt}{1+jy_Lt}$ (formula degli spostamenti scritta per le ammettenze). La condizione $\mathrm{Re}\,y(-d)=1$ dà l'equazione di secondo grado

$\left(|y_L|^2-g\right)t^2-2b_Lt+(1-g)=0,\qquad t=\frac{b_L\pm\sqrt{g\left[(1-g)^2+b_L^2\right]}}{|y_L|^2-g}$

Esempio. Per $y_L = 0{,}4 + j0{,}8$ : $|y_L|^2 - g = 0{,}4$ e $t = \frac{0{,}8 \pm 0{,}632}{0{,}4} = 0{,}419$ oppure $3{,}58$ , cioè $d_1 = 0{,}0631\,\lambda$ e $d_2 = 0{,}2067\,\lambda$ .

Formula (lunghezza dello stub in corto o in aperto). Passo 2 - Lunghezza $l$ dello stub. Per uno stub in corto: $y=-j\cot\beta l=jb_s$ , quindi $\tan\beta l=-\dfrac1{b_s}$ (si prende $\beta l\in(0,\pi)$ ). Per uno stub in aperto: $y=j\tan\beta l=jb_s$ , quindi $\tan\beta l=b_s$ .

Esempio. Con $b_s = -1{,}581$ e stub in corto: $\tan\beta l = -1/b_s = 0{,}632$ , $\beta l = 0{,}564\ \mathrm{rad}$ e $l = 0{,}0897\,\lambda$ .

2. Linee di trasmissione in regime istantaneo

Regime istantaneo - gradini, riflessioni e diagramma a rimbalzi

Formula (ampiezza del gradino che parte dal generatore). All'istante $t=0$ si collega alla linea un generatore con tensione a vuoto $V_0$ e impedenza interna $Z_g$ (resistenza $R_G$ ). La linea è inizialmente a riposo: il generatore "vede" soltanto $Z_0$ (l'impedenza dell'onda che parte) e la tensione ai morsetti è il partitore fra $Z_g$ e $Z_0$ :

$V^+=V_0\frac{Z_0}{Z_g+Z_0},\qquad I^+=\frac{V^+}{Z_0}=\frac{V_0}{Z_g+Z_0}.$

Esempio. Con $V_0 = 12\ \mathrm V$ , $Z_g = 25\ \Omega$ e $Z_0 = 50\ \Omega$ : $V^+ = 12 \cdot \frac{50}{75} = 8\ \mathrm V$ e $I^+ = 8/50 = 160\ \mathrm{mA}$ .

Formula (riflessione di un gradino su un carico resistivo). Riflessione sul carico resistivo. All'arrivo, il carico impone $v_L=R_Li_L$ : la tensione e la corrente totali sul carico sono $V^++V^-$ e $\frac{V^+-V^-}{Z_0}$ , quindi si genera una riflessa $V^-=\Gamma_LV^+$ con

$\Gamma_L=\frac{R_L-Z_0}{R_L+Z_0}\qquad(\text{reale: la riflessa ha la stessa forma, un gradino}).$

La tensione sul carico diventa $V^+(1+\Gamma_L)$ e la corrente $I^+(1-\Gamma_L)$ . L'onda riflessa torna indietro e a distanza $L_1$ dal generatore passa all'istante $2T-T_1$ (arriva al carico a $T$ , percorre ancora $L-L_1$ : $T+\frac{L-L_1}{c}=2T-T_1$ ).

Esempio. Con $V^+ = 8\ \mathrm V$ , $Z_0 = 50\ \Omega$ e $R_L = 100\ \Omega$ : $\Gamma_L = 1/3$ , la riflessa è $V^- = 2{,}67\ \mathrm V$ e la tensione sul carico $8 \cdot \frac43 = 10{,}67\ \mathrm V$ .

Grafico interattivo: Tensione v(t, L₁) a distanza L₁ = 0,4 L dal generatore (generatore adattato, V⁺ = 8 V): corto circuito (impulso) e circuito aperto (due gradini); il tempo è in unità T = L/c

Formula (tensione sul carico con riflessioni multiple e valore a regime). Tensione sul carico. I fronti arrivano a $T,3T,5T,\dots$ e a ogni arrivo la tensione è aumentata di $V_n^+(1+\Gamma_L)$ :

$v_L(\infty)=V^+(1+\Gamma_L)\left[1+\Gamma_L\Gamma_G+\left(\Gamma_L\Gamma_G\right)^2+\dots\right]=\frac{V^+(1+\Gamma_L)}{1-\Gamma_L\Gamma_G}.$

Sostituendo $V^+=V_0\frac{Z_0}{R_G+Z_0}$ , $1+\Gamma_L=\frac{2R_L}{R_L+Z_0}$ e $1-\Gamma_L\Gamma_G=\frac{2Z_0(R_L+R_G)}{(R_L+Z_0)(R_G+Z_0)}$ si trova

$\boxed{v_L(\infty)=V_0\frac{R_L}{R_G+R_L}}:$

Esempio. $V_0=12$ V, $R_G=25\ \Omega$ , $R_L=100\ \Omega$ , $Z_0=50\ \Omega$ : $V^+=12\cdot\dfrac{50}{75}=8$ V, $\Gamma_L=+\dfrac13$ , $\Gamma_G=-\dfrac13$ , $\Gamma_L\Gamma_G=-\dfrac19$ .

Grafico interattivo: Esempio con V₀ = 12 V, R_G = 25 Ω, R_L = 100 Ω, Z₀ = 50 Ω: tensione al generatore (z = 0) e al carico (z = L) in funzione di t/T; entrambe tendono al valore a regime 9,6 V

Proprietà (ricostruzione dei dati della linea dalla forma d'onda in regime istantaneo).

Tempi → lunghezze. Il fronte diretto arriva in $L_1$ al tempo $T_1$ , quello riflesso in $2T-T_1$ : da questi due tempi e dalla velocità $c$ si ricavano $L_1=cT_1$ e $L=cT$ .

Ampiezze → generatore. Se dopo la prima riflessione la tensione non ha più riflessioni multiple, il generatore è adattato ( $Z_g=Z_0$ ) e la prima ampiezza è $V^+=\dfrac{V_0}2$ : $V_0=2V^+$ .

Ampiezze → carico. Il salto dovuto alla riflessione dà $\Gamma_L$ (rapporto fra riflessa e diretta) e quindi $R_L=Z_0\dfrac{1+\Gamma_L}{1-\Gamma_L}$ ; il valore finale $v(\infty)=V^+(1+\Gamma_L)$ conferma il valore per un carico resistivo.

Esempio. Si osserva in $L_1$ un primo gradino di $6$ V all'istante $200$ ns e un secondo salto a $8$ V a $400$ ns; poi la tensione resta a $8$ V. Con $c=10^8$ m/s e $Z_0=50\ \Omega$ : $V^+=6$ V, $\Gamma_L=\frac{8-6}{6}=\frac13$ (salto $+2$ V), quindi $R_L=50\cdot\frac{1+1/3}{1-1/3}=100\ \Omega$ ; il generatore è adattato, $V_0=12$ V; $L_1=cT_1=20$ m e $2T-T_1=400$ ns, quindi $T=300$ ns e $L=30$ m.

Regime istantaneo - carichi reattivi RC e RL

Formula (circuito equivalente della linea visto dal carico). Si considera un generatore adattato ( $Z_g=Z_0$ ): il gradino $V^+=V_0/2$ arriva al carico e non ci sono altre riflessioni multiple che arrivino a disturbare per un po'. Al carico valgono $v_L=V^++V^-$ e $i_L=\dfrac{V^+-V^-}{Z_0}$ . Eliminando $V^-$ : $v_L=V^++V^-=2V^+-Z_0\,i_L$ , cioè

$v_L=2V^+-Z_0\,i_L.$

Esempio. Con $V^+ = 12\ \mathrm V$ e $Z_0 = 50\ \Omega$ il carico vede un generatore da $24\ \mathrm V$ in serie a $50\ \Omega$ : se assorbe $i_L = 0{,}2\ \mathrm A$ si ha $v_L = 24 - 50 \cdot 0{,}2 = 14\ \mathrm V$ .

Formula (carico capacitivo puro). Condensatore. $i_L=C\dfrac{dv_L}{dt}$ e $v_L=2V^+-Z_0i_L$ : $Z_0C\dfrac{dv_L}{dt}=2V^+-v_L$ , con $v_L(0)=0$ (condensatore scarico). La soluzione è

$v_L(t')=2V^+\left(1-e^{-t'/\tau}\right),\quad\tau=Z_0C,\qquad i_L=\frac{2V^+}{Z_0}e^{-t'/\tau}.$

Esempio. Con $V^+ = 12\ \mathrm V$ , $Z_0 = 50\ \Omega$ e $C = 20\ \mathrm{pF}$ : $\tau = Z_0 C = 1\ \mathrm{ns}$ e $v_L(1\ \mathrm{ns}) = 24\,(1 - e^{-1}) \approx 15{,}2\ \mathrm V$ .

Formula (carico induttivo puro). Induttore. $v_L=L\dfrac{di_L}{dt}$ e $v_L=2V^+-Z_0i_L$ : $\dfrac{L}{Z_0}\dfrac{dv_L}{dt}=-v_L$ con $v_L(0)=2V^+$ (inizialmente aperto), quindi

$v_L(t')=2V^+e^{-t'/\tau},\quad\tau=\frac L{Z_0},\qquad i_L=\frac{2V^+}{Z_0}\left(1-e^{-t'/\tau}\right).$

Esempio. Con $V^+ = 12\ \mathrm V$ , $Z_0 = 50\ \Omega$ e $L = 100\ \mathrm{nH}$ : $\tau = L/Z_0 = 2\ \mathrm{ns}$ e $v_L(2\ \mathrm{ns}) = 24\,e^{-1} \approx 8{,}83\ \mathrm V$ .

