Antenne filiformi - dipolo corto e dipolo a mezz'onda

Il dipolo elementare (Dipolo elementare - campo irradiato e campo lontanoil dipolo elementare è un elemento di corrente $I$ costante, di lunghezza infinitesima $\Delta z$, posto nell'origine lungo $\hat z$: è la soluzione base da cui si ricavano i campi di qualsiasi antenna (per sovrapposizione). In coordinate sferiche $(R,\theta,\varphi)$ il campo è $\bar H=H_\varphi\hat\varphi$, $\bar E=E_\theta\hat\theta+E_R\hat R$. Nel campo lontano ($R\gg\lambda$): $E_\theta=\frac{j\eta kI\Delta z}{4\pi}\sin\theta,\frac{e^{-jkR}}{R}$, $E_R\approx0$, $H_\varphi=\frac{E_\theta}{\eta}$: onda sferica localmente piana, con $|E|\propto\frac{\sin\theta}{R}$. Densità di potenza media $S(R,\theta)=\frac{\eta k^2|I|^2\Delta z^2}{32\pi^2R^2}\sin^2\theta=S_0(R)\sin^2\theta$, con $S_{max}=S_0\approx15\pi\frac{|I|^2}{R^2}\left(\frac{\Delta z}{\lambda}\right)^2$ W/m². Potenza irradiata (attiva) $P_{rad}=\frac\pi3\eta|I|^2\left(\frac{\Delta z}{\lambda}\right)^2$ indipendente da $R$; la potenza reattiva decade come $\frac1{(kR)^3}$ ed è trascurabile se $R\gg\lambda$. Nel piano $xy$ ($\theta=90^\circ$) il dipolo irradia in modo uguale in tutte le direzioni (omnidirezionale), lungo l'asse $z$ non irradia.Dipolo elementare - campo irradiato e campo lontano →) è un'idealizzazione: una corrente costante su un filo infinitesimo, che in pratica non esiste (la corrente non può interrompersi con un valore non nullo). Le antenne reali sono fili di lunghezza finita, spesso pochi centimetri: si studiano sommando i contributi di dipoli elementari.

Antenne con distribuzione di corrente arbitraria

Un filo rettilineo di lunghezza $l$, lungo l'asse $z$ da $-\frac l2$ a $+\frac l2$, con corrente $I(z)$. Un elemento $I(z)dz$ in $z$ produce in un punto a distanza $s$ il campo infinitesimo (dal dipolo elementare, in campo lontanoregione a grande distanza dall'antenna dove l'onda è localmente piana)

$$dE_\theta=\frac{jk\eta}{4\pi}I(z)dz\sin\theta_s\frac{e^{-jks}}s,$$

e il campo totale è l'integrale lungo il filo. In campo lontano $s\approx R$ nel denominatore (non cambia l'ampiezza) e $\theta_s\approx\theta$, mentre nella fase serve un'approssimazione più fine perché varia su scala $\lambda$: $s\approx R-z\cos\theta$. Quindi

$$E_\theta=\frac{jk\eta}{4\pi}\sin\theta\,\frac{e^{-jkR}}R\int_{-l/2}^{l/2}I(z)\,e^{jkz\cos\theta}\,dz.$$

Il fattore davanti è l'onda sferica di un dipolo, l'integrale è l'integrale di radiazione.

La distribuzione di corrente

In un'antenna filiforme rettilinea sottile si assume che la corrente si distribuisca come in una linea di trasmissione aperta (corrente nulla agli estremi): ottima approssimazione, verificata con calcoli numerici. Si parte da $I(x)=I^+e^{-j\beta x}+I^-e^{+j\beta x}$ con $x$ la coordinata della linea, con $x=0$ all'estremo aperto e $x=-l/2$ al punto di alimentazione. Le condizioni sono $I(x=0)=0\Rightarrow I^+=-I^-$ e $I(x=-l/2)=I_0\Rightarrow I^+=\dfrac{I_0}{2j\sin(\beta l/2)}$, quindi

$$I(x)=I^+\left(e^{-j\beta x}-e^{j\beta x}\right)=-I_0\frac{\sin\beta x}{\sin(\beta l/2)}.$$

Passando alla coordinata $z$ dell'antenna ($x=|z|-\frac l2$ per qualsiasi $z$, con $z=0$ al centro dove c'è il generatore):

$$\boxed{I(z)=-I_0\frac{\sin\beta\left(|z|-l/2\right)}{\sin(\beta l/2)}}$$

valida per un'antenna di lunghezza qualsiasi. $\beta=\frac{2\pi}\lambda$.

