Esercizio 6ricostruzione del carico dal grafico del modulo di corrente (temi d'esame 2024 e 2025)

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Teoria usata: Problemi inversi - dai massimi e minimi al caricoun problema inverso dà la forma del modulo di $V$ o di $I$ lungo la linea (valori e posizioni di un massimo e di un minimo adiacenti) e chiede di ricostruire frequenza e carico. Metodo: (1) $\lambda=4,|d_M-d_m|$ (massimo e minimo adiacenti distano $\lambda/4$; due minimi consecutivi $\lambda/2$) e $f=v_p/\lambda$; (2) $S=\frac{|V|{max}}{|V|{min}}=\frac{|I|{max}}{|I|{min}}$ e $|\Gamma_L|=\frac{S-1}{S+1}$; (3) fase: dal primo massimo di $|V|$ a distanza $d_M$ si ha $\varphi_L=\frac{4\pi d_M}{\lambda}$, dal primo minimo $d_m$ si ha $\varphi_L=\pi+\frac{4\pi d_m}{\lambda}$ (un massimo di $|I|$ è un minimo di $|V|$); (4) $Z_L=Z_0\frac{1+\Gamma_L}{1-\Gamma_L}$; (5) $|V^+|=\frac{|V|{max}}{1+|\Gamma|}$ e $\frac{|V^+|}{Z_0}=\frac{|I|{max}+|I|{min}}{2}$; $|V_L|=|V^+||1+\Gamma_L|$, $|I_L|=\frac{|V^+|}{Z_0}|1-\Gamma_L|$; con generatore adattato $|V_g|=2|V^+|$.Problemi inversi - dai massimi e minimi al carico →, Onda progressiva, stazionaria e parzialmente stazionaria - massimi, minimi e ROSil modulo della tensione lungo la linea è $|V(-l)|=|V^+|,\left|1+|\Gamma_L|e^{j(\varphi_L-2\beta l)}\right|$ e quello della corrente $|I(-l)|=\frac{|V^+|}{Z_0}\left|1-|\Gamma_L|e^{j(\varphi_L-2\beta l)}\right|$. Se $\Gamma_L=0$ l'onda è progressiva (modulo costante); se $|\Gamma_L|=1$ è stazionaria (nodi e ventri fissi, tempo e spazio separati); altrimenti è parzialmente stazionariasomma di un'onda progressiva e di un'onda stazionaria, quando la riflessione è parziale (onda progressiva di ampiezza $|V^+|-|V^-|$ più onda stazionaria di ampiezza massima $2|V^-|$). I massimi di tensione (minimi di corrente) cadono dove $\varphi_L-2\beta l_M=2k\pi$, i minimi (massimi di corrente) dove $\varphi_L-2\beta l_m=(2k+1)\pi$; fra due massimi consecutivi c'è $\lambda/2$, fra un massimo e un minimo $\lambda/4$. $|V|{max}=|V^+|(1+|\Gamma|)$, $|V|{min}=|V^+|(1-|\Gamma|)$. Il rapporto d'onda stazionaria $S=\frac{|V|{max}}{|V|{min}}=\frac{1+|\Gamma|}{1-|\Gamma|}$ è reale, $\ge1$; nei massimi e minimi l'impedenza è reale: $Z=SZ_0$ nei massimi di tensione, $Z=Z_0/S$ nei minimi.Onda progressiva, stazionaria e parzialmente stazionaria - massimi, minimi e ROS →, Potenza sulla linea e legame con il generatorela potenza complessa in un punto di una linea senza perdite è $\frac12VI^*=\frac12\frac{|V^+|^2}{Z_0}\left[1-|\Gamma|^2+2j,\mathrm{Im},\Gamma(-l)\right]$: la potenza attiva $P_A=\frac12\frac{|V^+|^2}{Z_0}(1-|\Gamma_L|^2)$ è la differenza fra potenza incidente e riflessa e si conserva lungo tutta la linea (e sul carico: $P_A=\frac12R_L|I_L|^2$), la potenza reattiva varia con la posizione. Perciò $|I|{max}=\sqrt{2P_AS/Z_0}$, $|V|{max}=\sqrt{2P_AZ_0S}$, $|V|{min}=\sqrt{2P_AZ_0/S}$. Il legame con il generatore (tensione a vuoto $V_g$, impedenza interna $Z_g$, linea lunga $L$) è $V^+=V_ge^{-j\beta L}\frac{Z_0}{Z_g(1-\Gamma(-L))+Z_0(1+\Gamma(-L))}$; se $Z_g=Z_0$ si ha $V^+=\frac{V_g}{2}e^{-j\beta L}$ indipendente dal carico e $P_A=\frac{|V_g|^2}{8Z_0}(1-|\Gamma_L|^2)$, che con carico adattato vale $\frac{|V_g|^2}{8Z_0}$ (potenza disponibile).Potenza sulla linea e legame con il generatore →.

Attenzione. Il grafico è del modulo di corrente: i massimi di $|I|$ sono i minimi di $|V|$, quindi per la fase con il metodo del capitolo si usano $d_M$ come posizione di un minimo di tensione e $d_m$ come posizione di un massimo di tensione.