Formula (carichi RC e RL: valore iniziale, valore finale e costante di tempo).

carico $v_0$ (inizio) $v_\infty$ (regime) $\tau$

RC serie $2V^+\dfrac R{R+Z_0}$ (C corto) $2V^+$ (C aperto) $C\,(R+Z_0)$

RC parallelo $0$ (C corto) $2V^+\dfrac R{R+Z_0}$ (C aperto) $C\dfrac{RZ_0}{R+Z_0}$

RL serie $2V^+$ (L aperto) $2V^+\dfrac R{R+Z_0}$ (L corto) $\dfrac L{R+Z_0}$

RL parallelo $2V^+\dfrac R{R+Z_0}$ (L aperto) $0$ (L corto) $L\dfrac{R+Z_0}{RZ_0}$

carico	$v_0$ (inizio)	$v_\infty$ (regime)	$\tau$
RC serie	$2V^+\dfrac R{R+Z_0}$ (C corto)	$2V^+$ (C aperto)	$C\,(R+Z_0)$
RC parallelo	$0$ (C corto)	$2V^+\dfrac R{R+Z_0}$ (C aperto)	$C\dfrac{RZ_0}{R+Z_0}$
RL serie	$2V^+$ (L aperto)	$2V^+\dfrac R{R+Z_0}$ (L corto)	$\dfrac L{R+Z_0}$
RL parallelo	$2V^+\dfrac R{R+Z_0}$ (L aperto)	$0$ (L corto)	$L\dfrac{R+Z_0}{RZ_0}$

Esempio. RC parallelo con $V^+ = 12\ \mathrm V$ , $Z_0 = 50\ \Omega$ , $R = 100\ \Omega$ e $C = 43{,}3\ \mathrm{pF}$ : $v_0 = 0$ , $v_\infty = 24 \cdot \frac{100}{150} = 16\ \mathrm V$ e $\tau = C\,\frac{RZ_0}{R + Z_0} \approx 1{,}44\ \mathrm{ns}$ .

Grafico interattivo: Carichi capacitivi (Z₀ = 50 Ω, R = 100 Ω, V⁺ = 1 V, 2V⁺ = 2 V): tensione sul carico in funzione di t'/τ (ognuno con il proprio τ)

Formula (costante di tempo da due punti della curva). Se si hanno due punti $(t_1,v_1)$ e $(t_2,v_2)$ della curva e il valore finale: $\dfrac{v_1-v_\infty}{v_2-v_\infty}=e^{(t_2-t_1)/\tau}$ , quindi

$\tau=\frac{t_2-t_1}{\ln\dfrac{v_1-v_\infty}{v_2-v_\infty}}.$

Esempio. Con $v_\infty = 16\ \mathrm V$ , $v_1 = 8\ \mathrm V$ a $t_1 = 1\ \mathrm{ns}$ e $v_2 = 12\ \mathrm V$ a $t_2 = 2\ \mathrm{ns}$ : $\tau = \frac{1\ \mathrm{ns}}{\ln\frac{8 - 16}{12 - 16}} = \frac{1\ \mathrm{ns}}{\ln 2} \approx 1{,}44\ \mathrm{ns}$ .

Regime istantaneo - impulsi e riconoscimento del carico dal grafico

Formula (impulso rettangolare come differenza di due gradini). La linea con il carico è un sistema lineare: la risposta a una somma di segnali è la somma delle risposte. Un impulso rettangolare di ampiezza $V^+$ e durata $T^*$ è

$v_{imp}(t)=V^+\left[u(t)-u(t-T^*)\right],$

Esempio. Generatore adattato con $V_0=10$ V ( $V^+=5$ V), $Z_0=50\ \Omega$ , $L=30$ m, $c=2\cdot10^8$ m/s ( $T=150$ ns), carico $R_L=150\ \Omega$ ( $\Gamma_L=0{,}5$ ), impulso lungo $T^*=100$ ns. Al generatore: $5$ V fra $0$ e $100$ ns e un secondo impulso di $2{,}5$ V fra $300$ e $400$ ns. Sul carico: $7{,}5$ V fra $150$ e $250$ ns. Con $T^*=500$ ns invece: da $300$ a $500$ ns si sommano ( $5+2{,}5=7{,}5$ V), poi restano $2{,}5$ V fino a $800$ ns.

Grafico interattivo: Tensione sul carico capacitivo (C pura, normalizzata a 2V⁺) per un impulso lungo (T* = 3τ) e uno breve (T* = 0,5τ), in funzione di t'/τ

Proprietà (riconoscimento del carico dalla forma d'onda).

$v_0$ (subito dopo) $v_\infty$ (finale) carico come si trova $R$

$0$ ( $\Gamma_0=-1$ ) $2V^+$ C pura non c'è $R$

$0$ tra $0$ e $2V^+$ RC parallelo $v_\infty=2V^+\frac R{R+Z_0}$

$2V^+$ ( $\Gamma_0=+1$ ) $0$ L pura non c'è $R$

$2V^+$ tra $0$ e $2V^+$ RL serie $v_\infty=2V^+\frac R{R+Z_0}$

tra $0$ e $2V^+$ $2V^+$ RC serie $v_0=2V^+\frac R{R+Z_0}$

tra $0$ e $2V^+$ $0$ RL parallelo $v_0=2V^+\frac R{R+Z_0}$

$v_0$ (subito dopo)	$v_\infty$ (finale)	carico	come si trova $R$
$0$ ( $\Gamma_0=-1$ )	$2V^+$	C pura	non c'è $R$
$0$	tra $0$ e $2V^+$	RC parallelo	$v_\infty=2V^+\frac R{R+Z_0}$
$2V^+$ ( $\Gamma_0=+1$ )	$0$	L pura	non c'è $R$
$2V^+$	tra $0$ e $2V^+$	RL serie	$v_\infty=2V^+\frac R{R+Z_0}$
tra $0$ e $2V^+$	$2V^+$	RC serie	$v_0=2V^+\frac R{R+Z_0}$
tra $0$ e $2V^+$	$0$	RL parallelo	$v_0=2V^+\frac R{R+Z_0}$

Esempio. Con $V^+ = 8\ \mathrm V$ , se la tensione sale a $2V^+ = 16\ \mathrm V$ e decade a $9{,}6\ \mathrm V$ il carico è un RL serie con $R = Z_0\,\frac{v_\infty}{2V^+ - v_\infty} = 50 \cdot \frac{9{,}6}{6{,}4} = 75\ \Omega$ .

3. Fibre ottiche

Legge di Snell, riflessione totale e apertura numerica

Legge di Snell (rifrazione). Un'onda piana che incide su una superficie piana fra due mezzi (indici di rifrazione $n_1$ e $n_2$ ) con un angolo $\theta_1$ rispetto alla normale alla superficie dà origine a un'onda riflessa (con angolo $\theta_1$ ) e a un'onda trasmessa con angolo $\theta_2$ tale che

$\boxed{n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2}$

Esempio. Luce dall'aria ( $n_1=1$ ) in vetro ( $n_2=1{,}5$ ) con $\theta_1=30^\circ$ : $\sin\theta_2=\dfrac{\sin30^\circ}{1{,}5}=0{,}333$ , quindi $\theta_2=19{,}5^\circ$ .

Definizione (angolo critico e riflessione totale). Se la luce passa da un mezzo più denso a uno meno denso ( $n_1>n_2$ ), $\sin\theta_2=\dfrac{n_1}{n_2}\sin\theta_1>\sin\theta_1$ : l'angolo trasmesso è maggiore di quello incidente e raggiunge $90^\circ$ (raggio radente) per l'angolo critico

$\theta_c=\arcsin\frac{n_2}{n_1}.$

Per $\theta_1>\theta_c$ non esiste un angolo $\theta_2$ reale con $\sin\theta_2>1$ : non c'è raggio trasmesso, tutta la potenza viene riflessa. È la riflessione totale, che può esistere solo passando da un mezzo più denso a uno meno denso. Esempi: vetro-aria ( $1{,}5\to1$ ): $\theta_c=\arcsin\frac1{1{,}5}=41{,}8^\circ$ ; acqua-aria: $48{,}8^\circ$ ; diamante-aria: $24{,}4^\circ$ (da cui la brillantezza del diamante, che intrappola la luce).

Esempio. Da vetro ( $n_1 = 1{,}5$ ) ad aria ( $n_2 = 1$ ): $\theta_c = \arcsin(1/1{,}5) = 41{,}8^\circ$ ; un raggio che incide a $50^\circ$ è riflesso totalmente.

Definizione (apertura numerica e angolo di accettazione). Si definisce apertura numerica (numerical aperture) e angolo di accettazione

$\boxed{NA=\sqrt{n_f^2-n_c^2},\qquad\theta_a=\arcsin NA\approx NA\ (\text{rad})}$

Un raggio che entra con $\theta_i\le\theta_a$ è guidato; se entra con angolo maggiore passa nel mantello e si disperde. Se il mezzo esterno non è l'aria: $\sin\theta_a=\dfrac{\sqrt{n_f^2-n_c^2}}{n_0}$ .

Esempio 1. $n_0=1$ , $n_f=1{,}469$ , $n_c=1{,}466$ : $NA=\sqrt{1{,}469^2-1{,}466^2}=\sqrt{0{,}008805}=0{,}0938$ , $\theta_a=\arcsin0{,}0938=5{,}38^\circ$ ( $0{,}094$ rad). (Il valore arrotondato nelle slide del corso è $0{,}1$ rad, circa $5{,}7^\circ$ .) Nel nucleo l'inclinazione massima è $\theta_{2,max}=\arccos\frac{n_c}{n_f}=3{,}66^\circ$ , e l'angolo di incidenza sull'interfaccia vale almeno $86{,}3^\circ$ : i raggi sono quasi paralleli all'asse.

Fibre ottiche - dispersione modale, attenuazione e banda

Formula (ritardo differenziale tra il raggio più lento e il più veloce). Poiché tutti i raggi hanno la stessa velocità $c_f$ nel nucleo, la differenza di tempo è

$\boxed{\tau=\frac{l_{max}-l_{min}}{c_f}=\frac{l\,n_f}{c_0}\left(\frac{n_f}{n_c}-1\right)\approx\frac{l}{c_0}\left(n_f-n_c\right)}$

(l'approssimazione vale perché $n_f/n_c\approx1$ e $n_f\approx n_c$ ). Si ricorda con l'analisi dimensionale: lunghezza/velocità (secondi) per un fattore adimensionale piccolo $n_f-n_c$ . Il ritardo è proporzionale a $l$ e a $n_f-n_c$ : raddoppiare la differenza di indici (a parità di lunghezza) raddoppia il ritardo.

