Area efficace, antenne a parabola e formula di Friis

** $\frac{A_e}{G}$ è una costante indipendente dall'antenna: $A_e=\frac{G\lambda^2}{4\pi}$. Ne segue la **formula di Friis** $P_{rec}=P_tG_TG_R\left(\frac{\lambda}{4\pi R}\right)^2$ (puntamento ottimale, adattamento in potenza e in polarizzazione, spazio libero), con **attenuazione di spazio liberofattore quadrato di quattro pi R diviso lambda che riflette la diluizione della potenza su una sfera** $A_{sl}=\left(\frac{4\pi R}\lambda\right)^2$; in dB $P_{rec}=P_t+G_T+G_R-A_{sl}$. **Antenne filiformi**: $G$ quasi indipendente da $\lambda$ ($A_e\propto\lambda^2$); **antenne ad aperturaantenne come le parabole, il cui comportamento dipende dall'area della bocca** (parabole): $A_e=\xi_G\frac{\pi d^2}{4}$ indipendente da $\lambda$ e $G=\xi_G\left(\frac{\pi d}\lambda\right)^2\propto\frac{1}{\lambda^2}$. Quindi con due filiformi $P_{rec}\propto\lambda^2$, con due parabole $P_{rec}\propto\lambda^{-2}$, con una filiforme e una parabola $P_{rec}$ non dipende da $\lambda$; per le parabole $P_{rec}\propto d_T^2d_R^2$. -->

Dopo aver visto come un'antenna trasmette (Parametri d'antenna - diagramma, direttività, guadagno e resistenza di radiazionel'intensità di radiazione normalizzata $F(\theta,\varphi)=\frac{S(R,\theta,\varphi)}{S_{MAX}}$ (a $R$ fissata) dà il diagramma di radiazionegrafico dell'intensità di radiazione normalizzata in funzione degli angoli (lobo principale, lobi secondari; in dB $F_{dB}=10\log_{10}F$); per il dipolo elementare $F=\sin^2\theta$. La direttività è $D=\frac{F_{MAX}}{F_{av}}=\frac{4\pi}{\iint_{4\pi}F,d\Omega}=\frac{4\pi R^2S_{MAX}}{P_{rad}}\ge1$ ($D=1$ antenna isotropa; dipolo elementare $D=1{,}5=1{,}76$ dB). Il guadagno è $G=\frac{4\pi R^2S_{MAX}}{P_t}$ con $P_t$ potenza di alimentazione e il rendimento $\xi=\frac{P_{rad}}{P_t}$, per cui $G=\xi D$. Nel circuito equivalente $P_{rad}=\frac12R_{rad}|I|^2$, $P_t=\frac12(R_{rad}+R_{diss})|I|^2$, $\xi=\frac{R_{rad}}{R_{rad}+R_{diss}}$. Dal guadagno: $S_{MAX}=\frac{GP_t}{4\pi R^2}$ e $|E_{MAX}|=\frac1R\sqrt{\frac{\eta GP_t}{2\pi}}=\frac{\sqrt{60,G,P_t}}{R}$ (nel vuoto). Dipolo elementare/corto: $D=1{,}5$; dipolo a mezz'onda: $D\simeq1{,}64$, $R_{rad}=72\ \Omega$.Parametri d'antenna - diagramma, direttività, guadagno e resistenza di radiazione →), si considera un collegamento radiosistema formato da un'antenna trasmittente e una ricevente a grande distanza: un'antenna in trasmissione (T) e una in ricezione (R) a grande distanza in un mezzo lineare, privo di perdite, isotropo e omogeneo, in modo che R non perturbi il campo generato da T.

Cosa determina la potenza ricevuta

La potenza attiva trasferita dall'antenna ricevente al suo carico dipende da: l'impedenza di carico (adattamento in potenza), la direzione in cui è puntata R (puntamentoorientamento delle antenne in modo che i lobi principali si guardino) e la polarizzazione del campo che la investe. Il massimo si ha quando:

• il puntamento è ottimale: i lobi principali delle due antenne sono rivolti uno verso l'altro;
• la polarizzazione è ottimale: l'antenna ricevente è orientata per captare il campo incidente, onda piana con polarizzazione rettilinea. Esempio: un dipolo di lunghezza $L$ parallelo al campo incidente $E_i$ ha ai capi la differenza di potenziale $V=-E_iL$ e quindi una corrente; se è perpendicolare l'integrale $\int\bar E_i\cdot d\bar l$ è nullo e non riceve nulla;
• il carico è adattato in potenzacon impedenza di carico coniugata a quella dell'antenna, per ricevere la massima potenza.

