Esercizio 17carico RC serie e RL parallelo dal grafico della tensione (esercizio proposto ed esercitazione C)

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Teoria usata: Regime istantaneo - impulsi e riconoscimento del carico dal graficola linea è un sistema lineare: un impulso rettangolare di durata $T^$ e ampiezza $V^+$ è la somma di un gradino $+V^+$ e di un gradino $-V^+$ ritardato di $T^$, quindi si usa la sovrapposizione degli effettiin un sistema lineare la risposta a più segnali è la somma delle risposte a ciascuno. Con carico resistivo l'impulso riflesso ha la stessa forma, ampiezza $\Gamma_LV^+$; se l'impulso è lungo ($T^>2T$ al generatore) incidente e riflesso si sovrappongono e si sommano. Con carichi reattivi la risposta all'impulso è la differenza fra la risposta al gradino e la stessa ritardata di $T^$. Riconoscere il carico (generatore adattato): da $V^+$ e dai due valori $v_0$ (subito dopo l'arrivo della riflessa) e $v_\infty$ (finale) si ottiene $\Gamma_0=\frac{v_0}{V^+}-1$ e $\Gamma_\infty=\frac{v_\infty}{V^+}-1$. $v_0=0$: C in parallelo ($v_\infty=2V^+$: C pura); $v_0=2V^+$: L in serie ($v_\infty=0$: L pura); $0<v_0<2V^+$ e $v_\infty=2V^+$: RC serie ($R$ da $v_0$); $0<v_0<2V^+$ e $v_\infty=0$: RL parallelocarico con resistenza e induttore in parallelo ($R$ da $v_0$). Per RC parallelo e RL serie $R$ si ricava da $v_\infty=2V^+\frac{R}{R+Z_0}$. Le distanze si ricavano dai tempi: $L_1=cT_1$, $2T-T_1$ è l'arrivo della riflessa.Regime istantaneo - impulsi e riconoscimento del carico dal grafico →, Regime istantaneo - carichi reattivi RC e RLun carico con condensatori o induttori deforma il gradino riflesso. Finché non arrivano altre riflessioni (generatore adattato), la linea vista dal carico equivale a un generatore $2V^+=V_0$ in serie con $Z_0$: la tensione sul carico per $t'$ (tempo dall'arrivo del gradino) è $v_L(t')=v_\infty+(v_0-v_\infty)e^{-t'/\tau}$. All'inizio un condensatore è un corto circuito e un induttore un circuito aperto; a regime il contrario. RC serie: $v_0=2V^+\frac R{R+Z_0}$, $v_\infty=2V^+$, $\tau=C(R+Z_0)$. RC parallelo: $v_0=0$, $v_\infty=2V^+\frac R{R+Z_0}$, $\tau=\frac{CRZ_0}{R+Z_0}$. RL serie: $v_0=2V^+$, $v_\infty=2V^+\frac R{R+Z_0}$, $\tau=\frac L{R+Z_0}$. RL parallelo: $v_0=2V^+\frac R{R+Z_0}$, $v_\infty=0$, $\tau=\frac{L(R+Z_0)}{RZ_0}$. C pura: $\tau=Z_0C$; L pura: $\tau=L/Z_0$. Dal grafico: $v_0$ dice se il carico parte da corto, aperto o resistenza; $v_\infty$ dice com'è a regime; $\tau=\frac{t_2-t_1}{\ln\frac{v_1-v_\infty}{v_2-v_\infty}}$ dà il valore di $C$ o $L$.Regime istantaneo - carichi reattivi RC e RL →.