Esempio (tema d'esame). In una fibra multimodo con $n_1=1{,}5$ e $n_2=1{,}49$ il ritardo vale $\tau=33{,}8$ ns. Quale ritardo con $n_2=1{,}48$ ? $n_1-n_2$ passa da $0{,}01$ a $0{,}02$ : $\tau'=2\tau=67{,}6$ ns. Se invece (altro tema) $n_1=1{,}5$ , $n_2=1{,}48$ ( $\Delta n=0{,}02$ ) dà $\tau=33{,}8$ ns e si passa a $n_2=1{,}49$ ( $\Delta n=0{,}01$ ): $\tau'=\tau/2=16{,}9$ ns. Si può risalire alla lunghezza: $l=\dfrac{\tau c_0}{n_1-n_2}=\dfrac{33{,}8\cdot10^{-9}\cdot3\cdot10^8}{0{,}01}=1014$ m (nel secondo caso $507$ m).

Formula (limite sulla velocità di trasmissione dovuto alla dispersione modale). Un impulso che entra "tutto insieme" esce allargato: ogni modo porta una parte della potenza e arriva con un tempo diverso. Per una sequenza di bit, se l'allargamento supera il tempo di bit, la potenza di un bit "invade" i bit adiacenti: l'interferenza intersimbolica (ISI) provoca errori. Perché non succeda si impone che il periodo di bit $T$ superi il doppio del ritardo differenziale ( $T>2\tau$ ), che dà il limite

$f_{bit}=\frac1T<\frac1{2\tau}=\frac{c_0\,n_c}{2\,l\,n_f\,(n_f-n_c)}.$

Esempio. Con $l = 1\ \mathrm{km}$ , $n_f = 1{,}52$ e $n_c = 1{,}49$ : $\tau \approx 102\ \mathrm{ns}$ e $f_{bit} < 1/(2\tau) \approx 4{,}9\ \mathrm{Mbit/s}$ .

Formula (attenuazione in dB lungo la fibra). La potenza che si propaga in fibra diminuisce con la distanza. Il coefficiente di attenuazione $\alpha_{dB}$ (dB/km) dà la perdita su una lunghezza $L$ : $A_{dB}=\alpha_{dB}L$ e

$P_{out}=P_{in}\,10^{-A_{dB}/10}=P_{in}\,10^{-\alpha_{dB}L/10}$

Esempio. Una fibra di $30\ \mathrm{km}$ con $0{,}2\ \mathrm{dB/km}$ attenua di $6\ \mathrm{dB}$ , cioè di un fattore $10^{0{,}6} \approx 4$ : con $P_{in} = 4\ \mathrm{mW}$ escono circa $1\ \mathrm{mW}$ .

Grafico interattivo: Contributo dello scattering di Rayleigh all'attenuazione (andamento 1/λ⁴, normalizzato a 0,12 dB/km a 1550 nm): per questo si lavora nell'infrarosso

4. Onde piane in spazio libero

Equazioni di Maxwell, fasori ed equazioni di Helmholtz

Legge di Faraday-Neumann, di Ampère-Maxwell e di Gauss (equazioni di Maxwell).

legge forma locale forma integrale

Faraday $\nabla\times\bar{\mathcal E}=-\dfrac{\partial\bar{\mathcal B}}{\partial t}$ $\oint_C\bar{\mathcal E}\cdot d\bar l=-\dfrac{\partial}{\partial t}\int_S\bar{\mathcal B}\cdot d\bar s$

Ampère-Maxwell $\nabla\times\bar{\mathcal H}=\dfrac{\partial\bar{\mathcal D}}{\partial t}+\bar j$ $\oint_C\bar{\mathcal H}\cdot d\bar l=\dfrac{\partial}{\partial t}\int_S\bar{\mathcal D}\cdot d\bar s+\int_S\bar j\cdot d\bar s$

Gauss elettrica $\nabla\cdot\bar{\mathcal D}=\rho$ $\oint_S\bar{\mathcal D}\cdot d\bar s=\int_V\rho\,dv$

Gauss magnetica $\nabla\cdot\bar{\mathcal B}=0$ $\oint_S\bar{\mathcal B}\cdot d\bar s=0$

legge	forma locale	forma integrale
Faraday	$\nabla\times\bar{\mathcal E}=-\dfrac{\partial\bar{\mathcal B}}{\partial t}$	$\oint_C\bar{\mathcal E}\cdot d\bar l=-\dfrac{\partial}{\partial t}\int_S\bar{\mathcal B}\cdot d\bar s$
Ampère-Maxwell	$\nabla\times\bar{\mathcal H}=\dfrac{\partial\bar{\mathcal D}}{\partial t}+\bar j$	$\oint_C\bar{\mathcal H}\cdot d\bar l=\dfrac{\partial}{\partial t}\int_S\bar{\mathcal D}\cdot d\bar s+\int_S\bar j\cdot d\bar s$
Gauss elettrica	$\nabla\cdot\bar{\mathcal D}=\rho$	$\oint_S\bar{\mathcal D}\cdot d\bar s=\int_V\rho\,dv$
Gauss magnetica	$\nabla\cdot\bar{\mathcal B}=0$	$\oint_S\bar{\mathcal B}\cdot d\bar s=0$

Esempio. Con $B = B_0\sin\omega t$ , $B_0 = 1\ \mathrm{mT}$ , $f = 50\ \mathrm{Hz}$ e una spira di area $S = 10\ \mathrm{cm^2}$ , la tensione indotta ha ampiezza $\omega B_0 S = 314 \cdot 10^{-3} \cdot 10^{-3} \approx 0{,}31\ \mathrm{mV}$ .

Formula (equazioni di Maxwell per i fasori). Le equazioni diventano

$\nabla\times\bar E=-j\omega\mu\bar H,\quad\nabla\times\bar H=j\omega\varepsilon\bar E+\bar J,\quad\nabla\cdot\bar D=\rho,\quad\nabla\cdot\bar B=0.$

Esempio. Per $\omega = 2\pi \cdot 10^{9}\ \mathrm{rad/s}$ e $\mu = \mu_0$ : $\omega\mu = 6{,}28 \cdot 10^{9} \cdot 4\pi \cdot 10^{-7} \approx 7{,}9 \cdot 10^{3}\ \Omega/\mathrm m$ .

Definizione (permittività complessa di un mezzo con perdite). Mezzi con perdite. Se il mezzo ha conducibilità $\sigma\neq0$ , la densità di corrente di conduzione $\bar J=\sigma\bar E$ si somma alla corrente di spostamento e l'equazione diventa $\nabla\times\bar H=j\omega\varepsilon\bar E+\sigma\bar E=j\omega\varepsilon_c\bar E$ con la permettività complessa

$\varepsilon_c=\varepsilon'-j\varepsilon''-j\frac\sigma\omega=\varepsilon_{re}-j\varepsilon_{im},\qquad\varepsilon_{re}=\varepsilon',\ \varepsilon_{im}=\varepsilon''+\frac\sigma\omega.$

Esempio. Acqua di mare ( $\sigma = 5\ \mathrm{S/m}$ , $\varepsilon_r = 80$ ) a $1\ \mathrm{MHz}$ : $\sigma/\omega = 8 \cdot 10^{-7}\ \mathrm{S\,s/m}$ contro $\varepsilon' = 7{,}1 \cdot 10^{-10}\ \mathrm{F/m}$ , quindi $\sigma \gg \omega\varepsilon'$ (rapporto circa $1100$ ): buon conduttore.

Formula (equazioni di Helmholtz). Per l'identità $\nabla\times\nabla\times\bar E=\nabla(\nabla\cdot\bar E)-\nabla^2\bar E$ e poiché $\nabla\cdot\bar E=0$ (assenza di cariche in un mezzo omogeneo) si ottiene

$\boxed{\nabla^2\bar E+k^2\bar E=0,\qquad\nabla^2\bar H+k^2\bar H=0,\qquad k=\omega\sqrt{\mu\varepsilon}\ \ (\text{rad/m})}$

( $k$ è la costante di propagazione o di fase, o numero d'onda; la condizione necessaria per l'equazione di Helmholtz del campo elettrico è proprio $\nabla\cdot\bar E=0$ .) Ognuna delle tre componenti cartesiane soddisfa un'equazione scalare $\nabla^2E_x+k^2E_x=0$ e analoghe. $\bar E$ e $\bar H$ non sono indipendenti: oltre a Helmholtz devono soddisfare le equazioni di Maxwell, che li legano. La lunghezza d'onda è $\lambda=\dfrac{2\pi}{k}$ .

Esempio. A $600\ \mathrm{MHz}$ nel vuoto: $k = \omega\sqrt{\mu_0\varepsilon_0} = 4\pi\ \mathrm{m^{-1}}$ e $\lambda = 2\pi/k = 0{,}5\ \mathrm m$ .

Onde piane uniformi - campi, impedenza intrinseca e velocità

Formula (onda piana: soluzione dell'equazione di Helmholtz). L'equazione di Helmholtz per la componente $E_x$ si riduce a una sola derivata ordinaria:

$\frac{d^2E_x}{dz^2}+k^2E_x=0\ \Rightarrow\ E_x(z)=E_x^+e^{-jkz}+E_x^-e^{+jkz},$

Esempio. A $2{,}4\ \mathrm{GHz}$ nel vuoto: $k = 2\pi f/c_0 \approx 50{,}3\ \mathrm{rad/m}$ e $\lambda = 12{,}5\ \mathrm{cm}$ ; dopo $\lambda/4 = 3{,}1\ \mathrm{cm}$ la fase dell'onda progressiva è ruotata di $-\pi/2$ .

Definizione (impedenza intrinseca del mezzo). con $H_y^+=\dfrac{E_x^+}{\eta}$ e $H_y^-=-\dfrac{E_x^-}{\eta}$ , dove

$\boxed{\eta=\frac{\omega\mu}{k}=\sqrt{\frac\mu\varepsilon}}$

è l'impedenza intrinseca (o impedenza d'onda) del mezzo, in ohm (rapporto fra campo elettrico e campo magnetico dell'onda che si propaga in un verso). Nel vuoto $\eta_0=\sqrt{\dfrac{\mu_0}{\varepsilon_0}}\approx120\pi\ \Omega\approx377\ \Omega$ . È l'analogo dell'impedenza caratteristica $Z_0$ della linea: stesso ruolo, stessa struttura (il segno meno dell'onda regressiva, il coefficiente di riflessione, e così via).

Esempio. Nel vuoto $\eta_0 = \sqrt{\mu_0/\varepsilon_0} \approx 377\ \Omega$ : con $|E| = 1\ \mathrm{V/m}$ si ha $|H| = 1/377 \approx 2{,}65\ \mathrm{mA/m}$ .

