Esercizio 25riflessione e rifrazione tra due dielettrici, esercizio completo in 22 punti (esercizio proposto)

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Teoria usata: Riflessione e rifrazione tra due dielettriciall'interfaccia fra due dielettrici ideali sono continue le componenti tangenti di $\bar E$ e $\bar H$ (e le normali di $\bar D$ e $\bar B$). Per incidenza normalecaso in cui l'onda arriva perpendicolarmente alla superficie di separazione da $1$ a $2$ le ampiezze all'interfaccia ($z=0$) sono legate da $E_0^i+E_0^r=E_0^t$ e $\frac{E_0^i-E_0^r}{\eta_1}=\frac{E_0^t}{\eta_2}$, quindi $\Gamma=\frac{E_0^r}{E_0^i}=\frac{\eta_2-\eta_1}{\eta_2+\eta_1}=\frac{n_1-n_2}{n_1+n_2}=\frac{\sqrt{\varepsilon_{r1}}-\sqrt{\varepsilon_{r2}}}{\sqrt{\varepsilon_{r1}}+\sqrt{\varepsilon_{r2}}}$ e $\tau=\frac{E_0^t}{E_0^i}=\frac{2\eta_2}{\eta_1+\eta_2}=1+\Gamma$ (identici a quelli delle linee, con $\eta\leftrightarrow Z_0$). Nel mezzo $1$ si ha un'onda parzialmente stazionaria: $|\bar E_1|=E_0^i\left|1+\Gamma e^{2jk_1z}\right|$, massimi $E_0^i(1+|\Gamma|)$ dove $\varphi_\Gamma+2k_1z_{MAX}=2N\pi$ (minimi del campo magnetico), minimi $E_0^i(1-|\Gamma|)$ dove $\varphi_\Gamma+2k_1z_{min}=(2N+1)\pi$, con $z\le0$ e $\lambda_1=\frac{c_0}{n_1f}$. Se $\Gamma>0$ ($n_1>n_2$) in $z=0$ c'è un massimo di $|E|$; se $\Gamma<0$ un minimo (primo massimo in $-\lambda_1/4$). Potenze: $S_i=\frac{|E_0^i|^2}{2\eta_1}$, $S_r=|\Gamma|^2S_i$, $S_t=\frac{|E_0^t|^2}{2\eta_2}=(1-|\Gamma|^2)S_i$.Riflessione e rifrazione tra due dielettrici →, Vettore di Poynting e potenza dell'onda pianail valor medio nel tempo del quadrato di una grandezza sinusoidale di fasore $E$ è $\langle e^2\rangle=\frac{|E|^2}2$ (per un vettore $\frac12\bar E\cdot\bar E^$). Il vettore di Poynting complesso è $\bar S=\frac12\bar E\times\bar H^$ (W/m²): la sua parte reale $\Re{\bar S}$ è la densità di potenza attiva media, con la direzione in cui l'onda trasporta potenza. Il bilancio di potenza dice che la potenza erogata dalle sorgenti uguaglia il flusso uscente più la potenza dissipata nei conduttori ($\frac12\int\sigma|\bar E|^2dv$) e nei dielettrici e materiali magnetici con perdite, più i termini reattivi. Per un'onda piana uniforme in un mezzo senza perdite $\bar S=\frac{|E_0|^2}{2\eta}\hat k=\frac{\eta|H_0|^2}{2}\hat k$ (reale: l'onda trasporta solo potenza attiva); nel vuoto $S=\frac{|E_0|^2}{2\cdot120\pi}$, quindi $1$ V/m corrisponde a $1{,}33$ mW/m². Con un'onda incidente e una riflessa il flusso netto è $\frac{|E_0^i|^2}{2\eta_1}(1-|\Gamma|^2)$.Vettore di Poynting e potenza dell'onda piana →, Onde piane uniformi - campi, impedenza intrinseca e velocitàlontano dalla sorgente il fronte d'onda sferico è approssimabile con un piano: onda piana uniformeonda con campo di uguale ampiezza e fase in tutti i punti di ogni piano perpendicolare alla propagazione, con $\bar E$ e $\bar H$ uniformi in ampiezza e fase su ogni piano $z=$ costante ($\partial_x=\partial_y=0$). Dall'equazione di Helmholtz $\frac{d^2E_x}{dz^2}+k^2E_x=0$ segue $E_x(z)=E_x^+e^{-jkz}+E_x^-e^{+jkz}$ (onda che va verso $+z$ e verso $-z$) e dalle equazioni di Maxwell $E_z=H_z=0$ (campi trasversaliperpendicolari alla direzione di propagazione) e $H_y=\frac{E_x}{\eta}$ (per l'onda verso $+z$), con impedenza intrinsecarapporto fra campo elettrico e campo magnetico di un'onda piana in un mezzo, misurato in ohm $\eta=\frac{\omega\mu}{k}=\sqrt{\frac\mu\varepsilon}$; nel vuoto $\eta_0=\sqrt{\frac{\mu_0}{\varepsilon_0}}=120\pi\approx377\ \Omega$. In forma vettoriale $\bar H=\frac{\hat k\times\bar E}{\eta}$, equivalente a $\bar E=\eta,\bar H\times\hat k$; $\bar E$, $\bar H$ e $\hat k$ sono a due a due ortogonali e $\bar E$ e $\bar H$ sono in faseche raggiungono massimi e zeri nello stesso istante nel tempo. Velocità di fase $v_f=\frac{\omega}{k}=\frac1{\sqrt{\mu\varepsilon}}$: nel vuoto $c_0\approx3\cdot10^8$ m/s, in un dielettrico non magnetico $v_f=\frac{c_0}{n}$ con $n=\sqrt{\varepsilon_r}$; $\lambda=\frac{2\pi}{k}=\frac{v_f}{f}=\frac{\lambda_0}n$; $\eta=\frac{\eta_0}{n}$.Onde piane uniformi - campi, impedenza intrinseca e velocità →.

