Esercizio 3tensione e corrente sul carico e massimi e minimi con carico complesso (Moodle)

---

Teoria usata: Onda progressiva, stazionaria e parzialmente stazionaria - massimi, minimi e ROSil modulo della tensione lungo la linea è $|V(-l)|=|V^+|,\left|1+|\Gamma_L|e^{j(\varphi_L-2\beta l)}\right|$ e quello della corrente $|I(-l)|=\frac{|V^+|}{Z_0}\left|1-|\Gamma_L|e^{j(\varphi_L-2\beta l)}\right|$. Se $\Gamma_L=0$ l'onda è progressiva (modulo costante); se $|\Gamma_L|=1$ è stazionaria (nodi e ventri fissi, tempo e spazio separati); altrimenti è parzialmente stazionariasomma di un'onda progressiva e di un'onda stazionaria, quando la riflessione è parziale (onda progressiva di ampiezza $|V^+|-|V^-|$ più onda stazionaria di ampiezza massima $2|V^-|$). I massimi di tensione (minimi di corrente) cadono dove $\varphi_L-2\beta l_M=2k\pi$, i minimi (massimi di corrente) dove $\varphi_L-2\beta l_m=(2k+1)\pi$; fra due massimi consecutivi c'è $\lambda/2$, fra un massimo e un minimo $\lambda/4$. $|V|{max}=|V^+|(1+|\Gamma|)$, $|V|{min}=|V^+|(1-|\Gamma|)$. Il rapporto d'onda stazionaria $S=\frac{|V|{max}}{|V|{min}}=\frac{1+|\Gamma|}{1-|\Gamma|}$ è reale, $\ge1$; nei massimi e minimi l'impedenza è reale: $Z=SZ_0$ nei massimi di tensione, $Z=Z_0/S$ nei minimi.Onda progressiva, stazionaria e parzialmente stazionaria - massimi, minimi e ROS →, Linee senza perdite - impedenza, coefficiente di riflessione e periodicitàin una linea senza perdite con carico in $z=0$ e generatore in $z=-L$, a distanza $l=-z$ dal carico $V(-l)=V^+e^{j\beta l}+V^-e^{-j\beta l}$ e $I(-l)=\frac{V^+e^{j\beta l}-V^-e^{-j\beta l}}{Z_0}$. Il coefficiente di riflessione sul carico è $\Gamma_L=\frac{V^-}{V^+}=\frac{Z_L-Z_0}{Z_L+Z_0}=|\Gamma_L|e^{j\varphi_L}$ e lungo la linea $\Gamma(-l)=\Gamma_Le^{-j2\beta l}$ (modulo costante, fase che gira all'indietro). L'impedenza in un punto è $Z(-l)=Z_0\frac{1+\Gamma(-l)}{1-\Gamma(-l)}$, cioè $Z(-l)=Z_0\frac{Z_L+jZ_0\tan\beta l}{Z_0+jZ_L\tan\beta l}$. Tensione e corrente hanno periodo $\lambda$, impedenza e $\Gamma$ hanno periodo $\lambda/2$; dopo $\lambda/4$ l'impedenza normalizzata diventa il suo inverso, $z(-l-\lambda/4)=1/z(-l)$. Casi particolari: adattato $\Gamma=0$, corto circuito $\Gamma=-1$, aperto $\Gamma=+1$, carico puramente reattivo $|\Gamma|=1$.Linee senza perdite - impedenza, coefficiente di riflessione e periodicità →.

Variante $Z_L=50+j100\ \Omega$

Dati preliminari. $\lambda=\dfrac{c_0}{f}=\dfrac{3\cdot10^8}{6\cdot10^8}=0{,}5$ m $=500$ mm. Coefficiente di riflessione sul carico:

$$\Gamma_L=\frac{Z_L-Z_C}{Z_L+Z_C}=\frac{j100}{100+j100}=\frac{j}{1+j}=\frac{j(1-j)}{2}=\frac{1+j}2=0{,}7071\,e^{j45^\circ}.$$

Il ROS è $S=\dfrac{1+0{,}7071}{1-0{,}7071}=5{,}83$.