Formula (relazione vettoriale fra campo elettrico e magnetico di un'onda piana). Onda con due componenti (la figura descritta nel tempo da $\bar E$ è la polarizzazione, Polarizzazione delle onde piane). Per $\bar E=\left(\hat xE_x^++\hat yE_y^+\right)e^{-jkz}$ si ha $H_x=-\dfrac{E_y}{\eta}$ e $H_y=\dfrac{E_x}{\eta}$ , cioè in forma vettoriale

$\boxed{\bar H=\frac{\hat k\times\bar E}{\eta},\qquad\bar E=\eta\,\bar H\times\hat k}$

con $\hat k$ il versore di propagazione. Si ricorda così: $\bar E\times\bar H$ punta nel verso di propagazione $\hat k$ . I tre vettori $\bar E$ , $\bar H$ , $\hat k$ sono a due a due ortogonali (onda TEM, trasversale elettro-magnetica), e dato che $\eta$ è reale, $\bar E$ e $\bar H$ sono in fase nel tempo.

Esempio. Con $\bar E = 2\,\hat x\ \mathrm{V/m}$ che si propaga lungo $+z$ nel vuoto: $\bar H = (\hat z \times \bar E)/\eta_0 = \hat y\,2/377 \approx \hat y\,5{,}3\ \mathrm{mA/m}$ .

Formula (velocità di fase, indice di rifrazione e lunghezza d'onda). Nel dominio del tempo il campo elettrico è $e_x(z,t)=|E_x^+|\cos(\omega t-kz+\varphi^+)+|E_x^-|\cos(\omega t+kz+\varphi^-)$ : il primo termine è un'onda che viaggia verso $+z$ , il secondo verso $-z$ . Un punto a fase costante ( $\omega t-kz=$ cost.) si sposta con la velocità di fase

$v_f=\frac{\omega}{k}=\frac1{\sqrt{\mu\varepsilon}}.$

Nel vuoto $v_f=\dfrac1{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}}=c_0=2{,}998\cdot10^8$ m/s $\approx3\cdot10^8$ m/s, la velocità della luce. In un dielettrico non magnetico e non conduttore $\mu=\mu_0$ , $\varepsilon=\varepsilon_r\varepsilon_0$ :

$v_f=\frac{c_0}{n},\quad n=\sqrt{\varepsilon_r}\ (\text{indice di rifrazione}),\quad\eta=\frac{\eta_0}{n},\quad\lambda=\frac{2\pi}{k}=\frac{v_f}{f}=\frac{c_0}{nf}=\frac{\lambda_0}n.$

Esempio. In un dielettrico con $\varepsilon_r = 2{,}25$ ( $n = 1{,}5$ ) a $600\ \mathrm{MHz}$ : $v_f = 2 \cdot 10^{8}\ \mathrm{m/s}$ , $\lambda = 0{,}5/1{,}5 \approx 0{,}333\ \mathrm m$ e $\eta = 377/1{,}5 \approx 251\ \Omega$ .

Grafico interattivo: Onda piana verso +z in due istanti: il campo elettrico e_x(z,t) (e ηh_y, che coincide) all'istante 0 e dopo 1/8 di periodo; l'onda si è spostata di λ/8 verso destra (x = z/λ)

Vettore di Poynting e potenza dell'onda piana

Formula (valor medio del quadrato di un campo sinusoidale). Se il campo elettrico (per semplicità scalare) è $e(t)=|E|\cos(\omega t+\varphi)$ , il suo quadrato medio su un periodo è

$\langle e^2\rangle=\frac1T\int_0^T|E|^2\cos^2(\omega t+\varphi)\,dt=\frac{|E|^2}{2},$

perché il valor medio di $\cos^2$ è $\frac12$ . Per l'onda piana con due componenti si estende ai vettori:

$\langle\bar e\cdot\bar e\rangle=\frac12\left(|E_x|^2+|E_y|^2+|E_z|^2\right)=\frac12\bar E\cdot\bar E^*=\frac{|\bar E|^2}{2},$

Esempio. Con $|E| = 10\ \mathrm{V/m}$ si ha $\langle e^2 \rangle = 100/2 = 50\ \mathrm{V^2/m^2}$ ; per $\bar E = (3\hat x + \hat y)e^{-jkz}$ è $|\bar E|^2 = 9 + 1 = 10\ \mathrm{V^2/m^2}$ .

Formula (densità di potenza di un'onda piana). Per l'onda piana uniforme verso $+z$ in un mezzo senza perdite: $\bar E=\hat xE_0e^{-jkz}$ e $\bar H=\hat y\dfrac{E_0}{\eta}e^{-jkz}$ (Onde piane uniformi - campi, impedenza intrinseca e velocità). Il vettore di Poynting è

$\bar S=\frac12\bar E\times\bar H^*=\frac12\frac{|E_0|^2}{\eta}\,\hat x\times\hat y=\frac{|E_0|^2}{2\eta}\hat z=\frac{\eta|H_0|^2}{2}\hat z.$

È reale e diretto lungo $\hat z$ : l'onda piana trasporta soltanto potenza attiva, nella direzione di propagazione. Quindi

$\boxed{S=\frac{|E_0|^2}{2\eta}=\frac{\eta\,|H_0|^2}{2}\quad(\text{W/m}^2)}$

Esempio. Nel vuoto con $|E_0| = 1\ \mathrm{V/m}$ : $S = \frac{1}{2 \cdot 377} \approx 1{,}33\ \mathrm{mW/m^2}$ .

Grafico interattivo: Densità di potenza istantanea di un'onda piana, p(t) = (E₀²/η)·cos²(ωt − kz), normalizzata a E₀²/η: oscilla fra 0 e 1 con valor medio 1/2, il valore di Poynting (x = t/T)

Polarizzazione delle onde piane

Definizione (campo elettrico di un'onda piana e differenza di fase). Per un'onda piana uniforme che si propaga verso $+z$ (Onde piane uniformi - campi, impedenza intrinseca e velocità) il fasore del campo elettrico è

$\bar E=\hat xE_x+\hat yE_y=\left(\hat xE_{x0}+\hat yE_{y0}\right)e^{-jkz},\qquad E_{x0}=a_xe^{j\varphi_x},\ E_{y0}=a_ye^{j\varphi_y},$

con $a_x,a_y>0$ reali. Il luogo descritto da $\bar e$ dipende solo dalla differenza di fase $\varphi=\varphi_y-\varphi_x$ : si può quindi porre $\varphi_x=0$ e scrivere

$\bar E=\left(a_x\hat x+a_ye^{j\varphi}\hat y\right)e^{-jkz},\qquad\bar e(z,t)=\hat xa_x\cos(\omega t-kz)+\hat ya_y\cos(\omega t-kz+\varphi).$

Esempio. Con $a_x = 3\ \mathrm{V/m}$ , $a_y = 2\ \mathrm{V/m}$ e $\varphi = \pi/2$ : a $z = 0$ è $\bar e(t) = 3\cos\omega t\,\hat x - 2\sin\omega t\,\hat y$ .

Definizione (polarizzazione rettilinea). Polarizzazione rettilinea ( $\varphi=0$ : componenti in fase; $\varphi=\pi$ : in opposizione di fase). L'inclinazione è costante ( $\tan\psi=\pm\frac{a_y}{a_x}$ ) e il vettore oscilla lungo una retta: $\bar e=\left(\hat xa_x\pm\hat ya_y\right)\cos\omega t$ a $z=0$ . Casi particolari: polarizzazione in $x$ o in $y$ .

Esempio. Con $\bar E = (4\hat x - 3\hat y)e^{-jkz}$ ( $\varphi = \pi$ ) il vettore oscilla su un segmento di ampiezza $5\ \mathrm{V/m}$ inclinato di $\psi = \arctan(-3/4) = -36{,}9^\circ$ .

Definizione (polarizzazione circolare). Polarizzazione circolare ( $a_x=a_y=a$ , $\varphi=\pm\frac\pi2$ ). Per $\varphi=+\frac\pi2$ :

$\bar e=\hat xa\cos(\omega t-kz)+\hat ya\cos\left(\omega t-kz+\tfrac\pi2\right)=\hat xa\cos(\omega t-kz)-\hat ya\sin(\omega t-kz).$

Il modulo è costante, $|\bar e|=a$ , e l'inclinazione è $\psi=-(\omega t-kz)$ : a $z=0$ $\psi=-\omega t$ , cala nel tempo: il vettore descrive una circonferenza in senso orario (guardando l'onda che arriva), a velocità angolare $\omega$ . Con il pollice nel verso di propagazione le dita della mano sinistra seguono la rotazione: circolare sinistrorsa, $\bar E=a(\hat x+j\hat y)e^{-jkz}$ . Per $\varphi=-\frac\pi2$ : $\bar e=\hat xa\cos(\omega t-kz)+\hat ya\sin(\omega t-kz)$ , $\psi=\omega t-kz$ , il vettore ruota in senso antiorario: circolare destrorsa, $\bar E=a(\hat x-j\hat y)e^{-jkz}$ .

Esempio. Con $a = 2\ \mathrm{V/m}$ e $\varphi = +\pi/2$ : $|\bar e| = 2\ \mathrm{V/m}$ costante e, a $z = 0$ , il vettore passa da $(2, 0)$ in $\omega t = 0$ a $(0, -2)$ in $\omega t = \pi/2$ : rotazione oraria, cioè circolare sinistrorsa.

Grafico interattivo

Definizione (rapporto di polarizzazione). Si definisce il rapporto di polarizzazione lineare $p=j\dfrac{A_y}{A_x}=\dfrac{a_y}{a_x}e^{j(\varphi+\pi/2)}$ (rapporto fra le componenti $A_y$ e $A_x$ del fasore). Allora:

polarizzazione rettilinea: $\Re\{p\}=0$ (perché $\varphi=0,\pi$ );

circolare sinistrorsa: $p=-1$ ( $a_x=a_y$ , $\varphi=\frac\pi2$ ); circolare destrorsa: $p=+1$ ( $\varphi=-\frac\pi2$ );

in generale $\Re\{p\}<0$ : ellittica sinistrorsa, $\Re\{p\}>0$ : ellittica destrorsa.

Esempio. Per $\bar E = a(\hat x + j\hat y)e^{-jkz}$ : $A_y/A_x = j$ , quindi $p = j \cdot j = -1$ (circolare sinistrorsa).