Dipolo corto ($l\ll\lambda$)

È la realizzazione fisica del dipolo elementare: il generatore sta al centro (nel gappiccola interruzione al centro del dipolo dove viene collegato il generatore) e la corrente decade a zero agli estremi. Per $\beta l\ll1$, $\sin\beta x\approx\beta x$ e la distribuzione diventa lineare, triangolare:

$$I(z)\approx I_0\left(1-\frac{2|z|}l\right).$$

L'integrale di radiazioneintegrale della corrente pesata con la fase che dà il campo lontano di un'antenna con $e^{jkz\cos\theta}\approx1$ (perché $kz\le\frac{\pi l}{\lambda}\ll\pi$) vale $\int_{-l/2}^{l/2}I_0\left(1-\frac{2|z|}l\right)dz=I_0\frac l2$ (area del triangolo: base $l$, altezza $I_0$). Rispetto al dipolo elementare si ha $I\Delta z\to I_0\dfrac l2$: il dipolo corto genera lo stesso campo lontano di un dipolo elementare lungo $l$ con corrente $\frac{I_0}{2}$ (oppure lungo $\frac l2$ con corrente $I_0$):

$$E_\theta\approx\frac{j\eta I_0}{2\lambda}\cdot\frac l2\cdot\sin\theta\frac{e^{-jkR}}R=\frac{j\eta I_0\,l}{4\lambda}\sin\theta\frac{e^{-jkR}}R.$$

Il diagramma è $F=\sin^2\theta$ e la direttività $D=1{,}5$ (come il dipolo elementare). La potenza irradiata e la resistenza di radiazione si ottengono dalle formule del dipolo elementare con $\Delta z\to\frac l2$:

$$P_{rad}=\frac\pi3\eta|I_0|^2\left(\frac l{2\lambda}\right)^2,\qquad R_{rad}=\frac{2\pi}{3}\eta\left(\frac l{2\lambda}\right)^2=20\pi^2\left(\frac l\lambda\right)^2\ \Omega.$$

Nei problemi conta anche la proporzionalità: $P_{rad}\propto|I_0|^2$, $\propto\left(\frac l\lambda\right)^2$ (quindi $\propto l^2$ a frequenza fissata e $\propto f^2$ a lunghezza fissata). Se il testo dà il valore per un caso, il rapporto si ricava dalle proporzioni senza calcolare le costanti.

Esempio 1 (CB a 27 MHz). $l=70$ cm, $f=27$ MHz ($\lambda=11{,}11$ m), $I_0=100$ mA, rendimento $\xi=0{,}06$. $\frac l{2\lambda}=0{,}0315$: $P_{rad}=\frac\pi3\cdot376{,}7\cdot0{,}01\cdot(0{,}0315)^2=3{,}9$ mW; $P_t=\dfrac{P_{rad}}\xi=65$ mW; $R_{rad}=\frac{2\pi}3\cdot376{,}7\cdot(0{,}0315)^2=0{,}78\ \Omega$ e $R_{diss}=R_{rad}\dfrac{1-\xi}\xi=12{,}2\ \Omega$. Un'antenna corta irradia male per due motivi: il piccolo rapporto $l/\lambda$ e il rendimento di solito basso (la resistenza di radiazione è molto più piccola di quella dissipata).

