Decibel e neper - attenuazioni e guadagni

Nei collegamenti radio, ottici e su linea compaiono rapporti di potenza che coprono molti ordini di grandezza (una potenza ricevuta di $10^{-12}$ W contro una trasmessa di $10$ W). La scala logaritmicascala in cui i prodotti diventano somme del decibel (dB) rende questi rapporti facili da maneggiare, perché i prodotti diventano somme.

Definizioni

Se un mezzo (una linea, una fibra, uno spazio) porta la potenza da $P_1$ (ingresso) a $P_2$ (uscita), l'attenuazione in decibelunità logaritmica per rapporti di potenza, dieci volte il logaritmo decimale del rapporto è

$$A_{dB}=-10\log_{10}\frac{P_2}{P_1}=10\log_{10}\frac{P_1}{P_2}\quad(A>0\text{ se }P_2<P_1).$$

Per un amplificatoredispositivo che aumenta la potenza di un segnale ($P_2>P_1$) si parla di guadagno

$$G_{dB}=10\log_{10}\frac{P_2}{P_1}.$$

L'operazione inversa è $\dfrac{P_2}{P_1}=10^{-A_{dB}/10}$ (attenuazionerapporto fra potenza in ingresso e potenza in uscita di un mezzo che dissipa, espresso in decibel) oppure $10^{G_{dB}/10}$ (guadagnorapporto fra potenza in uscita e potenza in ingresso di un amplificatore, o rapporto di potenza irradiata rispetto a un'antenna di riferimento). Per rapporti di campi o tensioni (la potenza è proporzionale al quadrato) si usa $20\log_{10}\dfrac{E_2}{E_1}$.

Valori da conoscere a memoria

Si combinano sommando i dB: $13$ dB $=10+3\to\times10\cdot2=\times20$ (esatto $19{,}95$); $16$ dB $=10+6\to\times40$ ($39{,}8$); $9$ dB $=3+3+3\to\times8$ ($7{,}94$); $7$ dB $=10-3\to\times5$ ($5{,}01$); $27$ dB $=30-3\to\times500$ ($501$); $33$ dB $=30+3\to\times2000$ ($1995$). Inversamente: $\times20\to13$ dB, $\times8\to9$ dB, $\times5\to7$ dB.

Esempi con la calcolatricestrumento per calcolare logaritmi e potenze di dieci. Un rapporto $\dfrac{P_2}{P_1}=\dfrac1{675}$ corrisponde a $A=10\log_{10}675=28{,}29$ dB. Se invece $A=34$ dB, $\dfrac{P_2}{P_1}=10^{-3{,}4}\approx\dfrac1{2512}$.

Attenuazione in neper e in decibel

Il campo di un'onda che si propaga in un mezzo con perdite cala come $e^{-\alpha z}$ (Onde piane nei mezzi con perdite e nei buoni conduttoriin un mezzo con perdite si sostituisce $\varepsilon$ con la permettività complessa $\varepsilon_c=\varepsilon_{re}-j\varepsilon_{im}$ ($\varepsilon_{im}=\varepsilon''+\frac\sigma\omega$) e $k$ con la costante di propagazione complessa $\gamma=\alpha+j\beta$, $\gamma^2=-\omega^2\mu\varepsilon_c$: il campo diventa $E_0e^{-\alpha z}e^{-j\beta z}$, nel tempo $e^{-\alpha z}\cos(\omega t-\beta z)$, onda che si attenua con $\alpha$ (Np/m) e viaggia con $v_f=\frac\omega\beta$, $\lambda=\frac{2\pi}\beta$; lo spessore di penetrazionedistanza alla quale il modulo del campo si riduce a circa il 37% del valore in superficie è $\delta_s=\frac1\alpha$ (il modulo scende a $1/e$). Buon conduttore ($\sigma\gg\omega\varepsilon'$): $\alpha=\beta=\sqrt{\pi f\mu\sigma}$, $\delta_s=\frac1{\sqrt{\pi f\mu\sigma}}$, impedenza del conduttore $\eta_c=(1+j)\frac1{\sigma\delta_s}=R_s(1+j)$ con $R_s=\frac1{\sigma\delta_s}=\sqrt{\frac{\pi f\mu}{\sigma}}$ (resistenza superficiale): $\bar E$ e $\bar H$ sfasati di $45^\circ$, $\bar H=\frac{\hat k\times\bar E}{\eta_c}$. Buon isolante ($\sigma\ll\omega\varepsilon'$): $\alpha\approx\frac\sigma2\sqrt{\frac\mu{\varepsilon'}}$, $\beta\approx\omega\sqrt{\mu\varepsilon'}$. Il modulo del campo cala come $e^{-z/\delta_s}$, la potenza come $e^{-2z/\delta_s}$: il campo diventa $1/10$ a $z=\delta_s\ln10$, la potenza si dimezza a $z=\frac{\delta_s\ln2}{2}$.Onde piane nei mezzi con perdite e nei buoni conduttori →), la potenza come $e^{-2\alpha z}$. Su una lunghezza $L$:

$$A_{dB}=-10\log_{10}\frac{P_1e^{-2\alpha L}}{P_1}=10\cdot2\alpha L\log_{10}e=8{,}686\,\alpha L=8{,}686\,A_{Np},$$

dove $A_{Np}=\alpha L$ è l'attenuazione in neper ($1$ Np $=8{,}686$ dB; $1$ dB $=0{,}115$ Np). Il neperunità di attenuazione di campo, logaritmo naturale del rapporto fra ampiezze misura l'attenuazione del campo (logaritmo naturale del rapporto di ampiezze), il decibel quella della potenza (logaritmo in base 10). Esempi:

• acqua di mare a $4$ MHz: $\alpha=8{,}9$ Np/m $=8{,}686\cdot8{,}9=77$ dB/m;
• fibra ottica con $0{,}2$ dB/km: $\alpha=0{,}2/8{,}686=0{,}023$ Np/km;
• linea della prima nota (Linee di trasmissione - modello, equazioni del telegrafo e costante di propagazioneuna linea di trasmissionecoppia di conduttori che guida un segnale elettrico come un'onda è una coppia di conduttori il cui comportamento si descrive con quattro parametri per unità di lunghezza: $R$ (perdite nei conduttori), $L$ (energia magnetica), $G$ (perdite nel dielettrico), $C$ (energia elettrica). Scrivendo le leggi di Kirchhoff su un tratto $\Delta z$ e facendo $\Delta z\to0$ si ottengono le equazioni del telegrafo; nel regime sinusoidale diventano $\frac{dV}{dz}=-(R+j\omega L)I$ e $\frac{dI}{dz}=-(G+j\omega C)V$, da cui l'equazione d'onda $\frac{d^2V}{dz^2}=\gamma^2V$ con $\gamma=\alpha+j\beta=\sqrt{(R+j\omega L)(G+j\omega C)}$. La soluzione è la somma di un'onda che va verso $+z$ e di una che va verso $-z$: $V=V^+e^{-\gamma z}+V^-e^{+\gamma z}$, $I=\frac{V^+e^{-\gamma z}-V^-e^{\gamma z}}{Z_0}$ con impedenza caratteristicarapporto fra tensione e corrente della sola onda progressiva, dipende solo dalla struttura della linea $Z_0=\sqrt{\frac{R+j\omega L}{G+j\omega C}}$. Senza perdite: $\gamma=j\beta$, $\beta=\omega\sqrt{LC}$, $Z_0=\sqrt{L/C}$ reale, $v_p=1/\sqrt{LC}$, $\lambda=v_p/f$.Linee di trasmissione - modello, equazioni del telegrafo e costante di propagazione →): $\alpha=0{,}0075$ Np/m $=0{,}0651$ dB/m, cioè $6{,}5$ dB ogni $100$ m.

Livelli assoluti: dBW e dBm

Per esprimere una potenza assoluta si sceglie un riferimento:

• dBW: $P_{dBW}=10\log_{10}\dfrac{P}{1\text{ W}}$ (1 W $=0$ dBWdecibel riferiti a 1 watt, 100 W $=20$ dBW, 1 mW $=-30$ dBW);
• dBm: $P_{dBm}=10\log_{10}\dfrac{P}{1\text{ mW}}$ (1 mW $=0$ dBmdecibel riferiti a 1 milliwatt, uguali ai dBW più 30, 1 W $=30$ dBm, $P_{dBm}=P_{dBW}+30$).

Il guadagno di un'antenna si dà in dB: $G_{dB}=10\log_{10}G$, con $G$ guadagno in potenza (Parametri d'antenna - diagramma, direttività, guadagno e resistenza di radiazionel'intensità di radiazione normalizzata $F(\theta,\varphi)=\frac{S(R,\theta,\varphi)}{S_{MAX}}$ (a $R$ fissata) dà il diagramma di radiazionegrafico dell'intensità di radiazione normalizzata in funzione degli angoli (lobo principale, lobi secondari; in dB $F_{dB}=10\log_{10}F$); per il dipolo elementare $F=\sin^2\theta$. La direttività è $D=\frac{F_{MAX}}{F_{av}}=\frac{4\pi}{\iint_{4\pi}F,d\Omega}=\frac{4\pi R^2S_{MAX}}{P_{rad}}\ge1$ ($D=1$ antenna isotropa; dipolo elementare $D=1{,}5=1{,}76$ dB). Il guadagno è $G=\frac{4\pi R^2S_{MAX}}{P_t}$ con $P_t$ potenza di alimentazione e il rendimento $\xi=\frac{P_{rad}}{P_t}$, per cui $G=\xi D$. Nel circuito equivalente $P_{rad}=\frac12R_{rad}|I|^2$, $P_t=\frac12(R_{rad}+R_{diss})|I|^2$, $\xi=\frac{R_{rad}}{R_{rad}+R_{diss}}$. Dal guadagno: $S_{MAX}=\frac{GP_t}{4\pi R^2}$ e $|E_{MAX}|=\frac1R\sqrt{\frac{\eta GP_t}{2\pi}}=\frac{\sqrt{60,G,P_t}}{R}$ (nel vuoto). Dipolo elementare/corto: $D=1{,}5$; dipolo a mezz'onda: $D\simeq1{,}64$, $R_{rad}=72\ \Omega$.Parametri d'antenna - diagramma, direttività, guadagno e resistenza di radiazione →): $G=2\leftrightarrow3$ dB, $G=3{,}98\leftrightarrow6$ dB, $G=1{,}64$ (dipolo a mezz'onda) $\leftrightarrow2{,}15$ dB, $G=1{,}5$ (dipolo corto) $\leftrightarrow1{,}76$ dB.