Onde piane nei mezzi con perdite e nei buoni conduttori

Definizione (costante di propagazione complessa). Con corrente di conduzione $\bar J=\sigma\bar E$ la seconda equazione di Maxwell è $\nabla\times\bar H=j\omega\varepsilon\bar E+\sigma\bar E=j\omega\varepsilon_c\bar E$ , con $\varepsilon_c=\varepsilon'-j\varepsilon''-j\dfrac\sigma\omega$ (Equazioni di Maxwell, fasori ed equazioni di Helmholtz). L'equazione di Helmholtz diventa $\nabla^2\bar E-\gamma^2\bar E=0$ con

$\gamma=\alpha+j\beta,\qquad\gamma^2=-\omega^2\mu\varepsilon_c.$

Esempio. In acqua di mare a $1\ \mathrm{kHz}$ si ha $\alpha = \beta = 0{,}126$ , cioè $\gamma = 0{,}126\,(1 + j)\ \mathrm m^{-1}$ .

Definizione (costante di attenuazione e spessore di penetrazione). Il fasore dell'onda verso $+z$ è $E_0e^{-\gamma z}=E_0\,e^{-\alpha z}e^{-j\beta z}$ e nel dominio del tempo $e(z,t)=|E_0|e^{-\alpha z}\cos(\omega t-\beta z+\varphi_0)$ : un'onda che viaggia con velocità di fase $v_f=\dfrac\omega\beta$ , lunghezza d'onda $\lambda=\dfrac{2\pi}\beta$ e ampiezza che decresce esponenzialmente. La parte reale $\alpha$ (Np/m) è la costante di attenuazione, la parte immaginaria $\beta$ (rad/m) la costante di fase. Lo spessore di penetrazione (skin depth) è

$\delta_s=\frac1\alpha\ (\text{m}):$

Esempio. Con $\alpha = 4443\ \mathrm{Np/m}$ : $\delta_s = 1/\alpha \approx 225\ \mu\mathrm m$ ; a $z = \delta_s$ il campo vale il $37\%$ di quello in $z = 0$ .

Formula (buon conduttore: costante di attenuazione e spessore di penetrazione). Buon conduttore, $\sigma\gg\omega\varepsilon'$ : $\varepsilon_c\approx-j\dfrac\sigma\omega$ e $\gamma^2=j\omega\mu\sigma$ , cioè $\gamma=\sqrt{j\omega\mu\sigma}=(1+j)\sqrt{\dfrac{\omega\mu\sigma}2}$ (perché $\sqrt j=\frac{1+j}{\sqrt2}$ ). Quindi

$\boxed{\alpha=\beta=\sqrt{\frac{\omega\mu\sigma}2}=\sqrt{\pi f\mu\sigma},\qquad\delta_s=\frac1{\sqrt{\pi f\mu\sigma}}}$

Esempio. Rame ( $\sigma = 5{,}8 \cdot 10^{7}\ \mathrm{S/m}$ ) a $1\ \mathrm{GHz}$ : $\alpha = \beta = \sqrt{\pi \cdot 10^{9} \cdot 4\pi \cdot 10^{-7} \cdot 5{,}8 \cdot 10^{7}} \approx 4{,}8 \cdot 10^{5}\ \mathrm{Np/m}$ e $\delta_s \approx 2{,}09\ \mu\mathrm m$ .

Definizione (impedenza di parete e resistenza superficiale). L'impedenza del mezzo conduttore (impedenza di parete) è $\eta_c=\sqrt{\dfrac\mu{\varepsilon_c}}\approx\sqrt{\dfrac{j\omega\mu}\sigma}=(1+j)\sqrt{\dfrac{\omega\mu}{2\sigma}}=\dfrac{1+j}{\sigma\delta_s}$ , e si definisce la resistenza superficiale

$R_s=\frac1{\sigma\delta_s}=\sqrt{\frac{\pi f\mu}{\sigma}},\qquad\eta_c=R_s(1+j)=\sqrt2R_s\,e^{j\pi/4}.$

Esempio. Rame a $1\ \mathrm{GHz}$ : $R_s = \frac{1}{\sigma\delta_s} = \frac{1}{5{,}8 \cdot 10^{7} \cdot 2{,}09 \cdot 10^{-6}} \approx 8{,}3\ \mathrm{m\Omega}$ .

Grafico interattivo: Spessore di penetrazione δs del rame (σ = 5,8·10⁷ S/m) in funzione della frequenza (asse logaritmico), in micrometri

Decibel e neper - attenuazioni e guadagni

Definizione (attenuazione e guadagno in decibel). Se un mezzo (una linea, una fibra, uno spazio) porta la potenza da $P_1$ (ingresso) a $P_2$ (uscita), l'attenuazione in decibel è

$A_{dB}=-10\log_{10}\frac{P_2}{P_1}=10\log_{10}\frac{P_1}{P_2}\quad(A>0\text{ se }P_2<P_1).$

Per un amplificatore ( $P_2>P_1$ ) si parla di guadagno

$G_{dB}=10\log_{10}\frac{P_2}{P_1}.$

Esempio. Una linea con $10\ \mathrm W$ in ingresso e $0{,}1\ \mathrm W$ in uscita ha $A_{dB} = 10\log_{10}(10/0{,}1) = 20\ \mathrm{dB}$ ; un amplificatore con $P_2/P_1 = 100$ ha $G_{dB} = 20\ \mathrm{dB}$ .

Grafico interattivo: Guadagno in decibel in funzione del rapporto di potenze, G_dB = 10·log₁₀(P₂/P₁): ogni raddoppio vale circa +3 dB, ogni fattore 10 vale +10 dB

Formula (attenuazione in neper e in decibel). Il campo di un'onda che si propaga in un mezzo con perdite cala come $e^{-\alpha z}$ (Onde piane nei mezzi con perdite e nei buoni conduttori), la potenza come $e^{-2\alpha z}$ . Su una lunghezza $L$ :

$A_{dB}=-10\log_{10}\frac{P_1e^{-2\alpha L}}{P_1}=10\cdot2\alpha L\log_{10}e=8{,}686\,\alpha L=8{,}686\,A_{Np},$

dove $A_{Np}=\alpha L$ è l'attenuazione in neper ( $1$ Np $=8{,}686$ dB; $1$ dB $=0{,}115$ Np). Il neper misura l'attenuazione del campo (logaritmo naturale del rapporto di ampiezze), il decibel quella della potenza (logaritmo in base 10). Esempi:

Esempio. Con $\alpha = 0{,}0075\ \mathrm{Np/m}$ su $L = 100\ \mathrm m$ : $A_{Np} = 0{,}75$ e $A_{dB} = 8{,}686 \cdot 0{,}75 \approx 6{,}5\ \mathrm{dB}$ .

Definizione (dBW e dBm). Per esprimere una potenza assoluta si sceglie un riferimento:

dBW: $P_{dBW}=10\log_{10}\dfrac{P}{1\text{ W}}$ (1 W $=0$ dBW, 100 W $=20$ dBW, 1 mW $=-30$ dBW);

dBm: $P_{dBm}=10\log_{10}\dfrac{P}{1\text{ mW}}$ (1 mW $=0$ dBm, 1 W $=30$ dBm, $P_{dBm}=P_{dBW}+30$ ).

Esempio. $P = 100\ \mathrm W$ vale $10\log_{10}100 = 20\ \mathrm{dBW}$ , cioè $50\ \mathrm{dBm}$ .

Formula (bilancio di collegamento in decibel). La formula di Friis $P_{rec}=P_tG_TG_R\left(\dfrac\lambda{4\pi R}\right)^2$ (Area efficace, antenne a parabola e formula di Friis) è un prodotto: in decibel diventa una somma

$P_{rec,dB}=P_{t,dB}+G_{T,dB}+G_{R,dB}-A_{sl,dB},\qquad A_{sl}=\left(\frac{4\pi R}\lambda\right)^2.$

Esempio. $P_t=100$ W ( $20$ dBW), $G_T=40$ dB, $G_R=30$ dB, $R=10$ km, $f=10$ GHz ( $\lambda=3$ cm): $A_{sl}=\left(\dfrac{4\pi\cdot10^4}{0{,}03}\right)^2=1{,}755\cdot10^{13}\to132{,}4$ dB, quindi $P_{rec}=20+40+30-132{,}4=-42{,}4$ dBW, cioè $57$ $\mu$ W. Un altro esempio: l'area efficace $A_e=0{,}002$ m $^2$ a $12$ GHz ( $\lambda=2{,}5$ cm) dà $G=\dfrac{4\pi A_e}{\lambda^2}=40{,}2\to16{,}0$ dB.

Riflessione e rifrazione tra due dielettrici

Proprietà (condizioni di continuità dei campi all'interfaccia). Fra due mezzi (1 e 2, con $\varepsilon_1,\mu_1,\sigma_1$ e $\varepsilon_2,\mu_2,\sigma_2$ ), indicando con $\hat n$ la normale alla superficie, le equazioni di Maxwell impongono

$\hat n\cdot(\bar D_1-\bar D_2)=\rho_S,\quad\hat n\cdot(\bar B_1-\bar B_2)=0,\quad\hat n\times(\bar E_1-\bar E_2)=0,\quad\hat n\times(\bar H_1-\bar H_2)=\bar J_S,$

Esempio. Su un'interfaccia aria-vetro ( $\varepsilon_{r2} = 2{,}25$ ) la componente normale di $\bar D$ è la stessa nei due mezzi: il campo elettrico normale nel vetro è $2{,}25$ volte minore di quello nell'aria.

Formula (coefficienti di riflessione e di trasmissione fra due dielettrici). Risolvendo (si sostituisce $E_0^t$ nella seconda: $\frac{E_0^i-E_0^r}{\eta_1}=\frac{E_0^i+E_0^r}{\eta_2}$ , cioè $E_0^i(\eta_2-\eta_1)=E_0^r(\eta_2+\eta_1)$ ):

$\boxed{\Gamma=\frac{E_0^r}{E_0^i}=\frac{\eta_2-\eta_1}{\eta_2+\eta_1},\qquad\tau=\frac{E_0^t}{E_0^i}=\frac{2\eta_2}{\eta_2+\eta_1}=1+\Gamma}$

Per dielettrici non magnetici ( $\mu_1=\mu_2=\mu_0$ ): $\eta_i=\dfrac{\eta_0}{\sqrt{\varepsilon_{ri}}}=\dfrac{\eta_0}{n_i}$ e quindi

$\Gamma=\frac{n_1-n_2}{n_1+n_2}=\frac{\sqrt{\varepsilon_{r1}}-\sqrt{\varepsilon_{r2}}}{\sqrt{\varepsilon_{r1}}+\sqrt{\varepsilon_{r2}}}.$

Esempio: aria-vetro. $n_1=1$ , $n_2=1{,}5$ ( $\varepsilon_r=2{,}25$ ): $\Gamma=\dfrac{1-1{,}5}{1+1{,}5}=-0{,}2$ . La frazione di potenza riflessa è $|\Gamma|^2=0{,}04$ : il $4\%$ (la riflessione di una lastra di vetro).