Punti 1-5: onda incidente

1. $k_1=\dfrac{2\pi f\sqrt{\varepsilon_{r1}}}{c_0}=\dfrac{2\pi\cdot5\cdot10^9\cdot3}{3\cdot10^8}=\mathbf{100\pi}\ \text{rad/m}=314\ \text{rad/m}$.
2. $\lambda_1=\dfrac{2\pi}{k_1}=\dfrac{c_0}{f\sqrt{\varepsilon_{r1}}}=\dfrac{3\cdot10^8}{5\cdot10^9\cdot3}=\mathbf{2}$ cm.
3. $\eta_1=\dfrac{\eta_0}{\sqrt{\varepsilon_{r1}}}=\dfrac{120\pi}{3}=\mathbf{40\pi}\ \Omega=125{,}7\ \Omega$.
4. $\bar H_i(z)=\dfrac{\hat z\times\bar E_i}{\eta_1}=\dfrac{E_{0i}}{\eta_1}e^{-jk_1z}\hat y=\dfrac{1{,}5}{125{,}7}e^{-jk_1z}\hat y=\mathbf{11{,}94\,e^{-jk_1z}\hat y}$ mA/m (poiché $\hat z\times\hat x=\hat y$).
5. $S_i=\dfrac{|E_{0i}|^2}{2\eta_1}=\dfrac{2{,}25}{251{,}3}=\mathbf{8{,}95}$ mW/m$^2$ ($=\eta_1|H_{0i}|^2/2$).

Punti 6-10: riflessione e campi nel mezzo 1

6. $\Gamma=\dfrac{\eta_2-\eta_1}{\eta_2+\eta_1}=\dfrac{\sqrt{\varepsilon_{r1}}-\sqrt{\varepsilon_{r2}}}{\sqrt{\varepsilon_{r1}}+\sqrt{\varepsilon_{r2}}}=\dfrac{3-2}{3+2}=\mathbf{0{,}2}$ (reale e positivo, $\eta_2=60\pi$ e $\eta_1=40\pi$).
7. $\bar E_r(z)=\Gamma E_{0i}e^{+jk_1z}\hat x=\mathbf{0{,}3\,e^{+jk_1z}\hat x}$ V/m (il segno $+$ perché si propaga verso $-z$).
8. $\bar E_1(z)=E_{0i}\left[e^{-jk_1z}+\Gamma e^{+jk_1z}\right]\hat x=1{,}5\left[e^{-jk_1z}+0{,}2\,e^{+jk_1z}\right]\hat x$ V/m.
9. $\bar H_1(z)=\dfrac{E_{0i}}{\eta_1}\left[e^{-jk_1z}-\Gamma e^{+jk_1z}\right]\hat y=11{,}94\left[e^{-jk_1z}-0{,}2\,e^{+jk_1z}\right]\hat y$ mA/m (il segno meno: il campo magnetico riflesso ha verso opposto).
10. Densità di potenza media netta: $\Re\{\bar S_1\}=\dfrac{|E_{0i}|^2}{2\eta_1}\left(1-|\Gamma|^2\right)=8{,}95\cdot0{,}96=\mathbf{8{,}59}$ mW/m$^2$ (incidente meno riflessa: $S_r=0{,}04\cdot8{,}95=0{,}36$ mW/m$^2$).

Punti 11-16: massimi e minimi nel mezzo 1

Il modulo del campo elettrico è $|\bar E_1|=E_{0i}\left|1+\Gamma e^{+j2k_1z}\right|$. Con $\Gamma=0{,}2$ reale positivo:

