Vettore di Poynting e potenza dell'onda piana

Un'onda elettromagnetica trasporta energia. Per quantificare la potenza trasportata servono due cose: come si calcola il valor mediomedia su un periodo di una grandezza periodica di una grandezza sinusoidale che compare al quadrato, e una grandezza vettoriale che descrive il flusso di potenza.

Valor medio del quadrato e modulo di un fasore

Se il campo elettrico (per semplicità scalare) è $e(t)=|E|\cos(\omega t+\varphi)$, il suo quadrato medio su un periodo è

$$\langle e^2\rangle=\frac1T\int_0^T|E|^2\cos^2(\omega t+\varphi)\,dt=\frac{|E|^2}{2},$$

perché il valor medio di $\cos^2$ è $\frac12$. Per l'onda piana con due componenti si estende ai vettori:

$$\langle\bar e\cdot\bar e\rangle=\frac12\left(|E_x|^2+|E_y|^2+|E_z|^2\right)=\frac12\bar E\cdot\bar E^*=\frac{|\bar E|^2}{2},$$

dove $|\bar E|=\sqrt{\bar E\cdot\bar E^*}$ è il modulo del fasoreradice della somma dei quadrati dei moduli delle componenti complesse. Per esempio, il campo $\bar e(z,t)=3\cos(\omega t-kz)\hat x+\cos(\omega t-kz)\hat y$ V/m ha fasore $\bar E=(3\hat x+\hat y)e^{-jkz}$ e modulo $|\bar E|=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$ V/m. Se invece le componenti sono sfasate, $\bar e=5\cos(\omega t-kz)\hat x-12\cos(\omega t-kz-\frac\pi2)\hat y$, il fasore è $\bar E=(5\hat x+j12\hat y)e^{-jkz}$ e il modulo è $\sqrt{25+144}=13$ V/m (lo sfasamento non cambia il modulo).

Il teorema di Poynting

Si parte dalle due equazioni di Maxwell per i fasori con una corrente impressacorrente imposta dalle sorgenti, nota, che genera il campo $\bar J_s$ (le sorgenti): $\nabla\times\bar E=-j\omega\mu\bar H$ e $\nabla\times\bar H=j\omega\varepsilon_c\bar E+\bar J_s$ (Equazioni di Maxwell, fasori ed equazioni di Helmholtzle equazioni di Maxwell nel tempo sono $\nabla\times\bar{\mathcal E}=-\frac{\partial\bar{\mathcal B}}{\partial t}$, $\nabla\times\bar{\mathcal H}=\frac{\partial\bar{\mathcal D}}{\partial t}+\bar j$, $\nabla\cdot\bar{\mathcal D}=\rho$, $\nabla\cdot\bar{\mathcal B}=0$, con $\bar{\mathcal B}=\mu\bar{\mathcal H}$, $\bar{\mathcal D}=\varepsilon\bar{\mathcal E}$ ($\mu_0=4\pi\cdot10^{-7}$ H/m, $\varepsilon_0\approx8{,}854\cdot10^{-12}$ F/m). Nel regime sinusoidale il campo è il fasorenumero complesso o vettore complesso che rappresenta ampiezza e fase di una grandezza sinusoidale $\bar E(\bar r)$ con $\bar e(\bar r,t)=\Re{\bar E(\bar r)e^{j\omega t}}$ e le derivate nel tempo diventano moltiplicazioni per $j\omega$: $\nabla\times\bar E=-j\omega\mu\bar H$, $\nabla\times\bar H=j\omega\varepsilon\bar E+\bar J$. Con conducibilità $\sigma$ la permettività diventa complessa $\varepsilon_c=\varepsilon'-j\left(\varepsilon''+\frac\sigma\omega\right)$. In un mezzo omogeneo, isotropo, con $\sigma=0$, senza cariche e sorgenti, si ottengono le equazioni di Helmholtz $\nabla^2\bar E+k^2\bar E=0$, $\nabla^2\bar H+k^2\bar H=0$ con $k=\omega\sqrt{\mu\varepsilon}$ (rad/m); $\bar E$ e $\bar H$ restano legati dalle equazioni di Maxwell. Per le linee: $\frac{d^2V}{dz^2}+\beta^2V=0$ ($k\leftrightarrow\beta$).Equazioni di Maxwell, fasori ed equazioni di Helmholtz →). Si moltiplica scalarmente la prima per $\bar H^*$ e la complessa coniugata della seconda per $\bar E$, si sottraggono e si usa l'identità $\nabla\cdot(\bar E\times\bar H^*)=\bar H^*\cdot\nabla\times\bar E-\bar E\cdot\nabla\times\bar H^*$. Integrando su un volume $V$ racchiuso da una superficie $S$ e applicando il teorema della divergenzail flusso di un campo attraverso una superficie chiusa è l'integrale della divergenza nel volume racchiuso:

