Esercizio 11stub, distanza minima, lunghezza dello stub e primo massimo (esercitazioni A e B)

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Teoria usata: Stub e adattatore a singolo stubuno stub è uno spezzone di linea (stessa $Z_0$) chiuso in corto circuitocarico di impedenza nulla o in circuito aperto: ha impedenza puramente immaginaria, $z=j\tan\beta l$ (corto: induttiva per $l<\lambda/4$, capacitiva per $\lambda/4<l<\lambda/2$), $z=-j\cot\beta l$ (aperto: capacitiva per $l<\lambda/4$). Nei testi "stub" senza altro è a corto circuito. L'adattatore a singolo stub si collega in parallelo alla linea a distanza $d$ dal carico, dove l'ammettenza normalizzata vale $y(-d)=1+jb$; lo stub (di ammettenza $jb_s$ con $b_s=-b$) la riporta a $1$: $\Gamma=0$ a monte. Con $y_L=g+jb$ e $t=\tan\beta d$: $(|y_L|^2-g)t^2-2bt+(1-g)=0$ (due soluzioni per periodo $\lambda/2$). Lunghezza dello stub in corto: $-\cot\beta l=b_s$; in aperto: $\tan\beta l=b_s$. Nella carta di Smith: si passa a $y_L$ (punto opposto), si ruota in senso orario fino alla circonferenza $g=1$ (due punti, $d$ = differenza di lettura), si legge $b$, e la lunghezza dello stub si legge dal corto circuito (estremo sinistro) fino a $-b$.Stub e adattatore a singolo stub →, Carta di Smith - costruzione e usola carta di Smith è la rappresentazione delle impedenze normalizzate $z=r+jx=\frac{1+\Gamma}{1-\Gamma}$ nel piano del coefficiente di riflessione $\Gamma=u+jv$, dove ogni carico passivo cade dentro il cerchio $|\Gamma|\le1$. Le linee $r=$ costante sono circonferenze di centro $\left(\frac r{1+r},0\right)$ e raggio $\frac1{1+r}$ (tutte passanti per $\Gamma=1$), le linee $x=$ costante sono archi di circonferenza di centro $\left(1,\frac1x\right)$ e raggio $\frac1{|x|}$. Il centro è il carico adattato ($z=1$), il bordo $|\Gamma|=1$ i carichi reattivi, l'asse reale i carichi resistivi, la semicirconferenza superiore $x>0$ (induttivi) e quella inferiore $x<0$ (capacitivi); il corto circuito è a sinistra ($\Gamma=-1$), il circuito aperto a destra ($\Gamma=+1$). Lungo la linea $|\Gamma|$ resta costante (punto su una circonferenza a $S$ costante): verso il generatore ci si sposta in senso orario di $4\pi,l/\lambda$ radianti (una volta intera ogni $\lambda/2$); verso il carico in senso antiorario. L'ammettenza normalizzata è il punto diametralmente opposto ($\Gamma\to-\Gamma$). $S$ si legge sul semiasse reale positivo ($S=r$ nel punto di intersezione).Carta di Smith - costruzione e uso →, Onda progressiva, stazionaria e parzialmente stazionaria - massimi, minimi e ROSil modulo della tensione lungo la linea è $|V(-l)|=|V^+|,\left|1+|\Gamma_L|e^{j(\varphi_L-2\beta l)}\right|$ e quello della corrente $|I(-l)|=\frac{|V^+|}{Z_0}\left|1-|\Gamma_L|e^{j(\varphi_L-2\beta l)}\right|$. Se $\Gamma_L=0$ l'onda è progressiva (modulo costante); se $|\Gamma_L|=1$ è stazionaria (nodi e ventri fissi, tempo e spazio separati); altrimenti è parzialmente stazionariasomma di un'onda progressiva e di un'onda stazionaria, quando la riflessione è parziale (onda progressiva di ampiezza $|V^+|-|V^-|$ più onda stazionaria di ampiezza massima $2|V^-|$). I massimi di tensione (minimi di corrente) cadono dove $\varphi_L-2\beta l_M=2k\pi$, i minimi (massimi di corrente) dove $\varphi_L-2\beta l_m=(2k+1)\pi$; fra due massimi consecutivi c'è $\lambda/2$, fra un massimo e un minimo $\lambda/4$. $|V|{max}=|V^+|(1+|\Gamma|)$, $|V|{min}=|V^+|(1-|\Gamma|)$. Il rapporto d'onda stazionaria $S=\frac{|V|{max}}{|V|{min}}=\frac{1+|\Gamma|}{1-|\Gamma|}$ è reale, $\ge1$; nei massimi e minimi l'impedenza è reale: $Z=SZ_0$ nei massimi di tensione, $Z=Z_0/S$ nei minimi.Onda progressiva, stazionaria e parzialmente stazionaria - massimi, minimi e ROS →.

