Equazioni di Maxwell, fasori ed equazioni di Helmholtz

** $\bar E(\bar r)$ con $\bar e(\bar r,t)=\Re\{\bar E(\bar r)e^{j\omega t}\}$ e le derivate nel tempo diventano moltiplicazioni per $j\omega$: $\nabla\times\bar E=-j\omega\mu\bar H$, $\nabla\times\bar H=j\omega\varepsilon\bar E+\bar J$. Con conducibilità $\sigma$ la permettività diventa complessa $\varepsilon_c=\varepsilon'-j\left(\varepsilon''+\frac\sigma\omega\right)$. In un mezzo omogeneo, isotropo, con $\sigma=0$, senza cariche e sorgenti, si ottengono le **equazioni di Helmholtz** $\nabla^2\bar E+k^2\bar E=0$, $\nabla^2\bar H+k^2\bar H=0$ con $k=\omega\sqrt{\mu\varepsilon}$ (rad/m); $\bar E$ e $\bar H$ restano legati dalle equazioni di Maxwell. Per le linee: $\frac{d^2V}{dz^2}+\beta^2V=0$ ($k\leftrightarrow\beta$). -->

Con questo capitolo comincia la seconda parte del corso, la propagazione in spazio liberomezzo omogeneo e indefinitamente esteso, senza ostacoli, in cui l'onda si propaga liberamente. Le onde che si propagano nello spazio, quelle che trasportano un segnale radio, sono soluzioni delle equazioni di Maxwell. Qui si richiamano gli strumenti matematici e si arriva alle equazioni d'onda (di Helmholtz) che governano tutto il resto. Non conviene perdersi nelle dimostrazioni: basta seguire il ragionamento a grandi linee e fissare bene le formule finali, che sono quelle che servono negli esercizi.

Operatori differenziali in coordinate cartesiane

Una funzione scalare $f(x,y,z)$ e un campo vettoriale $\bar A=\hat xA_x+\hat yA_y+\hat zA_z$ ($\hat x,\hat y,\hat z$ sono i versorivettori di modulo uno che indicano le direzioni degli assi, vettori di modulo 1 ortogonali fra loro) si trattano con quattro operatori:

Per ogni campo vettoriale valgono due identità: $\nabla\cdot(\nabla\times\bar A)=0$ e $\nabla\times(\nabla\times\bar A)=\nabla(\nabla\cdot\bar A)-\nabla^2\bar A$. La prima si dimostra scrivendo la divergenzagrandezza scalare che misura quanto il campo esce da un punto, come una sorgente del rotoregrandezza vettoriale che misura quanto il campo ruota attorno a un punto: $\frac\partial{\partial x}\left(\frac{\partial A_z}{\partial y}-\frac{\partial A_y}{\partial z}\right)+\frac\partial{\partial y}\left(\frac{\partial A_x}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial x}\right)+\frac\partial{\partial z}\left(\frac{\partial A_y}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial y}\right)$: i sei termini si cancellano a coppie per il teorema di Schwarzle derivate seconde miste di una funzione regolare non dipendono dall'ordine di derivazione (le derivate seconde miste sono uguali), per esempio $\frac{\partial^2A_z}{\partial x\partial y}-\frac{\partial^2A_z}{\partial y\partial x}=0$.

Le equazioni di Maxwell

I campi sono: $\bar{\mathcal E}$ campo elettrico (V/m), $\bar{\mathcal H}$ campo magnetico (A/m), $\bar{\mathcal D}$ spostamento elettrico (C/m²), $\bar{\mathcal B}$ induzione magnetica (T), $\bar j$ densità di corrente (A/m²), $\rho$ densità di carica (C/m³). Le quattro leggi, in forma locale (con gli operatori) e integrale, sono:

Per poterle risolvere servono le relazioni costitutiverelazioni che legano induzione magnetica a campo magnetico e spostamento elettrico a campo elettrico, e dipendono dal mezzo del mezzo: $\bar{\mathcal B}=\mu\bar{\mathcal H}$ e $\bar{\mathcal D}=\varepsilon\bar{\mathcal E}$. Nel vuoto $\mu=\mu_0=4\pi\cdot10^{-7}$ H/m e $\varepsilon=\varepsilon_0\approx8{,}854\cdot10^{-12}$ F/m; in un dielettrico non magnetico $\varepsilon=\varepsilon_r\varepsilon_0$ con $\varepsilon_r$ costante dielettrica relativa e $n=\sqrt{\varepsilon_r}$ indice di rifrazione.