$$-\frac12\int_V\bar E\cdot\bar J_s^*\,dv=\oint_S\frac12\left(\bar E\times\bar H^*\right)\cdot\hat n\,dS+\frac12\int_V\sigma|\bar E|^2dv+\frac\omega2\int_V\left(\varepsilon''|\bar E|^2+\mu''|\bar H|^2\right)dv+j\frac\omega2\int_V\left(\mu'|\bar H|^2-\varepsilon'|\bar E|^2\right)dv.$$

Tutti i termini sono potenze (complesse). Il bilancio per le sole parti reali (potenze medie, le uniche che indicano un trasferimento irreversibile di energia) si legge così:

• a sinistra, $\Re\left\{-\frac12\int\bar E\cdot\bar J_s^*dv\right\}$ è la potenza media erogata dalle sorgenti;
• $\Re\oint\frac12(\bar E\times\bar H^*)\cdot\hat n\,dS$ è la potenza che esce dal volume attraverso la superficie (potenza trasmessapotenza che esce dal volume attraverso la superficie che lo racchiude);
• $\frac12\int\sigma|\bar E|^2dv$ è la potenza dissipata per effetto Jouleriscaldamento di un conduttore per il passaggio di corrente nei conduttori;
• $\frac\omega2\int(\varepsilon''|\bar E|^2+\mu''|\bar H|^2)dv$ è la potenza dissipata nei dielettrici e nei materiali magnetici non ideali.

Il vettore di Poynting complesso $\bar S=\frac12\bar E\times\bar H^*$ ha le dimensioni di una densità superficiale di potenzapotenza che attraversa l'unità di area perpendicolare alla direzione di flusso (W/m²); la sua parte reale $\Re\{\bar S\}$ dà intensità e direzione della densità di potenza attiva media: la potenza che attraversa un'area $A$ perpendicolare a $\bar S$ è $P=\Re\{S\}A$. Esempio: il forno a microonde. Nel volume della cavità la potenza erogata dal magnetrontubo a vuoto che genera le microonde in un forno è uguale alla potenza dissipata nel cibo (perdite dielettriche) più quella nelle pareti e quella che esce.

Densità di potenza di un'onda piana

Per l'onda piana uniforme verso $+z$ in un mezzo senza perdite: $\bar E=\hat xE_0e^{-jkz}$ e $\bar H=\hat y\dfrac{E_0}{\eta}e^{-jkz}$ (Onde piane uniformi - campi, impedenza intrinseca e velocitàlontano dalla sorgente il fronte d'onda sferico è approssimabile con un piano: onda piana uniformeonda con campo di uguale ampiezza e fase in tutti i punti di ogni piano perpendicolare alla propagazione, con $\bar E$ e $\bar H$ uniformi in ampiezza e fase su ogni piano $z=$ costante ($\partial_x=\partial_y=0$). Dall'equazione di Helmholtz $\frac{d^2E_x}{dz^2}+k^2E_x=0$ segue $E_x(z)=E_x^+e^{-jkz}+E_x^-e^{+jkz}$ (onda che va verso $+z$ e verso $-z$) e dalle equazioni di Maxwell $E_z=H_z=0$ (campi trasversaliperpendicolari alla direzione di propagazione) e $H_y=\frac{E_x}{\eta}$ (per l'onda verso $+z$), con impedenza intrinsecarapporto fra campo elettrico e campo magnetico di un'onda piana in un mezzo, misurato in ohm $\eta=\frac{\omega\mu}{k}=\sqrt{\frac\mu\varepsilon}$; nel vuoto $\eta_0=\sqrt{\frac{\mu_0}{\varepsilon_0}}=120\pi\approx377\ \Omega$. In forma vettoriale $\bar H=\frac{\hat k\times\bar E}{\eta}$, equivalente a $\bar E=\eta,\bar H\times\hat k$; $\bar E$, $\bar H$ e $\hat k$ sono a due a due ortogonali e $\bar E$ e $\bar H$ sono in faseche raggiungono massimi e zeri nello stesso istante nel tempo. Velocità di fase $v_f=\frac{\omega}{k}=\frac1{\sqrt{\mu\varepsilon}}$: nel vuoto $c_0\approx3\cdot10^8$ m/s, in un dielettrico non magnetico $v_f=\frac{c_0}{n}$ con $n=\sqrt{\varepsilon_r}$; $\lambda=\frac{2\pi}{k}=\frac{v_f}{f}=\frac{\lambda_0}n$; $\eta=\frac{\eta_0}{n}$.Onde piane uniformi - campi, impedenza intrinseca e velocità →). Il vettore di Poynting è

