Esercizio 19costante di tempo, capacità di un carico RC e impulsi su una linea

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Teoria usata: Regime istantaneo - carichi reattivi RC e RLun carico con condensatori o induttori deforma il gradino riflesso. Finché non arrivano altre riflessioni (generatore adattato), la linea vista dal carico equivale a un generatore $2V^+=V_0$ in serie con $Z_0$: la tensione sul carico per $t'$ (tempo dall'arrivo del gradino) è $v_L(t')=v_\infty+(v_0-v_\infty)e^{-t'/\tau}$. All'inizio un condensatore è un corto circuito e un induttore un circuito aperto; a regime il contrario. RC serie: $v_0=2V^+\frac R{R+Z_0}$, $v_\infty=2V^+$, $\tau=C(R+Z_0)$. RC parallelo: $v_0=0$, $v_\infty=2V^+\frac R{R+Z_0}$, $\tau=\frac{CRZ_0}{R+Z_0}$. RL serie: $v_0=2V^+$, $v_\infty=2V^+\frac R{R+Z_0}$, $\tau=\frac L{R+Z_0}$. RL parallelo: $v_0=2V^+\frac R{R+Z_0}$, $v_\infty=0$, $\tau=\frac{L(R+Z_0)}{RZ_0}$. C pura: $\tau=Z_0C$; L pura: $\tau=L/Z_0$. Dal grafico: $v_0$ dice se il carico parte da corto, aperto o resistenza; $v_\infty$ dice com'è a regime; $\tau=\frac{t_2-t_1}{\ln\frac{v_1-v_\infty}{v_2-v_\infty}}$ dà il valore di $C$ o $L$.Regime istantaneo - carichi reattivi RC e RL →, Regime istantaneo - impulsi e riconoscimento del carico dal graficola linea è un sistema lineare: un impulso rettangolare di durata $T^$ e ampiezza $V^+$ è la somma di un gradino $+V^+$ e di un gradino $-V^+$ ritardato di $T^$, quindi si usa la sovrapposizione degli effettiin un sistema lineare la risposta a più segnali è la somma delle risposte a ciascuno. Con carico resistivo l'impulso riflesso ha la stessa forma, ampiezza $\Gamma_LV^+$; se l'impulso è lungo ($T^>2T$ al generatore) incidente e riflesso si sovrappongono e si sommano. Con carichi reattivi la risposta all'impulso è la differenza fra la risposta al gradino e la stessa ritardata di $T^$. Riconoscere il carico (generatore adattato): da $V^+$ e dai due valori $v_0$ (subito dopo l'arrivo della riflessa) e $v_\infty$ (finale) si ottiene $\Gamma_0=\frac{v_0}{V^+}-1$ e $\Gamma_\infty=\frac{v_\infty}{V^+}-1$. $v_0=0$: C in parallelo ($v_\infty=2V^+$: C pura); $v_0=2V^+$: L in serie ($v_\infty=0$: L pura); $0<v_0<2V^+$ e $v_\infty=2V^+$: RC serie ($R$ da $v_0$); $0<v_0<2V^+$ e $v_\infty=0$: RL parallelocarico con resistenza e induttore in parallelo ($R$ da $v_0$). Per RC parallelo e RL serie $R$ si ricava da $v_\infty=2V^+\frac{R}{R+Z_0}$. Le distanze si ricavano dai tempi: $L_1=cT_1$, $2T-T_1$ è l'arrivo della riflessa.Regime istantaneo - impulsi e riconoscimento del carico dal grafico →.

(a) RC parallelo

Generatore adattato: $V^+=\dfrac{V_0}2=10$ V. Per l'RC parallelo (Regime istantaneo - carichi reattivi RC e RLun carico con condensatori o induttori deforma il gradino riflesso. Finché non arrivano altre riflessioni (generatore adattato), la linea vista dal carico equivale a un generatore $2V^+=V_0$ in serie con $Z_0$: la tensione sul carico per $t'$ (tempo dall'arrivo del gradino) è $v_L(t')=v_\infty+(v_0-v_\infty)e^{-t'/\tau}$. All'inizio un condensatore è un corto circuito e un induttore un circuito aperto; a regime il contrario. RC serie: $v_0=2V^+\frac R{R+Z_0}$, $v_\infty=2V^+$, $\tau=C(R+Z_0)$. RC parallelo: $v_0=0$, $v_\infty=2V^+\frac R{R+Z_0}$, $\tau=\frac{CRZ_0}{R+Z_0}$. RL serie: $v_0=2V^+$, $v_\infty=2V^+\frac R{R+Z_0}$, $\tau=\frac L{R+Z_0}$. RL parallelo: $v_0=2V^+\frac R{R+Z_0}$, $v_\infty=0$, $\tau=\frac{L(R+Z_0)}{RZ_0}$. C pura: $\tau=Z_0C$; L pura: $\tau=L/Z_0$. Dal grafico: $v_0$ dice se il carico parte da corto, aperto o resistenza; $v_\infty$ dice com'è a regime; $\tau=\frac{t_2-t_1}{\ln\frac{v_1-v_\infty}{v_2-v_\infty}}$ dà il valore di $C$ o $L$.Regime istantaneo - carichi reattivi RC e RL →): $v_0=0$ (il condensatore è un corto), $v_\infty=2V^+\dfrac R{R+Z_0}=20\cdot\dfrac{150}{200}=\mathbf{15}$ V (valore finale) e

