Esercizio 31radiocollegamento e formula di Friis (temi d'esame ed esercitazione 3)

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Teoria usata: Area efficace, antenne a parabola e formula di Friisl'area efficace di un'antenna ricevente è $A_e=\frac{P_{rec}}{S_i}$ (potenza ricevuta nelle condizioni di massimo diviso la densità di potenza incidente $S_i=\frac{|E_i|^2}{2\eta}$), quindi $P_{rec}=A_eS_{MAX}=A_e\frac{GP_t}{4\pi R^2}$. Per il teorema di reciprocitàscambiando generatore e carico in un sistema lineare la corrente letta resta la stessa $\frac{A_e}{G}$ è una costante indipendente dall'antenna: $A_e=\frac{G\lambda^2}{4\pi}$. Ne segue la formula di Friis $P_{rec}=P_tG_TG_R\left(\frac{\lambda}{4\pi R}\right)^2$ (puntamento ottimale, adattamento in potenza e in polarizzazione, spazio libero), con attenuazione di spazio liberofattore quadrato di quattro pi R diviso lambda che riflette la diluizione della potenza su una sfera $A_{sl}=\left(\frac{4\pi R}\lambda\right)^2$; in dB $P_{rec}=P_t+G_T+G_R-A_{sl}$. Antenne filiformi: $G$ quasi indipendente da $\lambda$ ($A_e\propto\lambda^2$); antenne ad aperturaantenne come le parabole, il cui comportamento dipende dall'area della bocca (parabole): $A_e=\xi_G\frac{\pi d^2}{4}$ indipendente da $\lambda$ e $G=\xi_G\left(\frac{\pi d}\lambda\right)^2\propto\frac{1}{\lambda^2}$. Quindi con due filiformi $P_{rec}\propto\lambda^2$, con due parabole $P_{rec}\propto\lambda^{-2}$, con una filiforme e una parabola $P_{rec}$ non dipende da $\lambda$; per le parabole $P_{rec}\propto d_T^2d_R^2$.Area efficace, antenne a parabola e formula di Friis →, Parametri d'antenna - diagramma, direttività, guadagno e resistenza di radiazionel'intensità di radiazione normalizzata $F(\theta,\varphi)=\frac{S(R,\theta,\varphi)}{S_{MAX}}$ (a $R$ fissata) dà il diagramma di radiazionegrafico dell'intensità di radiazione normalizzata in funzione degli angoli (lobo principale, lobi secondari; in dB $F_{dB}=10\log_{10}F$); per il dipolo elementare $F=\sin^2\theta$. La direttività è $D=\frac{F_{MAX}}{F_{av}}=\frac{4\pi}{\iint_{4\pi}F,d\Omega}=\frac{4\pi R^2S_{MAX}}{P_{rad}}\ge1$ ($D=1$ antenna isotropa; dipolo elementare $D=1{,}5=1{,}76$ dB). Il guadagno è $G=\frac{4\pi R^2S_{MAX}}{P_t}$ con $P_t$ potenza di alimentazione e il rendimento $\xi=\frac{P_{rad}}{P_t}$, per cui $G=\xi D$. Nel circuito equivalente $P_{rad}=\frac12R_{rad}|I|^2$, $P_t=\frac12(R_{rad}+R_{diss})|I|^2$, $\xi=\frac{R_{rad}}{R_{rad}+R_{diss}}$. Dal guadagno: $S_{MAX}=\frac{GP_t}{4\pi R^2}$ e $|E_{MAX}|=\frac1R\sqrt{\frac{\eta GP_t}{2\pi}}=\frac{\sqrt{60,G,P_t}}{R}$ (nel vuoto). Dipolo elementare/corto: $D=1{,}5$; dipolo a mezz'onda: $D\simeq1{,}64$, $R_{rad}=72\ \Omega$.Parametri d'antenna - diagramma, direttività, guadagno e resistenza di radiazione →, Decibel e neper - attenuazioni e guadagniil decibel esprime un rapporto di potenze su scala logaritmica: guadagno $G_{dB}=10\log_{10}\frac{P_2}{P_1}$, attenuazione $A_{dB}=-10\log_{10}\frac{P_2}{P_1}=10\log_{10}\frac{P_1}{P_2}$; per rapporti di campi (o tensioni) $20\log_{10}$. Da ricordare: $\times2\leftrightarrow3$ dB, $\times4\leftrightarrow6$ dB, $\times10\leftrightarrow10$ dB, $\times100\leftrightarrow20$ dB, $\times1000\leftrightarrow30$ dB (e i loro inversi con segno meno); combinando: $13$ dB $\approx\times20$, $16$ dB $\approx\times40$, $27$ dB $\approx\times500$. Inversione: $\frac{P_2}{P_1}=10^{G_{dB}/10}$. Il neper misura l'attenuazione del campo: $e^{-\alpha L}$; poiché la potenza va come $e^{-2\alpha L}$, $A_{dB}=10\log_{10}e^{2\alpha L}=8{,}686,\alpha L$ ($1$ Np $=8{,}686$ dB). Livelli assoluti: dBW $=10\log_{10}\frac{P}{1\text{ W}}$, dBm $=10\log_{10}\frac{P}{1\text{ mW}}$; in un collegamento le grandezze in dB si sommano: $P_{rec,dB}=P_{t,dB}+G_{T,dB}+G_{R,dB}-A_{sl,dB}$.Decibel e neper - attenuazioni e guadagni →.