Il regime sinusoidale: i fasori

Come per le linee, un campo sinusoidale alla pulsazione $\omega$ si rappresenta con un fasore (vettore complesso):

$$\bar e(\bar r,t)=\Re\left\{\bar E(\bar r)\,e^{j\omega t}\right\},\qquad\bar E=\hat xA_xe^{j\varphi_x}+\hat yA_ye^{j\varphi_y}+\hat zA_ze^{j\varphi_z},$$

con $A_{x,y,z}$ e $\varphi_{x,y,z}$ reali: nel dominio del tempo $\bar e=\hat xA_x\cos(\omega t+\varphi_x)+\hat yA_y\cos(\omega t+\varphi_y)+\hat zA_z\cos(\omega t+\varphi_z)$. Le ampiezze e le fasi dipendono dalla posizione $\bar r$. Nelle equazioni di Maxwellquattro leggi che descrivono i campi elettrici e magnetici e come si generano a vicenda:

• una derivata nel tempo diventa una moltiplicazione per $j\omega$: $\dfrac\partial{\partial t}\Re\{\bar Ee^{j\omega t}\}=\Re\{j\omega\bar Ee^{j\omega t}\}$;
• rotore e divergenza agiscono solo sulla parte spaziale (i fasori dipendono da $x,y,z$).

Le equazioni diventano

$$\nabla\times\bar E=-j\omega\mu\bar H,\quad\nabla\times\bar H=j\omega\varepsilon\bar E+\bar J,\quad\nabla\cdot\bar D=\rho,\quad\nabla\cdot\bar B=0.$$

Dimensione di $\omega\mu$ (domanda d'esame): da $\nabla\times\bar E=-j\omega\mu\bar H$, il primo membro ha dimensioni di (V/m)/m e $\bar H$ è in A/m, quindi $\omega\mu$ ha dimensioni $\dfrac{\text{V/m}^2}{\text{A/m}}=\dfrac{\text{V}}{\text{A}\cdot\text{m}}=\Omega/\text{m}$.

Mezzi con perdite. Se il mezzo ha conducibilità $\sigma\neq0$, la densità di corrente di conduzione $\bar J=\sigma\bar E$ si somma alla corrente di spostamento e l'equazione diventa $\nabla\times\bar H=j\omega\varepsilon\bar E+\sigma\bar E=j\omega\varepsilon_c\bar E$ con la permettività complessacostante dielettrica che include sia la polarizzazione sia le perdite per conduzione

$$\varepsilon_c=\varepsilon'-j\varepsilon''-j\frac\sigma\omega=\varepsilon_{re}-j\varepsilon_{im},\qquad\varepsilon_{re}=\varepsilon',\ \varepsilon_{im}=\varepsilon''+\frac\sigma\omega.$$

L'angolo di perditaangolo la cui tangente è il rapporto fra la corrente di conduzione e quella di spostamento è $\delta=\arctan\dfrac{\sigma+\omega\varepsilon''}{\omega\varepsilon'}$. Un mezzo è un buon isolante (a basse perdite) se $\sigma\ll\omega\varepsilon'$ ($\delta\approx0$), un buon conduttore se $\sigma\gg\omega\varepsilon'$ ($\delta\approx\frac\pi2$); isolante perfetto: $\sigma=0$, $\varepsilon''=0$; conduttore perfetto: $\sigma\to\infty$. Il comportamento dipende dalla frequenza: per esempio l'acqua di mare con $\sigma=5$ S/m è un buon conduttore fino a circa $100$ GHz (condizione $\sigma\gg\omega\varepsilon_0$, $f\ll\frac{\sigma}{2\pi\varepsilon_0}$), ma alle frequenze ottiche ($\approx10^{14}$ Hz) è un dielettrico. Le onde nei mezzi con perdite sono in Onde piane nei mezzi con perdite e nei buoni conduttoriin un mezzo con perdite si sostituisce $\varepsilon$ con la permettività complessa $\varepsilon_c=\varepsilon_{re}-j\varepsilon_{im}$ ($\varepsilon_{im}=\varepsilon''+\frac\sigma\omega$) e $k$ con la costante di propagazione complessa $\gamma=\alpha+j\beta$, $\gamma^2=-\omega^2\mu\varepsilon_c$: il campo diventa $E_0e^{-\alpha z}e^{-j\beta z}$, nel tempo $e^{-\alpha z}\cos(\omega t-\beta z)$, onda che si attenua con $\alpha$ (Np/m) e viaggia con $v_f=\frac\omega\beta$, $\lambda=\frac{2\pi}\beta$; lo spessore di penetrazionedistanza alla quale il modulo del campo si riduce a circa il 37% del valore in superficie è $\delta_s=\frac1\alpha$ (il modulo scende a $1/e$). Buon conduttore ($\sigma\gg\omega\varepsilon'$): $\alpha=\beta=\sqrt{\pi f\mu\sigma}$, $\delta_s=\frac1{\sqrt{\pi f\mu\sigma}}$, impedenza del conduttore $\eta_c=(1+j)\frac1{\sigma\delta_s}=R_s(1+j)$ con $R_s=\frac1{\sigma\delta_s}=\sqrt{\frac{\pi f\mu}{\sigma}}$ (resistenza superficiale): $\bar E$ e $\bar H$ sfasati di $45^\circ$, $\bar H=\frac{\hat k\times\bar E}{\eta_c}$. Buon isolante ($\sigma\ll\omega\varepsilon'$): $\alpha\approx\frac\sigma2\sqrt{\frac\mu{\varepsilon'}}$, $\beta\approx\omega\sqrt{\mu\varepsilon'}$. Il modulo del campo cala come $e^{-z/\delta_s}$, la potenza come $e^{-2z/\delta_s}$: il campo diventa $1/10$ a $z=\delta_s\ln10$, la potenza si dimezza a $z=\frac{\delta_s\ln2}{2}$.Onde piane nei mezzi con perdite e nei buoni conduttori →.

