Esercizio 14riflessioni multiple con generatore e carico disadattati, serie di gradini e valore a regime

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Teoria usata: Regime istantaneo - gradini, riflessioni e diagramma a rimbalziin una linea senza perdite nel dominio del tempo $\frac{\partial v}{\partial z}=-L\frac{\partial i}{\partial t}$ e $\frac{\partial i}{\partial z}=-C\frac{\partial v}{\partial t}$ danno $\frac{\partial^2v}{\partial z^2}=LC\frac{\partial^2v}{\partial t^2}$, con soluzione $v=F_1(t-\frac zc)+F_2(t+\frac zc)$, $i=\frac{F_1-F_2}{Z_0}$, $c=\frac1{\sqrt{LC}}$, $Z_0=\sqrt{L/C}$: due onde di forma qualunque che viaggiano a velocità $c$ in versi opposti. Un generatore a gradino $V_0$ con impedenza interna $Z_g$ lancia al tempo $0$ un'onda $V^+=V_0\frac{Z_0}{Z_g+Z_0}$ (se $Z_g=Z_0$: $V_0/2$) che arriva al carico dopo $T=L/c$; il carico resistivo riflette $V^-=\Gamma_LV^+$ con $\Gamma_L=\frac{R_L-Z_0}{R_L+Z_0}$, la tensione sul carico diventa $V^+(1+\Gamma_L)$, la riflessa torna al generatore al tempo $2T$ e, se $\Gamma_G=\frac{R_G-Z_0}{R_G+Z_0}\ne0$, riparte: si ha una successione di gradini (riflessioni multiple), con limite $V_0\frac{R_L}{R_G+R_L}$. A distanza $L_1$ dal generatore l'onda diretta passa a $t=T_1=L_1/c$ e la riflessa a $t=2T-T_1$. Corto circuito: $\Gamma=-1$; circuito aperto: $\Gamma=+1$.Regime istantaneo - gradini, riflessioni e diagramma a rimbalzi →.

Tempo di propagazione: $T=\dfrac Lc=\dfrac{30}{2\cdot10^8}=150$ ns.

Caso 1: $R_G=25\ \Omega$, $R_L=100\ \Omega$

(a) $V^+=V_0\dfrac{Z_0}{R_G+Z_0}=12\cdot\dfrac{50}{75}=\mathbf8$ V; $\Gamma_L=\dfrac{100-50}{100+50}=+\dfrac13$; $\Gamma_G=\dfrac{25-50}{25+50}=-\dfrac13$; $\Gamma_L\Gamma_G=-\dfrac19$.

(b) I fronti diretti sono $V_n^+=V^+(\Gamma_L\Gamma_G)^{n-1}$: $8$ V, $-0{,}889$ V, $+0{,}0988$ V, $-0{,}011$ V, ... Ogni arrivo al carico aumenta la tensione di $V_n^+(1+\Gamma_L)=\frac43V_n^+$:

Il valore a regime è il partitore resistivo: $V_0\dfrac{R_L}{R_G+R_L}=12\cdot\dfrac{100}{125}=\mathbf{9{,}6}$ V.

(c) Al generatore la tensione a $0^+$ è $V^+=8$ V; a $2T=300$ ns arriva la riflessa $\Gamma_LV^+=2{,}667$ V e parte la riflessa dal generatore $\Gamma_G\cdot2{,}667=-0{,}889$ V: l'incremento è $2{,}667-0{,}889=1{,}778$ V, quindi $v=\mathbf{9{,}778}$ V. A $4T$: incremento $1{,}778\cdot\left(-\frac19\right)=-0{,}1975$, $v=\mathbf{9{,}580}$ V. Limite: $8+\dfrac{1{,}778}{1+1/9}=9{,}6$ V. La corrente al generatore a regime: $\dfrac{V_0}{R_G+R_L}=\dfrac{12}{125}=\mathbf{96}$ mA (al primo istante $I^+=\frac{V_0}{R_G+Z_0}=160$ mA).

(d) Gradini di tensione sul carico, a $T,3T,5T,\dots$: $0\to10{,}67\to9{,}48\to9{,}61\to9{,}60\ldots$ con oscillazioni smorzate attorno a $9{,}6$ V (fattore $-\frac19$ a ogni passo).

Caso 2: $R_G=100\ \Omega$, circuito aperto

(a) $V^+=9\cdot\dfrac{50}{150}=\mathbf3$ V; $\Gamma_L=+1$; $\Gamma_G=\dfrac{100-50}{100+50}=+\dfrac13$; $\Gamma_L\Gamma_G=\dfrac13$ (stesso segno: nessuna oscillazione, la tensione sale sempre).

(b) $V_n^+=3\cdot\left(\frac13\right)^{n-1}$: $3$; $1$; $0{,}333$; $0{,}111$; ... Ogni arrivo al carico aperto aumenta la tensione di $V_n^+(1+\Gamma_L)=2V_n^+$:

A regime: $V_0\dfrac{R_L}{R_G+R_L}\to V_0=\mathbf9$ V (con $R_L\to\infty$: il carico aperto vede la tensione a vuoto del generatore, $v_L=V_0$).

(c) Al generatore: $3$ V a $0^+$; a $2T$: arriva la riflessa $\Gamma_LV^+=3$ V e riparte $\Gamma_G\cdot3=1$ V: incremento $4$ V, $v=\mathbf7$ V; a $4T$: $+4\cdot\frac13=1{,}333$, $v=8{,}333$ V; limite $3+\dfrac{4}{1-1/3}=9$ V. La corrente al generatore a regime è nulla (circuito aperto): $i(\infty)=0$ (da $I^+=\frac{9}{150}=60$ mA a $0$).

(d) Gradini positivi sempre più piccoli: $6\to8\to8{,}67\to8{,}89\to\ldots\to9$ V, crescita monotona (nessun superamento del valore finale).

(e) Il valore finale non dipende da $Z_0$

Per $\Gamma_L=\frac{R_L-Z_0}{R_L+Z_0}$, $\Gamma_G=\frac{R_G-Z_0}{R_G+Z_0}$ e $V^+=V_0\frac{Z_0}{R_G+Z_0}$:

$$V_L(\infty)=\frac{V^+(1+\Gamma_L)}{1-\Gamma_L\Gamma_G}=V_0\frac{Z_0}{R_G+Z_0}\cdot\frac{2R_L}{R_L+Z_0}\cdot\frac{(R_L+Z_0)(R_G+Z_0)}{2Z_0(R_L+R_G)}=V_0\frac{R_L}{R_G+R_L}.$$

(Il denominatore: $1-\Gamma_L\Gamma_G=\dfrac{(R_L+Z_0)(R_G+Z_0)-(R_L-Z_0)(R_G-Z_0)}{(R_L+Z_0)(R_G+Z_0)}=\dfrac{2Z_0(R_L+R_G)}{(R_L+Z_0)(R_G+Z_0)}$.) A regime la linea è solo un filo: il circuito è il partitore fra $R_G$ e $R_L$. Verifica: caso 1: $9{,}6$ V, caso 2: $9$ V ✓.

Errori comuni

• Dimenticare di moltiplicare per $(1+\Gamma_L)$: a ogni arrivo al carico l'onda incidente e la riflessa si sommano.
• Mettere gli istanti sbagliati: sul carico $T,3T,5T,\dots$; al generatore $0,2T,4T,\dots$.
• Concludere che la tensione oscilla sempre: se $\Gamma_L\Gamma_G>0$ la tensione cresce monotonamente verso il valore finale (come nel caso 2), se $<0$ oscilla.