Formule. $P_{rec}=P_tG_TG_R\left(\dfrac\lambda{4\pi R}\right)^2$; per una parabola $G=\xi_G\left(\dfrac{\pi d}\lambda\right)^2=\dfrac{4\pi A_e}{\lambda^2}\propto d^2f^2$; con dipoli $G$ costante; in dB $P_{rec}=P_t+G_T+G_R-A_{sl}$, $A_{sl}=20\log_{10}\dfrac{4\pi R}\lambda$.

1. Raddoppio della frequenza con parabole

$G_T,G_R\propto f^2$ (parabole con $A_e$ fissa) e $\left(\dfrac\lambda{4\pi R}\right)^2\propto\dfrac1{f^2}$: $P_{rec}\propto f^2\cdot f^2\cdot f^{-2}=f^2$. Raddoppiando $f$: $P_{rec}=4\cdot10=\mathbf{40}$ mW (risposta b).

2. Direttività della parabola e frequenza

$D\propto f^2$: da $27$ dB a $33$ dB sono $+6$ dB $=\times4$: $f_2^2=4f_1^2$, $f_2=2f_1=\mathbf{20}$ GHz (risposta d).

3. Guadagno dalla potenza ricevuta

$\lambda=\dfrac{3\cdot10^8}{3\cdot10^{10}}=0{,}01$ m; $A_{sl}=\left(\dfrac{4\pi R}\lambda\right)^2=\left(\dfrac{4\pi\cdot1000}{0{,}01}\right)^2=1{,}579\cdot10^{12}$. Da $P_{rec}=P_tG^2/A_{sl}$: $G^2=\dfrac{P_{rec}}{P_t}A_{sl}=10^{-9}\cdot1{,}579\cdot10^{12}=1579$, $G=39{,}7$, cioè $10\log_{10}39{,}7=\mathbf{16}$ dB (risposta c).

4. Raddoppio del diametro in trasmissione

$G_T\propto d_T^2$: raddoppiando $d_T$, $G_T\times4$; $P_{rec}\propto G_T$: $P_{rec}=4\cdot10=\mathbf{40}$ mW (risposta f). (Raddoppiare entrambi: $\times16$.)

