Esercizio 16carico RC serie dal grafico della corrente (tema d'esame 23 giugno 2025)

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Teoria usata: Regime istantaneo - impulsi e riconoscimento del carico dal graficola linea è un sistema lineare: un impulso rettangolare di durata $T^$ e ampiezza $V^+$ è la somma di un gradino $+V^+$ e di un gradino $-V^+$ ritardato di $T^$, quindi si usa la sovrapposizione degli effettiin un sistema lineare la risposta a più segnali è la somma delle risposte a ciascuno. Con carico resistivo l'impulso riflesso ha la stessa forma, ampiezza $\Gamma_LV^+$; se l'impulso è lungo ($T^>2T$ al generatore) incidente e riflesso si sovrappongono e si sommano. Con carichi reattivi la risposta all'impulso è la differenza fra la risposta al gradino e la stessa ritardata di $T^$. Riconoscere il carico (generatore adattato): da $V^+$ e dai due valori $v_0$ (subito dopo l'arrivo della riflessa) e $v_\infty$ (finale) si ottiene $\Gamma_0=\frac{v_0}{V^+}-1$ e $\Gamma_\infty=\frac{v_\infty}{V^+}-1$. $v_0=0$: C in parallelo ($v_\infty=2V^+$: C pura); $v_0=2V^+$: L in serie ($v_\infty=0$: L pura); $0<v_0<2V^+$ e $v_\infty=2V^+$: RC serie ($R$ da $v_0$); $0<v_0<2V^+$ e $v_\infty=0$: RL parallelocarico con resistenza e induttore in parallelo ($R$ da $v_0$). Per RC parallelo e RL serie $R$ si ricava da $v_\infty=2V^+\frac{R}{R+Z_0}$. Le distanze si ricavano dai tempi: $L_1=cT_1$, $2T-T_1$ è l'arrivo della riflessa.Regime istantaneo - impulsi e riconoscimento del carico dal grafico →, Regime istantaneo - carichi reattivi RC e RLun carico con condensatori o induttori deforma il gradino riflesso. Finché non arrivano altre riflessioni (generatore adattato), la linea vista dal carico equivale a un generatore $2V^+=V_0$ in serie con $Z_0$: la tensione sul carico per $t'$ (tempo dall'arrivo del gradino) è $v_L(t')=v_\infty+(v_0-v_\infty)e^{-t'/\tau}$. All'inizio un condensatore è un corto circuito e un induttore un circuito aperto; a regime il contrario. RC serie: $v_0=2V^+\frac R{R+Z_0}$, $v_\infty=2V^+$, $\tau=C(R+Z_0)$. RC parallelo: $v_0=0$, $v_\infty=2V^+\frac R{R+Z_0}$, $\tau=\frac{CRZ_0}{R+Z_0}$. RL serie: $v_0=2V^+$, $v_\infty=2V^+\frac R{R+Z_0}$, $\tau=\frac L{R+Z_0}$. RL parallelo: $v_0=2V^+\frac R{R+Z_0}$, $v_\infty=0$, $\tau=\frac{L(R+Z_0)}{RZ_0}$. C pura: $\tau=Z_0C$; L pura: $\tau=L/Z_0$. Dal grafico: $v_0$ dice se il carico parte da corto, aperto o resistenza; $v_\infty$ dice com'è a regime; $\tau=\frac{t_2-t_1}{\ln\frac{v_1-v_\infty}{v_2-v_\infty}}$ dà il valore di $C$ o $L$.Regime istantaneo - carichi reattivi RC e RL →.

Lettura del grafico (corrente)

Per la corrente i coefficienti hanno segno opposto: l'onda riflessa di corrente è $-\Gamma I^+$, quindi la corrente totale subito dopo l'arrivo della riflessa è $i_0=I^+(1-\Gamma_0)$ e a regime $i_\infty=I^+(1-\Gamma_\infty)$.

• Dopo il primo gradino, $i_1=150$ mA $=I^+$. Non ci sono riflessioni multiple: il generatore è adattato, $Z_G=50\ \Omega$ e $V^+=Z_0I^+$.
• A $t_2$ la corrente passa a $i_2=200$ mA: $i_0=200=150\,(1-\Gamma_0)\Rightarrow\Gamma_0=1-\dfrac{200}{150}=-\dfrac13$. Un valore intermedio (né $-1$ né $+1$) indica che il carico inizialmente è una resistenza $R$ con $\dfrac{R-50}{R+50}=-\dfrac13$, cioè $R=\mathbf{25\ \Omega}$.
• A regime $i_\infty=0$: $\Gamma_\infty=1-0=+1$ (aperto): il carico non lascia passare corrente continua. Un elemento che a regime è un aperto è un condensatore; poiché all'inizio il carico appare una sola resistenza ($\Gamma_0$ intermedio) il condensatore è in serie con la resistenza.

Dunque il carico è un RC serie con $R=25\ \Omega$: risposta 12: a; risposta 13: b.

Risposte aggiuntive

• Distanze. Il primo gradino arriva in $L_1$ a $T_1=t_1=200$ ns: $L_1=vT_1=1{,}8\cdot10^8\cdot200\cdot10^{-9}=\mathbf{36}$ m. La riflessa arriva a $t_2=2T-T_1$, quindi $2T=t_1+t_2=600$ ns, $T=300$ ns e $L=vT=1{,}8\cdot10^8\cdot300\cdot10^{-9}=\mathbf{54}$ m.
• Tensione a vuoto. $V^+=Z_0I^+=50\cdot0{,}150=7{,}5$ V e, con generatore adattato, $V_0=2V^+=\mathbf{15}$ V.
• Capacità. Dopo $t_2$ la corrente è $i(t')=i_\infty+(i_0-i_\infty)e^{-t'/\tau}=0{,}2\,e^{-t'/\tau}$ A. Se scende al $37\%$ (cioè a $1/e$) dopo $300$ ns, $\tau=300$ ns. Per l'RC serie $\tau=C(R+Z_0)$: $C=\dfrac{\tau}{R+Z_0}=\dfrac{300\cdot10^{-9}}{75}=\mathbf4$ nF.

Verifica con la tensione

Stesso circuito: con $V^+=7{,}5$ V e $\Gamma_0=-\frac13$ la tensione sul carico subito dopo l'arrivo vale $V^+(1+\Gamma_0)=5$ V ($=I_0R=0{,}2\cdot25$ ✓), e a regime $2V^+=15$ V (condensatore carico, nessuna corrente). La tensione sul carico sale da $5$ V a $15$ V con costante di tempo $\tau=300$ ns, e la corrente $i_L=\dfrac{15-v_L}{50}$ scende da $0{,}2$ A a $0$.

Errori comuni

• Per la corrente, usare $\Gamma=\dfrac{i}{I^+}-1$ invece di $\Gamma=1-\dfrac{i}{I^+}$: il segno è opposto.
• Scambiare RC serie con RC parallelo: nel parallelo, subito dopo la riflessa la corrente sarebbe $2I^+$ (il condensatore è un corto, $\Gamma_0=-1$, $i_0=I^+(1-(-1))=2I^+=300$ mA).
• Confondere $I^+$ con la corrente del generatore a vuoto: $I^+=\frac{V_0}{Z_G+Z_0}$.