Le equazioni di Helmholtz

Si considera un mezzo omogeneo, isotropo, con conducibilità nulla, senza cariche e senza sorgenti. Le equazioni si riducono a $\nabla\times\bar E=-j\omega\mu\bar H$, $\nabla\times\bar H=j\omega\varepsilon\bar E$, $\nabla\cdot\varepsilon\bar E=0$, $\nabla\cdot\mu\bar H=0$. Si applica il rotore alla prima e si usa la seconda:

$$\nabla\times\nabla\times\bar E=-j\omega\mu\,\nabla\times\bar H=-j\omega\mu\cdot j\omega\varepsilon\bar E=\omega^2\mu\varepsilon\bar E.$$

Per l'identità $\nabla\times\nabla\times\bar E=\nabla(\nabla\cdot\bar E)-\nabla^2\bar E$ e poiché $\nabla\cdot\bar E=0$ (assenza di cariche in un mezzo omogeneocon proprietà uguali in ogni punto) si ottiene

$$\boxed{\nabla^2\bar E+k^2\bar E=0,\qquad\nabla^2\bar H+k^2\bar H=0,\qquad k=\omega\sqrt{\mu\varepsilon}\ \ (\text{rad/m})}$$

($k$ è la costante di propagazione o di fase, o numero d'onda; la condizione necessaria per l'equazione di Helmholtz del campo elettrico è proprio $\nabla\cdot\bar E=0$.) Ognuna delle tre componenti cartesiane soddisfa un'equazione scalare $\nabla^2E_x+k^2E_x=0$ e analoghe. $\bar E$ e $\bar H$ non sono indipendenti: oltre a Helmholtz devono soddisfare le equazioni di Maxwell, che li legano. La lunghezza d'onda è $\lambda=\dfrac{2\pi}{k}$.

Parallelo con le linee di trasmissione. Le equazioni di Helmholtzequazioni d'onda per i fasori dei campi nel mezzo omogeneo senza perdite sono formalmente identiche alle equazioni della linea ideale:

Questo parallelo è la base del resto del corso: i risultati sulle linee (onde progressive e riflesse, impedenza, coefficiente di riflessione) hanno un analogo diretto per le onde piane (Onde piane uniformi - campi, impedenza intrinseca e velocitàlontano dalla sorgente il fronte d'onda sferico è approssimabile con un piano: onda piana uniformeonda con campo di uguale ampiezza e fase in tutti i punti di ogni piano perpendicolare alla propagazione, con $\bar E$ e $\bar H$ uniformi in ampiezza e fase su ogni piano $z=$ costante ($\partial_x=\partial_y=0$). Dall'equazione di Helmholtz $\frac{d^2E_x}{dz^2}+k^2E_x=0$ segue $E_x(z)=E_x^+e^{-jkz}+E_x^-e^{+jkz}$ (onda che va verso $+z$ e verso $-z$) e dalle equazioni di Maxwell $E_z=H_z=0$ (campi trasversaliperpendicolari alla direzione di propagazione) e $H_y=\frac{E_x}{\eta}$ (per l'onda verso $+z$), con impedenza intrinsecarapporto fra campo elettrico e campo magnetico di un'onda piana in un mezzo, misurato in ohm $\eta=\frac{\omega\mu}{k}=\sqrt{\frac\mu\varepsilon}$; nel vuoto $\eta_0=\sqrt{\frac{\mu_0}{\varepsilon_0}}=120\pi\approx377\ \Omega$. In forma vettoriale $\bar H=\frac{\hat k\times\bar E}{\eta}$, equivalente a $\bar E=\eta,\bar H\times\hat k$; $\bar E$, $\bar H$ e $\hat k$ sono a due a due ortogonali e $\bar E$ e $\bar H$ sono in faseche raggiungono massimi e zeri nello stesso istante nel tempo. Velocità di fase $v_f=\frac{\omega}{k}=\frac1{\sqrt{\mu\varepsilon}}$: nel vuoto $c_0\approx3\cdot10^8$ m/s, in un dielettrico non magnetico $v_f=\frac{c_0}{n}$ con $n=\sqrt{\varepsilon_r}$; $\lambda=\frac{2\pi}{k}=\frac{v_f}{f}=\frac{\lambda_0}n$; $\eta=\frac{\eta_0}{n}$.Onde piane uniformi - campi, impedenza intrinseca e velocità → e Riflessione e rifrazione tra due dielettriciall'interfaccia fra due dielettrici ideali sono continue le componenti tangenti di $\bar E$ e $\bar H$ (e le normali di $\bar D$ e $\bar B$). Per incidenza normalecaso in cui l'onda arriva perpendicolarmente alla superficie di separazione da $1$ a $2$ le ampiezze all'interfaccia ($z=0$) sono legate da $E_0^i+E_0^r=E_0^t$ e $\frac{E_0^i-E_0^r}{\eta_1}=\frac{E_0^t}{\eta_2}$, quindi $\Gamma=\frac{E_0^r}{E_0^i}=\frac{\eta_2-\eta_1}{\eta_2+\eta_1}=\frac{n_1-n_2}{n_1+n_2}=\frac{\sqrt{\varepsilon_{r1}}-\sqrt{\varepsilon_{r2}}}{\sqrt{\varepsilon_{r1}}+\sqrt{\varepsilon_{r2}}}$ e $\tau=\frac{E_0^t}{E_0^i}=\frac{2\eta_2}{\eta_1+\eta_2}=1+\Gamma$ (identici a quelli delle linee, con $\eta\leftrightarrow Z_0$). Nel mezzo $1$ si ha un'onda parzialmente stazionaria: $|\bar E_1|=E_0^i\left|1+\Gamma e^{2jk_1z}\right|$, massimi $E_0^i(1+|\Gamma|)$ dove $\varphi_\Gamma+2k_1z_{MAX}=2N\pi$ (minimi del campo magnetico), minimi $E_0^i(1-|\Gamma|)$ dove $\varphi_\Gamma+2k_1z_{min}=(2N+1)\pi$, con $z\le0$ e $\lambda_1=\frac{c_0}{n_1f}$. Se $\Gamma>0$ ($n_1>n_2$) in $z=0$ c'è un massimo di $|E|$; se $\Gamma<0$ un minimo (primo massimo in $-\lambda_1/4$). Potenze: $S_i=\frac{|E_0^i|^2}{2\eta_1}$, $S_r=|\Gamma|^2S_i$, $S_t=\frac{|E_0^t|^2}{2\eta_2}=(1-|\Gamma|^2)S_i$.Riflessione e rifrazione tra due dielettrici →).

Esempi numerici

• Costante di fase nel vuoto a $f=600$ MHz: $k_0=\dfrac{2\pi f}{c_0}=\dfrac{2\pi\cdot6\cdot10^8}{3\cdot10^8}=4\pi\ \text{m}^{-1}$ e $\lambda_0=\dfrac{2\pi}{k_0}=0{,}5$ m.
• In un dielettrico con $\varepsilon_r=2{,}25$ ($n=1{,}5$) alla stessa frequenza: $k=k_0n=6\pi$ m$^{-1}$ e $\lambda=\dfrac{\lambda_0}{n}=0{,}333$ m.
• Dalla $k$ alla permittività. Un campo $\bar e=15\cos(\omega t+kx)\hat y$ V/m con $f=30$ MHz e $k=\pi$ m$^{-1}$ ha $\lambda=\dfrac{2\pi}{k}=2$ m, quindi velocità $v=f\lambda=6\cdot10^7$ m/s, $n=\dfrac{c_0}{v}=5$ e $\varepsilon_r=n^2=25$.

Errori comuni

• Dimenticare di applicare $\nabla\cdot\bar E=0$ (o di notare che vale soltanto in assenza di cariche) quando si deduce Helmholtz.
• Pensare che $\bar E$ e $\bar H$ si possano scegliere indipendentemente: le equazioni di Maxwell li collegano.
• Usare $k_0$ (vuoto) in un dielettrico: $k=k_0\sqrt{\varepsilon_r}$.
• Dimenticare che le derivate nel tempo diventano $j\omega$ solo per i fasori, non per i campi nel dominio del tempo.