Conti con i decibel nel collegamento radio

La formula di Friisrelazione che dà la potenza ricevuta fra due antenne in funzione di guadagni, distanza e lunghezza d'onda $P_{rec}=P_tG_TG_R\left(\dfrac\lambda{4\pi R}\right)^2$ (Area efficace, antenne a parabola e formula di Friisl'area efficace di un'antenna ricevente è $A_e=\frac{P_{rec}}{S_i}$ (potenza ricevuta nelle condizioni di massimo diviso la densità di potenza incidente $S_i=\frac{|E_i|^2}{2\eta}$), quindi $P_{rec}=A_eS_{MAX}=A_e\frac{GP_t}{4\pi R^2}$. Per il teorema di reciprocitàscambiando generatore e carico in un sistema lineare la corrente letta resta la stessa $\frac{A_e}{G}$ è una costante indipendente dall'antenna: $A_e=\frac{G\lambda^2}{4\pi}$. Ne segue la formula di Friis $P_{rec}=P_tG_TG_R\left(\frac{\lambda}{4\pi R}\right)^2$ (puntamento ottimale, adattamento in potenza e in polarizzazione, spazio libero), con attenuazione di spazio liberofattore quadrato di quattro pi R diviso lambda che riflette la diluizione della potenza su una sfera $A_{sl}=\left(\frac{4\pi R}\lambda\right)^2$; in dB $P_{rec}=P_t+G_T+G_R-A_{sl}$. Antenne filiformi: $G$ quasi indipendente da $\lambda$ ($A_e\propto\lambda^2$); antenne ad aperturaantenne come le parabole, il cui comportamento dipende dall'area della bocca (parabole): $A_e=\xi_G\frac{\pi d^2}{4}$ indipendente da $\lambda$ e $G=\xi_G\left(\frac{\pi d}\lambda\right)^2\propto\frac{1}{\lambda^2}$. Quindi con due filiformi $P_{rec}\propto\lambda^2$, con due parabole $P_{rec}\propto\lambda^{-2}$, con una filiforme e una parabola $P_{rec}$ non dipende da $\lambda$; per le parabole $P_{rec}\propto d_T^2d_R^2$.Area efficace, antenne a parabola e formula di Friis →) è un prodotto: in decibel diventa una somma

$$P_{rec,dB}=P_{t,dB}+G_{T,dB}+G_{R,dB}-A_{sl,dB},\qquad A_{sl}=\left(\frac{4\pi R}\lambda\right)^2.$$

Esempio. $P_t=100$ W ($20$ dBW), $G_T=40$ dB, $G_R=30$ dB, $R=10$ km, $f=10$ GHz ($\lambda=3$ cm): $A_{sl}=\left(\dfrac{4\pi\cdot10^4}{0{,}03}\right)^2=1{,}755\cdot10^{13}\to132{,}4$ dB, quindi $P_{rec}=20+40+30-132{,}4=-42{,}4$ dBW, cioè $57$ $\mu$W. Un altro esempio: l'area efficacearea equivalente con cui un'antenna ricevente cattura la potenza dell'onda $A_e=0{,}002$ m$^2$ a $12$ GHz ($\lambda=2{,}5$ cm) dà $G=\dfrac{4\pi A_e}{\lambda^2}=40{,}2\to16{,}0$ dB.

Errori comuni

• Usare $20\log_{10}$ per rapporti di potenze (o $10\log_{10}$ per rapporti di campi): la potenza è già un quadrato.
• Non rispettare il segno: $A_{dB}$ positivo = perdita; $P_{out}=P_{in}10^{-A/10}$ (non $10^{+A/10}$).
• Sommare dB con valori assoluti diversi senza cambiare riferimento: dBW e dBm vanno riportati allo stesso riferimento (differiscono di 30).
• Sbagliare il fattore di conversione fra neper e decibel: $\alpha$ in Np/m si converte in dB/m con $8{,}686=20\log_{10}e$ (non $4{,}343$ né $20$).