Proprietà (massimi e minimi del campo nel primo mezzo).

massimi di $|E|$ (e minimi di $|H|$ ) per $\varphi_\Gamma+2k_1z_{MAX}=2N\pi$ con $z_{MAX}\le0$ : $|\bar E_1|_{MAX}=E_0^i(1+|\Gamma|)$ e $|\bar H_1|_{min}=\dfrac{E_0^i}{\eta_1}(1-|\Gamma|)$ ;

minimi di $|E|$ (e massimi di $|H|$ ) per $\varphi_\Gamma+2k_1z_{min}=(2N+1)\pi$ : $|\bar E_1|_{min}=E_0^i(1-|\Gamma|)$ e $|\bar H_1|_{MAX}=\dfrac{E_0^i}{\eta_1}(1+|\Gamma|)$ .

Esempio. Con $\Gamma = 1/7 > 0$ ed $E_0^i = 7\ \mathrm{V/m}$ : $|E|_{MAX} = 7 \cdot 8/7 = 8\ \mathrm{V/m}$ in $z = 0$ e $|E|_{min} = 7 \cdot 6/7 = 6\ \mathrm{V/m}$ a $z = -\lambda_1/4$ .

Grafico interattivo: Modulo del campo elettrico nel mezzo 1, |E|/E₀ⁱ, in funzione della distanza dall'interfaccia (x = |z|/λ₁): Γ = +1/7 (massimo in z = 0) e Γ = −1/7 (minimo in z = 0)

Formula (bilancio di potenza all'interfaccia fra due dielettrici). La densità di potenza attiva incidente è $S_i=\dfrac{|E_0^i|^2}{2\eta_1}$ , la riflessa $S_r=|\Gamma|^2S_i$ e la trasmessa $S_t=\dfrac{|E_0^t|^2}{2\eta_2}$ . Nel mezzo 1 il flusso netto è la differenza $S_i-S_r=S_i(1-|\Gamma|^2)$ , costante in $z$ , e per la continuità delle componenti tangenti coincide con $S_t$ : la potenza si conserva:

$S_t=S_i\left(1-|\Gamma|^2\right).$

Esempio. Aria-vetro: $\Gamma = -0{,}2$ , quindi la potenza riflessa è il $4\%$ di quella incidente e quella trasmessa il $96\%$ .

Riflessione su un buon conduttore e su un conduttore perfetto

Formula (coefficiente di riflessione su un buon conduttore). Con le condizioni di continuità in $z=0$ si trova lo stesso risultato della formula dei dielettrici con $\eta_2\to\eta_{c2}$ (Riflessione e rifrazione tra due dielettrici):

$\boxed{\Gamma=\frac{E_0^r}{E_0^i}=\frac{\eta_{c2}-\eta_1}{\eta_{c2}+\eta_1}=\frac{R_{s2}(1+j)-\eta_1}{R_{s2}(1+j)+\eta_1}}$

Esempio 1: aria-metallo a $10$ GHz. $\sigma=10^7$ S/m: $R_s=\sqrt{\dfrac{\pi\cdot10^{10}\cdot4\pi\cdot10^{-7}}{10^7}}=0{,}0628\ \Omega$ . $\Gamma=\dfrac{0{,}0628(1+j)-377}{0{,}0628(1+j)+377}=-0{,}99967+j0{,}00033$ , $|\Gamma|^2=0{,}99933$ : il 99,93% della potenza viene riflesso (si assorbe solo lo $0{,}07\%$ ). Per il rame ( $5{,}8\cdot10^7$ S/m) a $10$ GHz: $R_s=0{,}0261\ \Omega$ e viene assorbito lo $0{,}028\%$ . A frequenze più basse $R_s$ diminuisce ancora e la riflessione è ancora più completa.

Proprietà (riflessione su un conduttore perfetto). Nel limite $\sigma_2\to\infty$ si ha $\delta_s=0$ : il campo non penetra ( $\bar E^t=0$ ) e $R_s=0$ , quindi

$\Gamma=-1,\qquad E_0^r=-E_0^i,\qquad E_0^t=0.$

La componente tangente del campo elettrico è nulla sul conduttore ( $E_0^i+E_0^r=0$ ), quella del campo magnetico è doppia: $\dfrac{E_0^i}{\eta_1}-\dfrac{E_0^r}{\eta_1}=\dfrac{2E_0^i}{\eta_1}$ ed è uguale (in modulo) alla densità di corrente superficiale $\bar J_S=\hat n\times\bar H$ che si crea sulla superficie del conduttore: $|J_S|=\dfrac{2E_0^i}{\eta_1}$ (A/m). È la corrente che serve per generare il campo riflesso che annulla quello incidente. È la stessa situazione di una linea chiusa in corto circuito.

Esempio. Con $E_0^i = 1\ \mathrm{V/m}$ nel vuoto: $E_0^r = -1\ \mathrm{V/m}$ , $E_0^t = 0$ e $|J_S| = 2 \cdot 1/377 \approx 5{,}3\ \mathrm{mA/m}$ .

Formula (onda stazionaria davanti a un conduttore perfetto). Campo nel mezzo 1. Con $\bar E^r=-\hat xE_0^ie^{+jk_1z}$ :

$\bar E_1(z)=\hat xE_0^i\left(e^{-jk_1z}-e^{+jk_1z}\right)=-2j\hat xE_0^i\sin k_1z,\qquad\bar H_1(z)=\hat y\frac{E_0^i}{\eta_1}\left(e^{-jk_1z}+e^{+jk_1z}\right)=2\hat y\frac{E_0^i}{\eta_1}\cos k_1z.$

Nel dominio del tempo, con $E_0^i=|E_0|e^{j\phi_0}$ :

$\bar e_1(z,t)=2|E_0|\sin k_1z\,\sin(\omega t+\phi_0)\,\hat x,\qquad\bar h_1(z,t)=\frac{2|E_0|}{\eta_1}\cos k_1z\,\cos(\omega t+\phi_0)\,\hat y.$

Esempio. Onda piana nel vuoto con $E_0^i=1$ V/m e $f=1$ GHz ( $\lambda=30$ cm) su un conduttore perfetto: nodi di $E$ a $0$ , $-15$ , $-30$ cm, ...; ventri di $E$ (valore $2$ V/m) a $-7{,}5$ cm, $-22{,}5$ cm, ...; densità di corrente superficiale $|J_S|=\dfrac{2\cdot1}{377}=5{,}3$ mA/m.

5. Antenne e collegamenti radio

Dipolo elementare - campo irradiato e campo lontano

Formula (campo lontano del dipolo elementare). Campo lontano ( $R\gg\lambda$ , cioè $kR\gg1$ ): sopravvivono solo i termini in $\frac1R$ :

$\boxed{E_\theta\simeq\frac{j\eta kI\Delta z}{4\pi}\sin\theta\,\frac{e^{-jkR}}R,\qquad E_R\simeq0,\qquad H_\varphi\simeq\frac{E_\theta}{\eta}=\frac{jkI\Delta z}{4\pi}\sin\theta\,\frac{e^{-jkR}}R}$

Esempio (condizione di campo lontano). A $f=1$ GHz $\lambda=30$ cm: già a $R=50$ m si ha $R/\lambda=167\gg1$ , campo lontano pienamente giustificato.

Formula (potenza irradiata dal dipolo elementare). La potenza complessa attraverso una sfera di raggio $R$ si calcola integrando il flusso di $\bar S$ : $P_{rad}+jQ_{rad}=\oint\bar S\cdot\hat R\,dA=\frac12\int_0^{2\pi}\!d\varphi\int_0^\pi E_\theta H_\varphi^*R^2\sin\theta\,d\theta$ . Con le espressioni complete e $\int_0^\pi\sin^3\theta\,d\theta=\frac43$ :

$P_{rad}+jQ_{rad}=\frac{\pi}{3}\eta|I|^2\left(\frac{\Delta z}\lambda\right)^2\left[1-\frac{j}{(kR)^3}\right].$

La parte attiva

$\boxed{P_{rad}=\frac\pi3\,\eta\,|I|^2\left(\frac{\Delta z}\lambda\right)^2}$

Esempio. Dipolo con $\Delta z=1$ mm, $|I|=100$ mA, $f=1$ GHz ( $\lambda=0{,}3$ m, $\Delta z/\lambda=\frac1{300}$ ): $P_{rad}=\dfrac\pi3\cdot376{,}7\cdot0{,}01\cdot\left(\dfrac1{300}\right)^2=4{,}4\cdot10^{-5}$ W $=43{,}8\ \mu$ W. A $R=100$ m il campo massimo è $|E_\theta|=\dfrac{\eta kI\Delta z}{4\pi R}=\dfrac{376{,}7\cdot20{,}94\cdot0{,}1\cdot10^{-3}}{4\pi\cdot100}=0{,}63$ mV/m. La corrispondente resistenza di radiazione (resistenza fittizia $R_{rad}$ tale che $P_{rad}=\frac12R_{rad}|I|^2$ ) è $\dfrac{2\pi}3\eta\left(\dfrac{\Delta z}{\lambda}\right)^2=0{,}0088\ \Omega$ : molto piccola perché $\Delta z/\lambda\ll1$ (Parametri d'antenna - diagramma, direttività, guadagno e resistenza di radiazione).

Formula (rapporto fra i campi in due punti in campo lontano). In campo lontano $|\bar E|=\dfrac{K\sin\theta}R$ con $K$ costante: per due punti $Q_1$ e $Q_2$

$\frac{|\bar E(Q_2)|}{|\bar E(Q_1)|}=\frac{R_1}{R_2}\cdot\frac{\sin\theta_2}{\sin\theta_1},$

Esempio 1 (tema d'esame). Dipolo elementare lungo $\hat x$ , $f=1$ GHz, $|\bar E(Q_1)|=0{,}8$ V/m in $Q_1=(0,50,0)$ m. Quanto vale il campo in $Q_2=(0,100,100)$ m? Entrambi i punti hanno $x=0$ : stanno nel piano $yz$ , perpendicolare all'asse del dipolo: $\sin\theta=1$ in entrambi. $R_1=50$ m, $R_2=\sqrt{100^2+100^2}=141{,}4$ m: $|\bar E(Q_2)|=0{,}8\cdot\dfrac{50}{141{,}4}=0{,}283$ V/m. (Con $R\gg\lambda=0{,}3$ m il campo lontano vale.)