1. $V_L=V^+(1+\Gamma_L)=10\,e^{j60^\circ}\cdot(1{,}5+j0{,}5)=10\,e^{j60^\circ}\cdot1{,}581\,e^{j18{,}4^\circ}=\mathbf{15{,}81\,e^{j78{,}4^\circ}}$ V.
2. $I_L=\dfrac{V^+(1-\Gamma_L)}{Z_C}=\dfrac{10\,e^{j60^\circ}(0{,}5-j0{,}5)}{50}=0{,}2\cdot0{,}7071\,e^{j(60^\circ-45^\circ)}=\mathbf{141{,}4\,e^{j15^\circ}}$ mA. Verifica: $\dfrac{V_L}{I_L}=\dfrac{15{,}81\,e^{j78{,}4^\circ}}{0{,}1414\,e^{j15^\circ}}=111{,}8\,e^{j63{,}4^\circ}=50+j100\ \Omega$ ✓.
3. Massimi di $|V|$: $\varphi_L-2\beta l_M=2k\pi\Rightarrow l_M=\dfrac\lambda{4\pi}\varphi_L-k\dfrac\lambda2=\dfrac{500\ \text{mm}\cdot45^\circ}{720^\circ}-k\cdot250\ \text{mm}$: $l_M=\mathbf{31{,}25}$ mm $+\,k\cdot250$ mm ($31{,}25$; $281{,}25$; $531{,}25$; ... mm: distanza minima dal carico $31{,}25$ mm).
4. $|V|_{max}=|V^+|(1+|\Gamma_L|)=10\cdot1{,}7071=\mathbf{17{,}07}$ V.
5. $|I|_{min}=\dfrac{|V^+|}{Z_C}(1-|\Gamma_L|)=0{,}2\cdot0{,}2929=\mathbf{58{,}6}$ mA.
6. Minimi di $|V|$: $l_m=l_M+\dfrac\lambda4=31{,}25+125=\mathbf{156{,}25}$ mm $+\,k\cdot250$ mm.
7. $|V|_{min}=|V^+|(1-|\Gamma_L|)=10\cdot0{,}2929=\mathbf{2{,}93}$ V.
8. $|I|_{max}=0{,}2\cdot1{,}7071=\mathbf{341{,}4}$ mA.

(Controllo: $|V|_{max}/|V|_{min}=17{,}07/2{,}93=5{,}83=S$ ✓. Nel massimo di tensione l'impedenza è reale, $SZ_C=291{,}4\ \Omega$ ✓.)

Variante $Z_L=50-j100\ \Omega$

$\Gamma_L=\dfrac{-j100}{100-j100}=\dfrac{-j}{1-j}=\dfrac{1-j}2=0{,}7071\,e^{-j45^\circ}$: stesso modulo e fase opposta; $S=5{,}83$ come prima (il modulo non cambia, cambiano solo le posizioni).

1. $V_L=10\,e^{j60^\circ}(1{,}5-j0{,}5)=10\,e^{j60^\circ}\cdot1{,}581\,e^{-j18{,}4^\circ}=\mathbf{15{,}81\,e^{j41{,}6^\circ}}$ V.
2. $I_L=0{,}2\,e^{j60^\circ}(0{,}5+j0{,}5)=\mathbf{141{,}4\,e^{j105^\circ}}$ mA.
3. $l_M=\dfrac{500\cdot(-45^\circ)}{720^\circ}+250=-31{,}25+250=\mathbf{218{,}75}$ mm $+\,k\cdot250$ mm (con $k=0$ il valore negativo $-31{,}25$ mm non è accettabile: si somma $\lambda/2$).
4. $|V|_{max}=\mathbf{17{,}07}$ V; 5. $|I|_{min}=\mathbf{58{,}6}$ mA.
5. $l_m=218{,}75-125=\mathbf{93{,}75}$ mm $+\,k\cdot250$ mm.
6. $|V|_{min}=\mathbf{2{,}93}$ V; 8. $|I|_{max}=\mathbf{341{,}4}$ mA.

Il primo massimo e il primo minimo si scambiano rispetto al caso precedente: un carico induttivo ($+j100$) ha il primo massimo di tensione vicino al carico ($\varphi_L>0$), uno capacitivo ($-j100$) lo ha a quasi $\lambda/2$.

Errori comuni

• Dare come primo massimo una distanza negativa: si deve sommare $\lambda/2$ finché è positiva.
• Dimenticare di moltiplicare per $|V^+|$: i valori sono $|V^+|(1\pm|\Gamma|)$.
• Scambiare $|I|_{min}$ con $|I|_{max}$: il massimo di tensione coincide con il minimo di corrente.