Area efficace

Si definisce area efficace dell'antenna ricevente

$$A_e=\frac{P_{rec}}{|\bar E_i|^2/(2\eta)}=\frac{P_{rec}}{S_i}\qquad[\mathrm{m^2}],$$

dove $P_{rec}$ è la potenza trasferita al ricevitore nelle condizioni di massimo (puntamento, polarizzazione, adattamento) e $|\bar E_i|$ è il campo elettrico dell'onda incidente (quello che c'è nella posizione dell'antenna ricevente ma in sua assenza). Poiché a grande distanza il campo è un'onda piana uniforme, il modulo del campo è costante su tutta l'area dell'antenna ricevente. Con puntamento ottimale la densità di potenza incidente è quella massima della trasmittente, $S_{MAX}=\dfrac{G_TP_t}{4\pi R^2}$, quindi

$$P_{rec}=A_e\,S_{MAX}=A_e\frac{G_TP_t}{4\pi R^2}.$$

È l'area equivalente di un "collettore" che cattura tutta la potenza dell'onda che lo investe.

Reciprocità e legame fra area efficace e guadagno

Si scambiano i ruoli delle due antenne (la 1 trasmette, la 2 riceve e poi viceversa): per il teorema di reciprocità (in un sistema lineare con mezzi isotropi scambiando generatore e carico si legge la stessa corrente) la potenza ricevuta è la stessa, quindi

$$P_{rec}=A_{e2}\frac{G_1P_t}{4\pi R^2}=A_{e1}\frac{G_2P_t}{4\pi R^2}\ \Rightarrow\ A_{e2}G_1=A_{e1}G_2\ \Rightarrow\ \frac{A_{e1}}{G_1}=\frac{A_{e2}}{G_2}=\text{costante}.$$

Poiché le due antenne sono qualsiasi, il rapporto fra area efficacearea equivalente con cui l'antenna ricevente cattura la potenza dell'onda incidente e guadagno non dipende dal tipo di antenna (a frequenza fissata). Il calcolo per il dipolo elementare dà

$$\boxed{A_e=G\,\frac{\lambda^2}{4\pi}}\qquad\left(\Rightarrow\ G=\frac{4\pi A_e}{\lambda^2}\right).$$

La formula di Friis

Sostituendo: $P_{rec}=A_{eR}\dfrac{G_TP_t}{4\pi R^2}=G_R\dfrac{\lambda^2}{4\pi}\cdot\dfrac{G_TP_t}{4\pi R^2}$, cioè

$$\boxed{P_{rec}=P_t\,G_T\,G_R\left(\frac{\lambda}{4\pi R}\right)^2}$$

(formula di Friis: la massima potenza che un'antenna può ricevere). Il fattore $\left(\frac\lambda{4\pi R}\right)^2\ll1$ è l'inverso dell'attenuazione di spazio libero $A_{sl}=\left(\dfrac{4\pi R}\lambda\right)^2$. Non è una perdita nel mezzo (che non è dissipativo): è che la potenza irradiata, costante, si ripartiscedistribuisce su una superficie che cresce con la distanza su una superficie sferica che cresce come $R^2$, quindi la densità di potenza cala come $\frac1{R^2}$. In decibel (Decibel e neper - attenuazioni e guadagniil decibel esprime un rapporto di potenze su scala logaritmica: guadagno $G_{dB}=10\log_{10}\frac{P_2}{P_1}$, attenuazione $A_{dB}=-10\log_{10}\frac{P_2}{P_1}=10\log_{10}\frac{P_1}{P_2}$; per rapporti di campi (o tensioni) $20\log_{10}$. Da ricordare: $\times2\leftrightarrow3$ dB, $\times4\leftrightarrow6$ dB, $\times10\leftrightarrow10$ dB, $\times100\leftrightarrow20$ dB, $\times1000\leftrightarrow30$ dB (e i loro inversi con segno meno); combinando: $13$ dB $\approx\times20$, $16$ dB $\approx\times40$, $27$ dB $\approx\times500$. Inversione: $\frac{P_2}{P_1}=10^{G_{dB}/10}$. Il neper misura l'attenuazione del campo: $e^{-\alpha L}$; poiché la potenza va come $e^{-2\alpha L}$, $A_{dB}=10\log_{10}e^{2\alpha L}=8{,}686,\alpha L$ ($1$ Np $=8{,}686$ dB). Livelli assoluti: dBW $=10\log_{10}\frac{P}{1\text{ W}}$, dBm $=10\log_{10}\frac{P}{1\text{ mW}}$; in un collegamento le grandezze in dB si sommano: $P_{rec,dB}=P_{t,dB}+G_{T,dB}+G_{R,dB}-A_{sl,dB}$.Decibel e neper - attenuazioni e guadagni →):