$$\bar S=\frac12\bar E\times\bar H^*=\frac12\frac{|E_0|^2}{\eta}\,\hat x\times\hat y=\frac{|E_0|^2}{2\eta}\hat z=\frac{\eta|H_0|^2}{2}\hat z.$$

È reale e diretto lungo $\hat z$: l'onda piana trasporta soltanto potenza attivapotenza media effettivamente trasportata o dissipata, nella direzione di propagazione. Quindi

$$\boxed{S=\frac{|E_0|^2}{2\eta}=\frac{\eta\,|H_0|^2}{2}\quad(\text{W/m}^2)}$$

(intensità media della radiazionedensità di potenza attiva media dell'onda). Nel dominio del tempo la densità di potenzapotenza per unità di superficie, in watt al metro quadrato istantanea è $e\,h=\dfrac{E_0^2}{\eta}\cos^2(\omega t-kz)$: oscilla fra $0$ e $\dfrac{E_0^2}{\eta}$ con valor medio $\dfrac{E_0^2}{2\eta}$.

Con il valore efficacevalore di picco diviso la radice di due, per una sinusoide $E_{rms}=\dfrac{|E_0|}{\sqrt2}$ si può scrivere $S=\dfrac{E_{rms}^2}{\eta}$.

Nel vuoto $\eta_0=120\pi\ \Omega$: $S=\dfrac{|E_0|^2}{2\cdot120\pi}=\dfrac{|E_0|^2}{754}$ W/m². Un campo di $1$ V/m corrisponde a $1{,}33$ mW/m²; il sole illumina con circa $1$ kW/m² (corrispondenti a $|E_0|\approx870$ V/m). In un dielettrico di indice $n$: $S=\dfrac{n|E_0|^2}{2\eta_0}=\dfrac{\eta_0|H_0|^2}{2n}$ (a parità di $E_0$ trasporta più potenza che nel vuoto, a parità di $H_0$ meno).

Esempi

Esempio 1: dal campo magnetico. Nel vuoto $\bar H(z)=0{,}2\,e^{-jkz}\hat y$ A/m: $S=\dfrac{\eta_0|H_0|^2}{2}=\dfrac{120\pi\cdot0{,}04}{2}=2{,}4\pi=7{,}54$ W/m².

Esempio 2: in un dielettrico. In un dielettrico con $n=3$ ($\varepsilon_r=9$, $\eta=\dfrac{120\pi}3=40\pi\ \Omega$), $\bar H(z)=20\,e^{-jkz}\hat y$ mA/m: $S=\dfrac{\eta|H_0|^2}{2}=\dfrac{40\pi\cdot(0{,}02)^2}{2}=\dfrac{40\pi\cdot4\cdot10^{-4}}{2}=8\pi\cdot10^{-3}$ W/m² $=8\pi$ mW/m².

Esempio 3: da $S$ al campo magnetico. In un dielettrico con $n=2$ ($\eta=60\pi\ \Omega$) si ha $S=0{,}3\pi$ W/m². Allora $H_0=\sqrt{\dfrac{2S}{\eta}}=\sqrt{\dfrac{0{,}6\pi}{60\pi}}=\sqrt{0{,}01}=0{,}1$ A/m ed $E_0=\eta H_0=60\pi\cdot0{,}1=18{,}8$ V/m.

Esempio 4: da $\bar e(z,t)$. In un dielettrico senza perdite $\bar e(z,t)=5\cos\left(6\pi\cdot10^9t-30\pi z\right)\hat x$ V/m. Si legge $\omega=6\pi\cdot10^9$ e $k=30\pi$ rad/m: $v_f=\dfrac\omega k=2\cdot10^8$ m/s, $n=\dfrac{c_0}{v_f}=1{,}5$, $\eta=\dfrac{377}{1{,}5}=251{,}3\ \Omega$. Quindi $S=\dfrac{5^2}{2\cdot251{,}3}=49{,}7$ mW/m².