Preliminari comuni. $\lambda=\dfrac{3\cdot10^8}{6\cdot10^8}=0{,}5$ m $=500$ mm.

(a) Carico $60-j80\ \Omega$: distanza minima e stub

$z_L=0{,}6-j0{,}8$ (modulo $1$): $\Gamma_L=\dfrac{-0{,}4-j0{,}8}{1{,}6-j0{,}8}=0{,}5\,e^{-j90^\circ}=-j0{,}5$, $S=\dfrac{1{,}5}{0{,}5}=3$. $y_L=\dfrac1{z_L}=0{,}6+j0{,}8$ ($g=0{,}6$, $b_L=0{,}8$). L'equazione per $t=\tan\beta d$:

$$(|y_L|^2-g)t^2-2b_Lt+(1-g)=0\Rightarrow(1-0{,}6)t^2-1{,}6t+0{,}4=0\Rightarrow t^2-4t+1=0\Rightarrow t=2\pm\sqrt3,$$

cioè $t_1=0{,}268$ e $t_2=3{,}732$.

• $t_1=0{,}268$: $\beta d=15^\circ$, $d=\dfrac{15}{360}\lambda=0{,}0417\lambda=\mathbf{20{,}8}$ mm; qui $y(-d)=1+j1{,}155$ e serve $b_s=-1{,}155$: stub in corto $\tan\beta l=-\dfrac1{b_s}=0{,}866$, $\beta l=40{,}9^\circ$, $l=0{,}1136\lambda=\mathbf{56{,}8}$ mm.
• $t_2=3{,}732$: $\beta d=75^\circ$, $d=0{,}2083\lambda=104{,}2$ mm, $b_s=+1{,}155$, $l=0{,}3864\lambda=193{,}2$ mm.

La distanza minima è $d\approx21$ mm con $l\approx57\to60$ mm: risposta b. (Sulla carta: $y_L$ è il punto B, il cerchio $g=1$ si incontra a $0{,}167\lambda-0{,}125\lambda=0{,}042\lambda=21$ mm; $b=+1{,}15$ da compensare con $-j1{,}15$ cioè un punto a $0{,}367-0{,}25=0{,}117\lambda=58$ mm.)

(b) Carico $50-j20\ \Omega$: lunghezza minima dello stub

$z_L=0{,}5-j0{,}2$, $y_L=\dfrac1{0{,}5-j0{,}2}=1{,}724+j0{,}690$ ($g=1{,}724$, $b_L=0{,}690$, $|y_L|^2=3{,}448$). L'equazione $(3{,}448-1{,}724)t^2-1{,}380t+(1-1{,}724)=0$, cioè $1{,}724t^2-1{,}380t-0{,}724=0$, dà $t=\dfrac{1{,}380\pm\sqrt{1{,}904+4{,}993}}{3{,}448}=\dfrac{1{,}380\pm2{,}626}{3{,}448}$: $t_1=1{,}163$, $t_2=-0{,}3613$.

Lo "stub" senza altra indicazione è in corto circuito: la lunghezza minima è $l_m=\mathbf{73}$ mm (risposta e), per la seconda soluzione. (Sulla carta di Smith il valore si legge come $0{,}396\lambda-0{,}25\lambda=0{,}146\lambda=73$ mm.)

(c) Primo massimo di tensione per $60-j80\ \Omega$

$\varphi_L=-90^\circ$ e $\dfrac{\varphi_L}{4\pi}=\dfrac{-90^\circ}{720^\circ}=-0{,}125$ è negativo: si somma $\dfrac\lambda2$ (periodo), quindi $d_M=(-0{,}125+0{,}5)\lambda=0{,}375\lambda=\mathbf{187{,}5}$ mm (risposta d). Il primo minimo è $\dfrac\lambda4$ prima: $d_m=62{,}5$ mm (l'opzione f). Sulla carta di Smith: dal punto $z_L=0{,}6-j0{,}8$ si ruota in senso orario fino al semiasse reale positivo, per uno spostamento di $0{,}375\lambda$.

(d) Distanza minima per lo stub con $50-j20\ \Omega$

Dalla tabella del punto (b): la distanza minima è $d_{min}=68{,}4$ mm (soluzione 1): risposta f (il valore esatto è $68{,}4$ mm; la soluzione del corso, letta sulla carta, è $67{,}5$ mm). Esiste anche la soluzione a $222{,}4$ mm, più lontana.

Errori comuni

• Dare la lunghezza dello stub relativa alla soluzione sbagliata: "distanza minima" e "lunghezza minima" in generale si riferiscono a due soluzioni diverse (in (b) $73$ mm è la lunghezza minima, $68{,}4$ mm la distanza minima).
• Dimenticare di scegliere lo stub in corto (default) quando il testo dice solo "stub".
• Prendere come primo massimo la distanza negativa $-62{,}5$ mm (per $\varphi_L<0$ si somma $\lambda/2$).