(i) Gradino osservato a $L_1$

1. Lunghezza. In $L_1$ il primo gradino arriva a $T_1=t_1=200$ ns e la riflessa a $t_2=2T-T_1=400$ ns: $2T=t_1+t_2=600$ ns, $T=300$ ns, $L=vT=10^8\cdot300\cdot10^{-9}=\mathbf{30}$ m.
2. Distanza. $L_1=vT_1=10^8\cdot200\cdot10^{-9}=\mathbf{20}$ m.
3. Tensione a vuoto. Dopo il primo salto non compaiono altri gradini oltre alla risposta esponenziale del carico: nessuna riflessione multipla, generatore adattato ($Z_G=Z_0$). $V^+=v_1=6$ V e $V_0=2V^+=\mathbf{12}$ V.
4. Tipo di carico. Subito dopo l'arrivo della riflessa $v(t_2)=8$ V: $\Gamma_0=\dfrac{8}{6}-1=+\dfrac13$ (valore intermedio: all'inizio il carico appare una sola resistenza $R$ con $\Gamma>0$, cioè $R>Z_0$). A regime $v_3=12$ V $=2V^+$: $\Gamma_\infty=\dfrac{12}6-1=+1$ (aperto: nessuna corrente a regime). Un elemento che a regime è un aperto è un condensatore, e se all'inizio si vede solo $R$ è in serie a $R$: RC serie.
5. Resistenza. $\Gamma_0=\dfrac{R-50}{R+50}=\dfrac13\Rightarrow3R-150=R+50\Rightarrow R=\mathbf{100\ \Omega}$.

Costante di tempo e capacità (aggiunta). Per l'RC serie $\tau=C(R+Z_0)=150\,C$. Se la tensione sul carico vale $10$ V dopo $t'=100$ ns da $t_2$: $v(t')=12-4e^{-t'/\tau}$, $10=12-4e^{-100/\tau}\Rightarrow e^{-100/\tau}=0{,}5\Rightarrow\tau=\dfrac{100}{\ln2}=144{,}3$ ns e $C=\dfrac{\tau}{R+Z_0}=\dfrac{144{,}3\cdot10^{-9}}{150}=\mathbf{0{,}96}$ nF.

(ii) Gradino osservato al generatore

1. Tensione a vuoto. Fino a $t_1$ il generatore vede solo l'onda in andata; la tensione $v_1=12$ V è $V^+$. Dopo la riflessa non ci sono altri gradini (a parte l'esponenziale): generatore adattato, $V_0=2V^+=\mathbf{24}$ V.
2. Lunghezza. Al generatore la riflessa arriva a $t_1=2T=400$ ns: $L=\dfrac{vt_1}2=\dfrac{10^8\cdot400\cdot10^{-9}}{2}=\mathbf{20}$ m.
3. Tipo di carico. Subito dopo $t_1$: $v_2=8$ V, $\Gamma_0=\dfrac{8}{12}-1=-\dfrac13$ (intermedio: all'inizio si vede una resistenza $R<Z_0$); a regime $v\to0$: $\Gamma_\infty=-1$ (corto). Un elemento che a regime è un corto è un induttore; all'inizio si vede solo $R$, quindi è in parallelo a $R$: RL parallelo.
4. Resistenza. $\dfrac{R-50}{R+50}=-\dfrac13\Rightarrow3R-150=-R-50\Rightarrow R=\mathbf{25\ \Omega}$ (come nella soluzione del corso, che la ricava dalla partizione $v_2=2V^+\dfrac{R}{R+Z_0}$: $8=24\cdot\frac{R}{R+50}$ ✓ $\Rightarrow R=25\ \Omega$).

Costante di tempo e induttanza (aggiunta). Per l'RL parallelo $\tau=\dfrac{L_c(R+Z_0)}{RZ_0}=\dfrac{L_c}{R\parallel Z_0}=\dfrac{L_c}{16{,}67}$. Se dopo il salto la tensione scende a $4$ V (metà di $8$ V) in $208$ ns: $4=8e^{-t'/\tau}\Rightarrow t'=\tau\ln2\Rightarrow\tau=\dfrac{208}{0{,}693}=300$ ns, e $L_c=\tau\,(R\parallel Z_0)=300\cdot10^{-9}\cdot16{,}67=\mathbf5\ \mu\text{H}$.

Errori comuni

• Dimenticare che nel caso (ii) il grafico è quello al generatore: la riflessa arriva a $2T$, non a $2T-T_1$.
• Scambiare RC serie con RC parallelo: nel parallelo la tensione parte da $0$ subito dopo la riflessa (il condensatore è un corto), qui parte da $8$ V.
• Ricavare $R$ dal rapporto $\dfrac{v_2}{V^+}$ senza passare per $\Gamma$: $v_2=V^+(1+\Gamma_0)$, quindi $\Gamma_0=\frac{v_2}{V^+}-1$.