Grafico interattivo: Campo lontano di un dipolo elementare nel piano perpendicolare all'asse (θ = 90°): |E| = K/R; con 0,8 V/m a 50 m si ha 0,283 V/m a 141,4 m

Parametri d'antenna - diagramma, direttività, guadagno e resistenza di radiazione

Definizione (intensità di radiazione normalizzata). Si fissa una distanza $R$ grande e si considera la densità di potenza $S(R,\theta,\varphi)$ nelle diverse direzioni. L'intensità di radiazione normalizzata è

$F(\theta,\varphi)=\frac{S(R,\theta,\varphi)}{S_{MAX}}\qquad(0\le F\le1,\ \text{indipendente da }R).$

Esempio. Per il dipolo elementare $F = \sin^2\theta$ : a $\theta = 45^\circ$ si ha $F = 0{,}5$ ( $-3\ \mathrm{dB}$ ), a $\theta = 0$ si ha $F = 0$ .

Grafico interattivo

Definizione (direttività). La direttività $D$ è il rapporto fra il massimo dell'intensità di radiazione normalizzata ( $F_{MAX}=1$ per definizione) e il suo valor medio sulla sfera:

$D=\frac{F_{MAX}}{F_{av}}=\frac{4\pi}{\iint_{4\pi}F(\theta,\varphi)\,d\Omega}\ \ge1.$

Esempio. Per il dipolo elementare ( $F = \sin^2\theta$ ): $\iint F\,d\Omega = 8\pi/3$ e $D = 4\pi/(8\pi/3) = 1{,}5$ , cioè $1{,}76\ \mathrm{dB}$ .

Formula equivalente. Poiché $S=S_{MAX}F$ e la potenza irradiata è $P_{rad}=\iint S\,R^2d\Omega=S_{MAX}R^2\iint F\,d\Omega$ , risulta

$\boxed{D=\frac{4\pi R^2\,S_{MAX}}{P_{rad}}=\frac{S_{MAX}}{P_{rad}/(4\pi R^2)}}$

cioè $D$ è il rapporto fra la densità di potenza massima e quella che avrebbe un'antenna isotropa con la stessa potenza irradiata ( $\frac{P_{rad}}{4\pi R^2}$ ).

Esempio. Con $P_{rad} = 100\ \mathrm W$ , $R = 100\ \mathrm m$ e $S_{MAX} = 2{,}4\ \mathrm{mW/m^2}$ : $D = \frac{4\pi \cdot 10^{4} \cdot 2{,}4 \cdot 10^{-3}}{100} \approx 3$ .

Definizione (rendimento e legame fra guadagno e direttività). Non tutta la potenza fornita viene irradiata: una parte si dissipa nei conduttori. Il rendimento è $\xi=\dfrac{P_{rad}}{P_t}\le1$ , e quindi

$\boxed{G=\xi D}$

Esempio. Con $D = 10\ \mathrm{dB}$ ( $10$ ) e $\xi = 0{,}8$ : $G = \xi D = 8$ , cioè $9\ \mathrm{dB}$ .

Formula (campo nella direzione di massima irradiazione). Noti $G$ e $P_t$ : $S_{MAX}=\dfrac{G\,P_t}{4\pi R^2}$ e, poiché $S_{MAX}=\dfrac{|E_{MAX}|^2}{2\eta}$ (Vettore di Poynting e potenza dell'onda piana), il campo nella direzione di massimo è

$|E_{MAX}(R)|=\sqrt{2\eta S_{MAX}}=\frac1R\sqrt{\frac{\eta\,G\,P_t}{2\pi}}=\frac{\sqrt{60\,G\,P_t}}{R}\quad(\text{nel vuoto, }\eta=120\pi).$

Esempio. Un'antenna con $G=3$ dB ( $\approx2$ ) alimentata con $P_t=10$ W: a $R=10$ m $|E_{MAX}|=\dfrac{\sqrt{60\cdot2\cdot10}}{10}=\dfrac{\sqrt{1200}}{10}=3{,}46$ V/m. Al contrario, se a $R=100$ m si misura $|E_{MAX}|=0{,}3$ V/m con $P_t=5$ W, $G=\dfrac{(|E|R)^2}{60P_t}=\dfrac{30^2}{60\cdot5}=3$ . Se un'antenna con $G=6$ dB ( $3{,}98$ ) produce $0{,}1$ V/m a $100$ m: $P_t=\dfrac{(0{,}1\cdot100)^2}{60\cdot3{,}98}=0{,}419$ W (con $G\approx4$ : $0{,}417$ W).

Definizione (resistenza di radiazione e rendimento). Nello schema equivalente di un'antenna in trasmissione (vista ai morsetti) si hanno una resistenza di radiazione $R_{rad}$ , una resistenza di dissipazione $R_{diss}$ (perdite nei conduttori e nel dielettrico) e una reattanza $jX$ (potenza reattiva immagazzinata nel campo vicino), tutte percorse dalla corrente $I$ :

$P_{rad}=\frac12R_{rad}|I|^2,\qquad P_t=\frac12\left(R_{rad}+R_{diss}\right)|I|^2,\qquad\xi=\frac{R_{rad}}{R_{rad}+R_{diss}}.$

Esempio. Con $R_{rad} = 72\ \Omega$ e $R_{diss} = 1{,}77\ \Omega$ : $\xi = 72/(72 + 1{,}77) = 0{,}976$ .

Antenne filiformi - dipolo corto e dipolo a mezz'onda

Formula (campo lontano di un'antenna filiforme: integrale di radiazione). e il campo totale è l'integrale lungo il filo. In campo lontano $s\approx R$ nel denominatore (non cambia l'ampiezza) e $\theta_s\approx\theta$ , mentre nella fase serve un'approssimazione più fine perché varia su scala $\lambda$ : $s\approx R-z\cos\theta$ . Quindi

$E_\theta=\frac{jk\eta}{4\pi}\sin\theta\,\frac{e^{-jkR}}R\int_{-l/2}^{l/2}I(z)\,e^{jkz\cos\theta}\,dz.$

Esempio. Con corrente costante $I$ su un filo di lunghezza $\Delta z \ll \lambda$ l'integrale vale $I\,\Delta z$ e si ritrova il dipolo elementare; con corrente triangolare di picco $I_0$ vale $I_0\,l/2$ .

Formula (distribuzione di corrente su un'antenna filiforme). Passando alla coordinata $z$ dell'antenna ( $x=|z|-\frac l2$ per qualsiasi $z$ , con $z=0$ al centro dove c'è il generatore):

$\boxed{I(z)=-I_0\frac{\sin\beta\left(|z|-l/2\right)}{\sin(\beta l/2)}}$

valida per un'antenna di lunghezza qualsiasi. $\beta=\frac{2\pi}\lambda$ .

Esempio. Per $l = \lambda/2$ si ha $I(z) = I_0\cos\beta z$ : massima ( $I_0$ ) al centro e nulla agli estremi $z = \pm\lambda/4$ .

Definizione (dipolo corto: corrente triangolare). È la realizzazione fisica del dipolo elementare: il generatore sta al centro (nel gap) e la corrente decade a zero agli estremi. Per $\beta l\ll1$ , $\sin\beta x\approx\beta x$ e la distribuzione diventa lineare, triangolare:

$I(z)\approx I_0\left(1-\frac{2|z|}l\right).$

Esempio. Con $l = 2\ \mathrm{cm}$ e $I_0 = 100\ \mathrm{mA}$ : la corrente scende da $100\ \mathrm{mA}$ al centro a $50\ \mathrm{mA}$ in $z = l/4 = 5\ \mathrm{mm}$ e a $0$ agli estremi.

Formula (potenza irradiata e resistenza di radiazione del dipolo corto). Il diagramma è $F=\sin^2\theta$ e la direttività $D=1{,}5$ (come il dipolo elementare). La potenza irradiata e la resistenza di radiazione si ottengono dalle formule del dipolo elementare con $\Delta z\to\frac l2$ :

$P_{rad}=\frac\pi3\eta|I_0|^2\left(\frac l{2\lambda}\right)^2,\qquad R_{rad}=\frac{2\pi}{3}\eta\left(\frac l{2\lambda}\right)^2=20\pi^2\left(\frac l\lambda\right)^2\ \Omega.$

Esempio 1 (CB a 27 MHz). $l=70$ cm, $f=27$ MHz ( $\lambda=11{,}11$ m), $I_0=100$ mA, rendimento $\xi=0{,}06$ . $\frac l{2\lambda}=0{,}0315$ : $P_{rad}=\frac\pi3\cdot376{,}7\cdot0{,}01\cdot(0{,}0315)^2=3{,}9$ mW; $P_t=\dfrac{P_{rad}}\xi=65$ mW; $R_{rad}=\frac{2\pi}3\cdot376{,}7\cdot(0{,}0315)^2=0{,}78\ \Omega$ e $R_{diss}=R_{rad}\dfrac{1-\xi}\xi=12{,}2\ \Omega$ . Un'antenna corta irradia male per due motivi: il piccolo rapporto $l/\lambda$ e il rendimento di solito basso (la resistenza di radiazione è molto più piccola di quella dissipata).

Proprietà (dipolo a mezz'onda: corrente cosinusoidale, direttività e resistenza di radiazione). Con $\beta l/2=\pi/2$ : $I(z)=-I_0\sin\left(\beta|z|-\frac\pi2\right)=I_0\cos\beta z$ , distribuzione cosinusoidale (massima al centro). L'integrale di radiazione non è banale e se ne forniscono i risultati: diagramma $F(\theta)=\left[\dfrac{\cos\left(\frac\pi2\cos\theta\right)}{\sin\theta}\right]^2$ (poco diverso da $\sin^2\theta$ , con apertura a metà potenza $78^\circ$ invece di $90^\circ$ ), direttività $D\simeq1{,}64$ ( $2{,}15$ dB), resistenza di radiazione $R_{rad}\simeq72\ \Omega$ (vicina all'impedenza dei cavi usuali: facile da adattare), rendimento tipicamente alto (per esempio a $2{,}441$ GHz, antenna di WiFi lunga circa $5$ cm: $\xi=0{,}976$ , $R_{diss}=1{,}77\ \Omega$ ).