$$P_{rec,dB}=P_{t,dB}+G_{T,dB}+G_{R,dB}-A_{sl,dB},\qquad A_{sl,dB}=20\log_{10}\frac{4\pi R}{\lambda}.$$

Antenne filiformi e antenne ad apertura

Antenne filiformi (dipoli): la direttività varia poco con la lunghezza d'onda (dipolo elementare $D=1{,}5$, mezz'onda $D\simeq1{,}64$). Quindi $G$ è praticamente indipendente da $\lambda$, mentre $A_e=\frac{G\lambda^2}{4\pi}\propto\lambda^2$ non dipende dalle dimensioni fisiche del filo ma dalla lunghezza d'onda: per il dipolo corto $A_e=\dfrac{1{,}5\lambda^2}{4\pi}=0{,}119\lambda^2$.

Antenne ad apertura (parabole): l'antenna ha un diametro $d\gg\lambda$ e cattura la densità di potenza che incide sull'area di boccaarea geometrica della apertura di una parabola $\dfrac{\pi d^2}{4}$ moltiplicata per un rendimento $\xi_G$ (frazione rispetto al caso ideale):

$$A_e=\xi_G\frac{\pi d^2}{4},\qquad G=\frac{4\pi A_e}{\lambda^2}=\xi_G\left(\frac{\pi d}{\lambda}\right)^2.$$

In queste antenne $A_e$ non dipende dalla lunghezza d'onda, mentre $G\propto\frac1{\lambda^2}\propto f^2$ e cresce con $d^2$: a parità di frequenza, raddoppiare il diametro quadruplica il guadagno (+6 dB). Nelle esercitazioni si assume spesso $A_e$ uguale all'area geometrica ($\xi_G=1$).

Come cambia la potenza ricevuta con la lunghezza d'onda, dalla formula di Friisrelazione che dà la massima potenza ricevuta in funzione di potenza trasmessa, guadagni, distanza e lunghezza d'onda:

Quindi alle basse frequenze conviene usare antenne filiformi, dagli $\approx1$ GHz in su conviene usare le parabole.

Esempi svolti

Esempio 1: mezz'onda a $900$ MHz. Due antenne a mezz'onda ($G_T=G_R=1{,}64$) a $R=1$ km con $P_t=0{,}1$ W, $f=900$ MHz ($\lambda=0{,}333$ m). $S_{MAX}=\dfrac{G_TP_t}{4\pi R^2}=\dfrac{0{,}164}{4\pi\cdot10^6}=13$ nW/m²; $|E_{MAX}|=\sqrt{2\eta S_{MAX}}=3{,}14$ mV/m. $A_{sl}=\left(\dfrac{4\pi\cdot10^3}{0{,}333}\right)^2=1{,}42\cdot10^9$ ($91{,}5$ dB). $P_{rec}=\dfrac{P_tG_TG_R}{A_{sl}}=\dfrac{0{,}1\cdot1{,}64^2}{1{,}42\cdot10^9}=1{,}9\cdot10^{-10}$ W $=0{,}19$ nW.