Il caso di due onde (incidente e riflessa)

Se in un mezzo coesistono un'onda incidente e una riflessa, il flusso netto di potenza attiva è la differenza: $\Re\{\bar S_1\}\cdot\hat z=\dfrac{|E_0^i|^2}{2\eta_1}\left(1-|\Gamma|^2\right)$, cioè potenza incidente meno riflessa, costante in $z$ (stessa struttura che per le linee, Potenza sulla linea e legame con il generatorela potenza complessa in un punto di una linea senza perdite è $\frac12VI^*=\frac12\frac{|V^+|^2}{Z_0}\left[1-|\Gamma|^2+2j,\mathrm{Im},\Gamma(-l)\right]$: la potenza attiva $P_A=\frac12\frac{|V^+|^2}{Z_0}(1-|\Gamma_L|^2)$ è la differenza fra potenza incidente e riflessa e si conserva lungo tutta la linea (e sul carico: $P_A=\frac12R_L|I_L|^2$), la potenza reattiva varia con la posizione. Perciò $|I|{max}=\sqrt{2P_AS/Z_0}$, $|V|{max}=\sqrt{2P_AZ_0S}$, $|V|{min}=\sqrt{2P_AZ_0/S}$. Il legame con il generatore (tensione a vuoto $V_g$, impedenza interna $Z_g$, linea lunga $L$) è $V^+=V_ge^{-j\beta L}\frac{Z_0}{Z_g(1-\Gamma(-L))+Z_0(1+\Gamma(-L))}$; se $Z_g=Z_0$ si ha $V^+=\frac{V_g}{2}e^{-j\beta L}$ indipendente dal carico e $P_A=\frac{|V_g|^2}{8Z_0}(1-|\Gamma_L|^2)$, che con carico adattato vale $\frac{|V_g|^2}{8Z_0}$ (potenza disponibile).Potenza sulla linea e legame con il generatore →); vedi Riflessione e rifrazione tra due dielettriciall'interfaccia fra due dielettrici ideali sono continue le componenti tangenti di $\bar E$ e $\bar H$ (e le normali di $\bar D$ e $\bar B$). Per incidenza normalecaso in cui l'onda arriva perpendicolarmente alla superficie di separazione da $1$ a $2$ le ampiezze all'interfaccia ($z=0$) sono legate da $E_0^i+E_0^r=E_0^t$ e $\frac{E_0^i-E_0^r}{\eta_1}=\frac{E_0^t}{\eta_2}$, quindi $\Gamma=\frac{E_0^r}{E_0^i}=\frac{\eta_2-\eta_1}{\eta_2+\eta_1}=\frac{n_1-n_2}{n_1+n_2}=\frac{\sqrt{\varepsilon{r1}}-\sqrt{\varepsilon_{r2}}}{\sqrt{\varepsilon_{r1}}+\sqrt{\varepsilon_{r2}}}$ e $\tau=\frac{E_0^t}{E_0^i}=\frac{2\eta_2}{\eta_1+\eta_2}=1+\Gamma$ (identici a quelli delle linee, con $\eta\leftrightarrow Z_0$). Nel mezzo $1$ si ha un'onda parzialmente stazionaria: $|\bar E_1|=E_0^i\left|1+\Gamma e^{2jk_1z}\right|$, massimi $E_0^i(1+|\Gamma|)$ dove $\varphi_\Gamma+2k_1z_{MAX}=2N\pi$ (minimi del campo magnetico), minimi $E_0^i(1-|\Gamma|)$ dove $\varphi_\Gamma+2k_1z_{min}=(2N+1)\pi$, con $z\le0$ e $\lambda_1=\frac{c_0}{n_1f}$. Se $\Gamma>0$ ($n_1>n_2$) in $z=0$ c'è un massimo di $|E|$; se $\Gamma<0$ un minimo (primo massimo in $-\lambda_1/4$). Potenze: $S_i=\frac{|E_0^i|^2}{2\eta_1}$, $S_r=|\Gamma|^2S_i$, $S_t=\frac{|E_0^t|^2}{2\eta_2}=(1-|\Gamma|^2)S_i$.Riflessione e rifrazione tra due dielettrici →.

Errori comuni

• Dimenticare il fattore $\frac12$ (le ampiezze sono di picco).
• Usare $377\ \Omega$ in un dielettrico: lì $\eta=\eta_0/n$.
• Confondere $|\bar E|$ del fasore con il valore di picco del campo scalare: per un campo con più componenti $|\bar E|=\sqrt{\sum|E_i|^2}$ e $S=\dfrac{|\bar E|^2}{2\eta}$.
• Pensare che la potenza sia $\propto E$ e non $E^2$: raddoppiare il campo quadruplica la potenza.