(i) Dati del 23 giugno 2025

1. Frequenza. $\dfrac\lambda4=d_M-d_m=214{,}4-64{,}4=150$ mm, $\lambda=600$ mm; con la costante di fase del vuoto $f=\dfrac{c_0}\lambda=\dfrac{3\cdot10^8}{0{,}6}=\mathbf{500}$ MHz.
2. ROS e $|\Gamma_L|$. $S=\dfrac{|I|_{max}}{|I|_{min}}=\dfrac{66{,}3}{40{,}3}=1{,}645$; $|\Gamma_L|=\dfrac{S-1}{S+1}=\dfrac{0{,}645}{2{,}645}=\mathbf{0{,}244}$.
3. Fase. In $d_m$ c'è il minimo di corrente cioè il massimo di tensione: $\varphi_L=\dfrac{4\pi d_m}{\lambda}=4\pi\cdot\dfrac{64{,}4}{600}=1{,}349$ rad $=\mathbf{77{,}3^\circ}$. (Controllo con $d_M$, minimo di tensione: $\varphi_L=\pi+\dfrac{4\pi\cdot214{,}4}{600}=\pi+4{,}490=7{,}632\equiv1{,}349$ rad ✓.)
4. Carico. $\Gamma_L=0{,}244\,e^{j77{,}3^\circ}=0{,}0536+j0{,}2380$; $Z_L=75\cdot\dfrac{1{,}0536+j0{,}2380}{0{,}9464-j0{,}2380}=75\cdot(0{,}988+j0{,}500)=\mathbf{74{,}1+j37{,}5\ \Omega}$ (opzione "$75+j37{,}5\ \Omega$").
5. Onda incidente. $\dfrac{|V^+|}{Z_C}=\dfrac{|I|_{max}+|I|_{min}}2=53{,}3$ mA, quindi $|V^+|=53{,}3\cdot10^{-3}\cdot75=4{,}0$ V.
6. Tensione del generatore (adattato, $Z_G=Z_C$): $|V_G|=2|V^+|=\mathbf{8}$ V.
7. Corrente sul carico. $|I_L|=\dfrac{|V^+|}{Z_C}|1-\Gamma_L|=53{,}3\cdot|0{,}9464-j0{,}2380|=53{,}3\cdot0{,}9758=\mathbf{52{,}0}$ mA. (L'opzione più vicina del tema è $51{,}7$ mA.) Verifica: $\tfrac12R_L|I_L|^2=\tfrac12\cdot74{,}1\cdot0{,}052^2=100$ mW $=P_A=\dfrac{|V^+|^2}{2Z_C}(1-|\Gamma_L|^2)=\dfrac{16}{150}\cdot0{,}9405=100$ mW ✓.
8. Adattatori a $\lambda/4$ (altre domande del tema): nel massimo di tensione $Z=SZ_C=123\ \Omega$, $Z_{01}=Z_C\sqrt S=96{,}2\ \Omega$; nel minimo $Z=45{,}6\ \Omega$, $Z_{01}=Z_C/\sqrt S=58{,}5\ \Omega$.

(ii) Dati di luglio 2024

1. Frequenza. $\dfrac\lambda4=328{,}2-140{,}7=187{,}5$ mm, $\lambda=750$ mm, $f=\dfrac{3\cdot10^8}{0{,}75}=\mathbf{400}$ MHz.
2. $|\Gamma_L|$. $S=\dfrac{113{,}8}{19{,}5}=5{,}836$; $|\Gamma_L|=\dfrac{4{,}836}{6{,}836}=\mathbf{0{,}707}$.
3. Fase. Qui il minimo di corrente (massimo di tensione) è il secondo punto, $d_m=328{,}2$ mm: $\varphi_L=\dfrac{4\pi\cdot328{,}2}{750}=5{,}499$ rad $=315{,}1^\circ\equiv\mathbf{-44{,}9^\circ\approx-45^\circ}$ (con $d_M=140{,}7$, minimo di tensione: $\pi+\dfrac{4\pi\cdot140{,}7}{750}=\pi+2{,}358=5{,}499$ ✓).
4. Carico. $\Gamma_L=0{,}707\,e^{-j45^\circ}=0{,}5-j0{,}5$; $Z_L=75\cdot\dfrac{1{,}5-j0{,}5}{0{,}5+j0{,}5}=75\cdot(1-j2)=\mathbf{75-j150\ \Omega}$ (opzione $75-j150\ \Omega$).
5. Onda incidente. $\dfrac{|V^+|}{Z_C}=\dfrac{113{,}8+19{,}5}2=66{,}65$ mA, $|V^+|=5{,}0$ V; $|V_G|=2|V^+|=\mathbf{10}$ V.
6. Corrente sul carico. $|I_L|=66{,}65\cdot|1-\Gamma_L|=66{,}65\cdot|0{,}5+j0{,}5|=66{,}65\cdot0{,}7071=\mathbf{47{,}1}$ mA.

Riepilogo dei risultati

Errori comuni

• Usare la posizione del massimo di corrente come se fosse il massimo di tensione: serve $+\pi$ nella fase.
• Prendere $\lambda=2(d_M-d_m)$ invece di $\lambda=4|d_M-d_m|$.
• Calcolare $|V_G|=|V^+|$ invece di $2|V^+|$ (generatore adattato).
• Dimenticare di moltiplicare per $Z_C$ quando si passa da $\frac{|V^+|}{Z_C}$ a $|V^+|$.