Esempio 2: collegamento Terra-satellite. Parabolaantenna a riflettore con forma di paraboloide, molto direttiva di terra $d=4$ m, $P_t=100$ W, $f_{up}=14$ GHz ($\lambda=2{,}14$ cm), $\xi_G=0{,}6$; satellite geostazionariosatellite fermo rispetto alla Terra, a circa 36000 km di quota a $R=36\,000$ km con $G_R=6650$ (puntamento perfetto). $G_T=\xi_G\left(\dfrac{\pi d}\lambda\right)^2=0{,}6\cdot(586)^2=206\,340$ ($53{,}1$ dB). $A_{sl}=\left(\dfrac{4\pi R}\lambda\right)^2=4{,}46\cdot10^{20}$ ($206{,}5$ dB). $P_{rec}=\dfrac{100\cdot206\,340\cdot6650}{4{,}46\cdot10^{20}}=3{,}1\cdot10^{-10}$ W $=0{,}3$ nW. Con i dB: $20\ \text{dBW}+53{,}1+38{,}2-206{,}5=-95{,}2$ dBW (la differenza di $0{,}1$ dB rispetto al conto diretto è un arrotondamento: $-95{,}1$).

Esempio 3: Voyager 1. Trasmette a $8{,}4$ GHz ($\lambda=3{,}57$ cm) con antenna di $3{,}7$ m ($G_T=50$ dB) e $P_t=100$ W; distanza $R=24{,}97\cdot10^9$ km ($\approx23$ ore luce); ricezione con rete di antenneinsieme di antenne che combinate hanno un guadagno maggiore di quello di una sola $G_R=80$ dB. $P_{rec}=100\cdot10^5\cdot10^8\cdot\left(\dfrac{0{,}0357}{4\pi\cdot2{,}497\cdot10^{13}}\right)^2=1{,}3\cdot10^{-17}$ W $=13$ aW.

Esempio 4: area efficace a una frequenza (tema d'esame). Un'antenna con $A_e=0{,}002$ m² a $12$ GHz ($\lambda=2{,}5$ cm): $G=\dfrac{4\pi A_e}{\lambda^2}=\dfrac{4\pi\cdot0{,}002}{6{,}25\cdot10^{-4}}=40{,}2\to16{,}0$ dB.

Esempio 5: scalatura con la frequenza (tema d'esame). Due parabole identiche a $3$ GHz, $P_{rec}=10$ mW. A $6$ GHz con la stessa $P_t$: $P_{rec}\propto\lambda^{-2}\propto f^2$, quindi $\times4$: $40$ mW. Con una parabola che passa da $d$ a $2d$ solo in trasmissione: $G_T\times4$, $P_{rec}\times4$: $40$ mW. Per la direttività di una parabola da $27$ dB a $33$ dB ($\times4$): $G\propto f^2\Rightarrow f$ raddoppia, da $10$ a $20$ GHz.

Esempio 6: guadagno da potenza (tema d'esame). Due antenne identiche a $L=1$ km, $f=30$ GHz ($\lambda=1$ cm), $P_t=100$ W, $P_{rec}=100$ nW: $G^2=\dfrac{P_{rec}}{P_t}A_{sl}=10^{-9}\cdot\left(\dfrac{4\pi\cdot1000}{0{,}01}\right)^2=1579$, quindi $G=39{,}7\to16$ dB.

Esempio 7: distanza massima (tema d'esame). $G_T=16$ dB $(39{,}8)$, $G_R=13$ dB $(19{,}95)$, $f=3$ GHz ($\lambda=0{,}1$ m), $P_t=50$ W, $P_{rec}>1$ nW. Da Friis $R=\dfrac\lambda{4\pi}\sqrt{\dfrac{P_tG_TG_R}{P_{rec}}}=\dfrac{0{,}1}{4\pi}\sqrt{\dfrac{50\cdot39{,}8\cdot19{,}95}{10^{-9}}}=0{,}00796\cdot6{,}30\cdot10^6=50{,}2$ km.

Errori comuni

• Dimenticare che $\lambda$ nella formula di Friis è la lunghezza d'onda del mezzo (nel vuoto $c_0/f$): $A_{sl}=\left(\dfrac{4\pi R}{\lambda}\right)^2$.
• Usare $G$ in dB nel prodotto: va convertito in rapporto (o si sommano i dB).
• Confondere $A_e$ con l'area geometrica: coincidono per le parabole ideali ($\xi_G=1$), non per i dipoli ($A_e=0{,}119\lambda^2$).
• Dire che la potenza ricevuta cala come $\frac1R$ (il campo): la potenza cala come $\frac1{R^2}$.
• Pensare che aumentando la frequenza con dipoli si riceva di più: con filiformi $P_{rec}\propto\lambda^2$ cala; con parabole cresce.