11. Massimi di $|E|$ (minimi di $|H|$) per $e^{j2k_1z}=+1$, cioè $2k_1z_{MAX}=2N\pi$, $z_{MAX}=N\dfrac{\lambda_1}2=\mathbf{N}$ cm con $N=0,-1,-2,\dots$ (il mezzo 1 è $z<0$): sull'interfaccia $z=0$ c'è un massimo di $|E|$, perché $\Gamma>0$ (onda riflessa in fase).
12. Minimi di $|E|$ (massimi di $|H|$) per $2k_1z_{min}=(2N+1)\pi$, $z_{min}=(2N+1)\dfrac{\lambda_1}4=\mathbf{(2N+1)\cdot0{,}5}$ cm con $N=-1,-2,\dots$: $-0{,}5$; $-1{,}5$; $-2{,}5$ cm, ...
13. $|\bar E_1|_{MAX}=E_{0i}(1+\Gamma)=1{,}5\cdot1{,}2=\mathbf{1{,}8}$ V/m.
14. $|\bar H_1|_{min}=\dfrac{E_{0i}}{\eta_1}(1-\Gamma)=11{,}94\cdot0{,}8=\mathbf{9{,}55}$ mA/m (nei punti $z_{MAX}$).
15. $|\bar E_1|_{min}=E_{0i}(1-\Gamma)=1{,}5\cdot0{,}8=\mathbf{1{,}2}$ V/m.
16. $|\bar H_1|_{MAX}=\dfrac{E_{0i}}{\eta_1}(1+\Gamma)=11{,}94\cdot1{,}2=\mathbf{14{,}3}$ mA/m (nei punti $z_{min}$).

Punti 17-21: onda trasmessa

17. $k_2=\dfrac{2\pi f\sqrt{\varepsilon_{r2}}}{c_0}=\dfrac{2\pi\cdot5\cdot10^9\cdot2}{3\cdot10^8}=\mathbf{66{,}7\pi}$ rad/m $=209$ rad/m.
18. $\lambda_2=\dfrac{c_0}{f\sqrt{\varepsilon_{r2}}}=\dfrac{3\cdot10^8}{5\cdot10^9\cdot2}=\mathbf{3}$ cm.
19. $\bar E_t(z)=\tau E_{0i}e^{-jk_2z}\hat x$ con $\tau=1+\Gamma=1{,}2$: $\mathbf{1{,}8\,e^{-jk_2z}\hat x}$ V/m.
20. $\eta_2=\dfrac{120\pi}2=60\pi=188{,}5\ \Omega$: $\bar H_t(z)=\dfrac{1{,}8}{188{,}5}e^{-jk_2z}\hat y=\mathbf{9{,}55\,e^{-jk_2z}\hat y}$ mA/m.
21. $S_t=\dfrac{|E_{0t}|^2}{2\eta_2}=\dfrac{3{,}24}{377}=\mathbf{8{,}59}$ mW/m$^2$: uguale al flusso netto nel mezzo 1 (punto 10): la potenza si conserva ($S_t=S_i(1-|\Gamma|^2)$).

Punto 22: scambio dei mezzi ($\varepsilon'_{r1}=4$, $\varepsilon'_{r2}=9$)

• Punto 6: $\Gamma'=\dfrac{2-3}{2+3}=\mathbf{-0{,}2}$: il coefficiente di riflessione diventa negativo.
• Punto 11-12: ora in $z=0$ c'è un minimo di $|E|$ (e un massimo di $|H|$). Con $\lambda_1'=\dfrac{c_0}{f\cdot2}=3$ cm: i minimi di $|E|$ sono in $z'_{min}=N\dfrac{\lambda_1'}{2}=\mathbf{1{,}5\,N}$ cm ($N=0,-1,\dots$) e i massimi in $z'_{MAX}=(2N+1)\dfrac{\lambda_1'}4=\mathbf{0{,}75(2N+1)}$ cm ($N=-1,-2,\dots$).
• I valori dei moduli massimi e minimi sono gli stessi trovati prima ($1{,}8$ e $1{,}2$ V/m per il campo elettrico, perché $|\Gamma'|=|\Gamma|$); cambiano le densità di potenza per le impedenze scambiate ($\eta'_1=60\pi$, $\eta'_2=40\pi$): $S_i'=\dfrac{2{,}25}{2\cdot188{,}5}=5{,}97$ mW/m$^2$, e per la trasmessa $E_t'=\tau'E_{0i}=0{,}8\cdot1{,}5=1{,}2$ V/m, $S_t'=\dfrac{1{,}44}{2\cdot125{,}7}=\mathbf{5{,}73}$ mW/m$^2$ $=5{,}97\cdot(1-0{,}04)$. (La soluzione del corso riporta $4{,}78$ mW/m$^2$, che corrisponde a $5{,}97\cdot(1-0{,}2)$, cioè $1-|\Gamma|$ invece di $1-|\Gamma|^2$: il valore corretto è $5{,}73$.)

Errori comuni

• Usare $\lambda_0$ invece della lunghezza d'onda del mezzo ($\lambda_1=\lambda_0/3$, $\lambda_2=\lambda_0/2$) per le posizioni dei massimi.
• Dire che $\Gamma>0$ dà un minimo di campo elettrico sull'interfaccia: dà un massimo di $|E|$ (e un minimo di $|H|$).
• Calcolare la potenza trasmessa come $(1-|\Gamma|)S_i$: è $(1-|\Gamma|^2)S_i$.
• Dimenticare che $|E_t|=\tau E_{0i}=(1+\Gamma)E_{0i}$ e che l'impedenza nella potenza trasmessa è $\eta_2$, non $\eta_1$.