$$v(t')=15\left(1-e^{-t'/\tau}\right),\qquad\tau=C\,\frac{RZ_0}{R+Z_0}=C\cdot37{,}5\ \Omega.$$

Misura: $v=9$ V a $t'=2$ ns: $\dfrac9{15}=1-e^{-2/\tau}\Rightarrow e^{-2/\tau}=0{,}4\Rightarrow\tau=\dfrac{2}{\ln2{,}5}=\dfrac{2}{0{,}9163}=\mathbf{2{,}18}$ ns. La capacità è

$$C=\frac{\tau}{R\parallel Z_0}=\frac{2{,}18\cdot10^{-9}}{37{,}5}=\mathbf{58{,}2\ pF}.$$

Il tempo di salita $10\%$-$90\%$ vale $\tau\ln9\approx2{,}2\tau=\mathbf{4{,}8}$ ns (da $1{,}5$ V a $13{,}5$ V); il $20\%$-$80\%$: $1{,}386\tau=3{,}0$ ns.

(b) Condensatore ideale

Per la sola capacità $\tau=Z_0C$ e $v=2V^+\left(1-e^{-t'/\tau}\right)$. Il tempo di salita $20\%$-$80\%$ è $t_{80}-t_{20}=\tau\left[-\ln0{,}2+\ln0{,}8\right]=\tau\ln4=1{,}386\,\tau$:

$$\tau=\frac{0{,}69\ \text{ns}}{1{,}386}=0{,}498\ \text{ns},\qquad C=\frac{\tau}{Z_0}=\frac{0{,}498\cdot10^{-9}}{50}=\mathbf{9{,}96\approx10\ pF}.$$

Il tempo di salita $10\%$-$90\%$ sarebbe $2{,}2\tau=1{,}1$ ns.

(c) Impulsi su un carico resistivo

$V^+=\dfrac{16}2=8$ V, $T=\dfrac{24}{2\cdot10^8}=120$ ns, $\Gamma_L=\dfrac{10-50}{10+50}=-\dfrac23$, quindi la riflessa ha ampiezza $\Gamma_LV^+=-5{,}33$ V (segno opposto: carico quasi in corto).

Impulso breve, $T^*=60$ ns ($T^*<2T=240$ ns):

• Sul carico: $v_L=V^+(1+\Gamma_L)=8\cdot\frac13=2{,}67$ V da $T=120$ ns a $T+T^*=180$ ns; zero altrimenti.
• Al generatore: $+8$ V da $0$ a $60$ ns; poi $0$; la riflessa $-5{,}33$ V da $2T=240$ ns a $300$ ns. I due impulsi sono separati e si distinguono.

Impulso lungo, $T^*=400$ ns ($T^*>2T$): al generatore incidente e riflesso si sovrappongono:

• $0$-$240$ ns: $+8$ V (solo l'incidente);
• $240$-$400$ ns: incidente e riflesso insieme, $8-5{,}33=\mathbf{2{,}67}$ V;
• $400$-$640$ ns: solo la riflessa (l'incidente è finito), $\mathbf{-5{,}33}$ V;
• dopo $640$ ns: $0$.

Sul carico: $2{,}67$ V da $120$ a $520$ ns. In un impulso lungo si perde la possibilità di distinguere incidente e riflessa: si vede soltanto la somma $V^+(1+\Gamma_L)=2{,}67$ V.

Errori comuni

• Usare $\tau=RC$ (o $Z_0C$) per l'RC parallelo: la resistenza vista dal condensatore è $R\parallel Z_0=37{,}5\ \Omega$.
• Confondere il tempo di salita $10\%$-$90\%$ ($2{,}2\tau$) con quello $20\%$-$80\%$ ($1{,}386\tau$).
• Dimenticare che il segno dell'impulso riflesso è quello di $\Gamma_L$: con $R_L<Z_0$ l'impulso torna invertito.
• Aspettarsi che incidente e riflesso siano sempre distinti: servono $T^*<2T$ al generatore.