5. Distanza massima

$G_T=16$ dB $=39{,}8$, $G_R=13$ dB $=19{,}95$, $\lambda=\dfrac{3\cdot10^8}{3\cdot10^9}=0{,}1$ m. Da Friis: $R=\dfrac{\lambda}{4\pi}\sqrt{\dfrac{P_tG_TG_R}{P_{rec}}}=\dfrac{0{,}1}{4\pi}\sqrt{\dfrac{50\cdot39{,}8\cdot19{,}95}{10^{-9}}}=0{,}00796\cdot6{,}30\cdot10^6=50{,}2$ km: $L_{max}\approx\mathbf{50}$ km (risposta f).

6. Due dipoli corti: dipendenza dalla lunghezza d'onda

Per antenne filiformi $G$ è costante, quindi $P_{rec}\propto\lambda^2\propto\dfrac1{f^2}$. Raddoppiando $f$ da $30$ a $60$ MHz: $P_{rec2}=\dfrac{P_{rec1}}{4}=\dfrac{4}{4}=\mathbf1$ nW (la lunghezza d'onda passa da $10$ m a $5$ m).

7. Rapporto in dB

$\lambda=\dfrac{3\cdot10^8}{9\cdot10^8}=0{,}333$ m: $A_{sl,dB}=20\log_{10}\dfrac{4\pi\cdot100}{0{,}333}=20\log_{10}3770=71{,}5$ dB. Quindi $10\log_{10}\dfrac{P_{rec}}{P_t}=G_T+G_R-A_{sl}=13+10-71{,}5=\mathbf{-48{,}5}$ dB (cioè $P_{rec}/P_t=1{,}4\cdot10^{-5}$).

8. Ponte radio a $27$ GHz

$\lambda=\dfrac{3\cdot10^8}{27\cdot10^9}=0{,}0111$ m; area di bocca $A=\pi\left(\dfrac{d}2\right)^2=\pi\cdot0{,}25^2=0{,}1963$ m² $=A_e$.

1. $G=\dfrac{4\pi A_e}{\lambda^2}=\dfrac{4\pi\cdot0{,}1963}{1{,}235\cdot10^{-4}}=\mathbf{19\,990}\approx2\cdot10^4$, cioè $\mathbf{43{,}0}$ dB.
2. $|E|=\dfrac{\sqrt{60GP_t}}{L}=\dfrac{\sqrt{60\cdot19\,990\cdot0{,}01}}{1000}=\dfrac{109{,}5}{1000}=\mathbf{0{,}11}$ V/m.
3. $P_{rec}=P_tG^2\left(\dfrac{\lambda}{4\pi L}\right)^2=0{,}01\cdot(19\,990)^2\cdot\left(\dfrac{0{,}0111}{4\pi\cdot1000}\right)^2=0{,}01\cdot3{,}996\cdot10^8\cdot7{,}82\cdot10^{-13}=\mathbf{3{,}1\ \mu W}$.

In dB: $P_t=10$ mW $=-20$ dBW e $A_{sl}=20\log_{10}\dfrac{4\pi\cdot10^3}{0{,}0111}=121{,}1$ dB, quindi $P_{rec}=-20+43+43-121{,}1=-55{,}1$ dBW $=3{,}1\ \mu$W ✓.

9. Collegamento WiFi

$\lambda=\dfrac{3\cdot10^8}{2{,}4\cdot10^9}=0{,}125$ m; $A_{sl}=20\log_{10}\dfrac{4\pi\cdot50}{0{,}125}=20\log_{10}5027=74{,}0$ dB. $P_t=100$ mW $=20$ dBm: $P_{rec}=20+8+8-74{,}0=\mathbf{-38{,}0}$ dBm $=1{,}6\cdot10^{-4}$ mW $=\mathbf{158}$ nW.

Errori comuni

• Dimenticare che con due parabole $P_{rec}\propto f^2$ (il guadagno di entrambe cresce), mentre con due dipoli $P_{rec}\propto1/f^2$.
• Usare la distanza in km nella formula senza convertire in metri.
• Dimenticare che nella formula di Friis i guadagni sono rapporti (non dB) e che compaiono due guadagni.
• Prendere $P_{rec}\propto\frac1R$ invece di $\frac1{R^2}$.