Esempio 4 (la stessa antenna a due frequenze). Dipolo lungo $15$ cm con $|I_0|=50$ mA. A $1$ GHz è a mezz'onda ( $\lambda=30$ cm): $P_{rad}=\frac12R_{rad}|I_0|^2=\tfrac12\cdot72\cdot0{,}05^2=90$ mW. A $10$ MHz ( $\lambda=30$ m, $l/\lambda=0{,}005$ ) è corta: $P_{rad}=\frac\pi3\eta|I_0|^2\left(\frac{l}{2\lambda}\right)^2=394{,}5\cdot0{,}0025\cdot(0{,}0025)^2=6{,}2\ \mu$ W: circa quindicimila volte meno (con la stessa corrente), perché la resistenza di radiazione scende da $72\ \Omega$ a $R_{rad}=20\pi^2(0{,}005)^2=4{,}9\ \text{m}\Omega$ : a bassa frequenza una corrente data su un'antenna corta irradia pochissima potenza.

Grafico interattivo: Distribuzione di corrente normalizzata I(z)/I₀ lungo un dipolo di lunghezza l, in funzione di z/l: corto (triangolare), a mezz'onda (coseno) e lungo λ (nulla in ingresso)

Area efficace, antenne a parabola e formula di Friis

Definizione (area efficace di un'antenna ricevente). Si definisce area efficace dell'antenna ricevente

$A_e=\frac{P_{rec}}{|\bar E_i|^2/(2\eta)}=\frac{P_{rec}}{S_i}\qquad[\mathrm{m^2}],$

dove $P_{rec}$ è la potenza trasferita al ricevitore nelle condizioni di massimo (puntamento, polarizzazione, adattamento) e $|\bar E_i|$ è il campo elettrico dell'onda incidente (quello che c'è nella posizione dell'antenna ricevente ma in sua assenza). Poiché a grande distanza il campo è un'onda piana uniforme, il modulo del campo è costante su tutta l'area dell'antenna ricevente. Con puntamento ottimale la densità di potenza incidente è quella massima della trasmittente, $S_{MAX}=\dfrac{G_TP_t}{4\pi R^2}$ , quindi

$P_{rec}=A_e\,S_{MAX}=A_e\frac{G_TP_t}{4\pi R^2}.$

Esempio. Con una densità di potenza incidente $S_i = 1\ \mu\mathrm{W/m^2}$ e $A_e = 0{,}002\ \mathrm{m^2}$ : $P_{rec} = A_e S_i = 2\ \mathrm{nW}$ .

Formula (area efficace e guadagno). Poiché le due antenne sono qualsiasi, il rapporto fra area efficace e guadagno non dipende dal tipo di antenna (a frequenza fissata). Il calcolo per il dipolo elementare dà

$\boxed{A_e=G\,\frac{\lambda^2}{4\pi}}\qquad\left(\Rightarrow\ G=\frac{4\pi A_e}{\lambda^2}\right).$

Esempio. Dipolo a mezz'onda ( $G = 1{,}64$ ) a $900\ \mathrm{MHz}$ ( $\lambda = 0{,}333\ \mathrm m$ ): $A_e = 1{,}64 \cdot 0{,}111/(4\pi) \approx 0{,}0145\ \mathrm{m^2}$ .

Formula di Friis (potenza ricevuta in un collegamento radio). Sostituendo: $P_{rec}=A_{eR}\dfrac{G_TP_t}{4\pi R^2}=G_R\dfrac{\lambda^2}{4\pi}\cdot\dfrac{G_TP_t}{4\pi R^2}$ , cioè

$\boxed{P_{rec}=P_t\,G_T\,G_R\left(\frac{\lambda}{4\pi R}\right)^2}$

Esempio. Con $P_t = 0{,}1\ \mathrm W$ , $G_T = G_R = 1{,}64$ , $R = 1\ \mathrm{km}$ e $\lambda = 0{,}333\ \mathrm m$ : $P_{rec} = 0{,}1 \cdot 1{,}64^2 \cdot \left(\frac{0{,}333}{4\pi \cdot 1000}\right)^2 \approx 0{,}19\ \mathrm{nW}$ .

Grafico interattivo: Attenuazione di spazio libero A_sl = (4πR/λ)² in dB in funzione della distanza (asse logaritmico) a 1 GHz e a 10 GHz: +20 dB ogni decade di distanza e +20 dB ogni decade di frequenza

Formula (area efficace e guadagno di una parabola). Antenne ad apertura (parabole): l'antenna ha un diametro $d\gg\lambda$ e cattura la densità di potenza che incide sull'area di bocca $\dfrac{\pi d^2}{4}$ moltiplicata per un rendimento $\xi_G$ (frazione rispetto al caso ideale):

$A_e=\xi_G\frac{\pi d^2}{4},\qquad G=\frac{4\pi A_e}{\lambda^2}=\xi_G\left(\frac{\pi d}{\lambda}\right)^2.$

Esempio. Parabola di $d = 1\ \mathrm m$ a $12\ \mathrm{GHz}$ ( $\lambda = 2{,}5\ \mathrm{cm}$ ) con $\xi_G = 0{,}6$ : $A_e = 0{,}6 \cdot 0{,}785 = 0{,}47\ \mathrm{m^2}$ e $G = 0{,}6\,(\pi d/\lambda)^2 \approx 9{,}5 \cdot 10^{3}$ , cioè circa $39{,}8\ \mathrm{dB}$ .

6. Radioprotezione

Radioprotezione - effetti dei campi elettromagnetici e SAR

Definizione (rischio assoluto e rischio relativo). Il rischio assoluto è $RA=\dfrac{a}{a+b}$ (frazione di malati fra gli esposti) e il rischio relativo

$RR=\frac{a/(a+b)}{c/(c+d)}.$

Esempio. Su 1000 esposti si ammalano 30 ( $a=30$ , $b=970$ ) e su 1000 non esposti 10 ( $c=10$ , $d=990$ ): $RA=3\%$ per gli esposti, $1\%$ per i non esposti, $RR=\dfrac{0{,}03}{0{,}01}=3$ . Studi sull'uso dei cellulari: lo studio INTERPHONE trovò $RR=1{,}4$ con CI 95% di 1,03-1,89 solo per l'uso cumulativo oltre $1640$ ore; uno studio sull'intera popolazione danese $RR=1$ . Il rapporto 2019 dell'Istituto Superiore di Sanità conclude che i dati disponibili non suggeriscono un aumento del rischio di tumori cerebrali per l'uso comune del cellulare, con qualche incertezza sull'uso molto intenso dei telefoni di prima e seconda generazione (potenze di emissione maggiori).

Definizione (SAR, tasso specifico di assorbimento). In un materiale con perdite ( $\sigma\neq0$ ) l'onda dissipa potenza per effetto Joule (Vettore di Poynting e potenza dell'onda piana): la densità di potenza dissipata per unità di volume è $P_{diss}=\frac12\sigma|\bar E|^2=\sigma|\bar E|^2_{rms}$ (W/m³). La grandezza dosimetrica di riferimento è il SAR (specific absorption rate), la potenza assorbita per unità di massa:

$\boxed{SAR(\bar r)=\frac{\sigma(\bar r)\,|\bar E(\bar r)|^2_{rms}}{\rho(\bar r)}\quad(\text{W/kg})}$

con $\rho$ la densità di massa (circa $1000$ kg/m³ per i tessuti) e $E_{rms}=|\bar E|/\sqrt2$ il valore efficace. Il SAR è locale; per motivi pratici si definiscono SAR medi su volumi: $SAR_V=\dfrac{\int_V\sigma|\bar E|^2_{rms}dV}{\int_V\rho\,dV}$ (potenza assorbita nel volume fratto la massa). Volumi tipici: $1$ g ( $SAR_{1g}$ ), $10$ g ( $SAR_{10g}$ ), la testa, il corpo intero ( $SAR_{WB}$ ). I limiti: in Europa (CENELEC) $2$ W/kg su $10$ g di tessuto; negli Stati Uniti $1{,}6$ W/kg su $1$ g.

Esempio. In un tessuto con $\sigma=0{,}9$ S/m e $\rho=1000$ kg/m³, un campo efficace $E_{rms}=50$ V/m dà $SAR=\dfrac{0{,}9\cdot50^2}{1000}=2{,}25$ W/kg, oltre il limite europeo. Senza dispersione di calore la temperatura sale a $\dfrac{dT}{dt}=\dfrac{SAR}{c}$ , con $c\approx3500$ J/(kg·K) il calore specifico del tessuto: a $2$ W/kg in $6$ minuti ( $360$ s) $\Delta T=\dfrac{2\cdot360}{3500}=0{,}2$ K (la termoregolazione del corpo, in particolare dove il sangue circola, limita ulteriormente l'aumento; gli occhi, poco vascolarizzati, scaldano più facilmente).

Formula (distanza oltre la quale il campo scende sotto una soglia). Con la formula del campo nella direzione di massimo (Parametri d'antenna - diagramma, direttività, guadagno e resistenza di radiazione) $|E_{MAX}|=\dfrac{\sqrt{60\,G\,P_t}}{R}$ (nel vuoto), la distanza oltre la quale il campo scende sotto una soglia $E_0$ è

$R=\frac{\sqrt{60\,G\,P_t}}{E_0}=\sqrt{\frac{\eta\,G\,P_t}{2\pi}}\cdot\frac1{E_0}.$

Esempio (dalle slide). Un pannello di antenna a $900$ MHz ( $\lambda=0{,}333$ m), area $20\times100$ cm $^2$ , potenza trasmessa $P_t=20$ W. Approssimando l'area efficace con quella geometrica ( $A_e=0{,}2$ m $^2$ ): $G=\dfrac{4\pi A_e}{\lambda^2}=22{,}6$ ( $13{,}5$ dB); $\sqrt{60GP_t}=\sqrt{60\cdot22{,}6\cdot20}=164{,}7$ . Il campo scende sotto $6$ V/m a $R=\dfrac{164{,}7}{6}=27{,}5$ m e sotto $15$ V/m a $R=\dfrac{164{,}7}{15}=11{,}0$ m (nel massimo del diagramma; fuori asse il campo è minore). Si noti il vantaggio di una soglia più alta: la distanza si riduce a meno della metà. (Come nelle slide, il valore calcolato — ampiezza di picco — è confrontato direttamente con la soglia; se la soglia fosse un valore efficace bisognerebbe usare $E_{rms}=|E_{MAX}|/\sqrt2$ e le distanze si ridurrebbero di $\sqrt2$ .)