Esempio 2 (proporzionalità). Un dipolo cortoantenna filiforme molto più corta della lunghezza d'onda, con corrente triangolare con $l=2$ cm, $I=100$ mA a $300$ MHz irradia $0{,}39$ mW. Con $l'=4$ cm (stessa $I$ e $f$) la potenza è $\left(\frac{l'}l\right)^2=4$ volte: $1{,}56$ mW. Se la corrente passa da $100$ a $50$ mA: $\left(\frac{50}{100}\right)^2=\frac14$: da $6{,}32$ mW a $1{,}58$ mW.

Esempio 3 (classificazione). Un'antenna filiforme lunga $0{,}5$ cm a $3$ GHz ($\lambda=10$ cm): $\frac l\lambda=0{,}05\ll1$: è un dipolo elementare (corto). A $1$ GHz un dipolo lungo $15$ cm ($\lambda=30$ cm) è a mezz'onda; a $10$ MHz ($\lambda=30$ m) lo stesso filo è corto.

Dipolo a mezz'onda ($l=\lambda/2$)

Con $\beta l/2=\pi/2$: $I(z)=-I_0\sin\left(\beta|z|-\frac\pi2\right)=I_0\cos\beta z$, distribuzione cosinusoidale (massima al centro). L'integrale di radiazione non è banale e se ne forniscono i risultati: diagramma $F(\theta)=\left[\dfrac{\cos\left(\frac\pi2\cos\theta\right)}{\sin\theta}\right]^2$ (poco diverso da $\sin^2\theta$, con apertura a metà potenza $78^\circ$ invece di $90^\circ$), direttività $D\simeq1{,}64$ ($2{,}15$ dB), resistenza di radiazione $R_{rad}\simeq72\ \Omega$ (vicina all'impedenza dei cavi usuali: facile da adattare), rendimento tipicamente alto (per esempio a $2{,}441$ GHz, antenna di WiFirete locale senza fili che usa le microonde a 2,4 GHz lunga circa $5$ cm: $\xi=0{,}976$, $R_{diss}=1{,}77\ \Omega$).

Esempio 4 (la stessa antenna a due frequenze). Dipolo lungo $15$ cm con $|I_0|=50$ mA. A $1$ GHz è a mezz'ondalunga metà della lunghezza d'onda ($\lambda=30$ cm): $P_{rad}=\frac12R_{rad}|I_0|^2=\tfrac12\cdot72\cdot0{,}05^2=90$ mW. A $10$ MHz ($\lambda=30$ m, $l/\lambda=0{,}005$) è corta: $P_{rad}=\frac\pi3\eta|I_0|^2\left(\frac{l}{2\lambda}\right)^2=394{,}5\cdot0{,}0025\cdot(0{,}0025)^2=6{,}2\ \mu$W: circa quindicimila volte meno (con la stessa corrente), perché la resistenza di radiazione scende da $72\ \Omega$ a $R_{rad}=20\pi^2(0{,}005)^2=4{,}9\ \text{m}\Omega$: a bassa frequenza una corrente data su un'antenna corta irradia pochissima potenza.

Antenne più lunghe di $\lambda/2$

Per la direttività non conviene allungare l'antenna oltre $\lambda/2$. Per $l\approx\lambda$ la corrente in ingresso tende a zero (la formula dà $\sin\beta l/2=\sin\pi=0$): l'impedenza di ingresso diventa molto alta, difficile da adattare. Per $l>\lambda$ compaiono tratti di corrente negativa (in opposizione di fase rispetto alla corrente iniettata) che producono campi che si sottraggono (interferenza distruttivasovrapposizione di onde in opposizione di fase che si sottraggono): il campo lontano risulta distorto, con lobi laterali.

Effetto suolo

Il calcolo del campo irradiato suppone l'antenna in un mezzo infinito, omogeneo e senza perdite. In realtà le antenne sono installate su un palo o sul tetto. Si usa lo stesso risultato se si ipotizza che il suolo sia un conduttore perfetto: la presenza di un piano conduttore non modifica il campo se $\bar E_\theta$ è normale al piano e $\bar H_\varphi$ tangente (condizioni di conduttore perfetto, Riflessione su un buon conduttore e su un conduttore perfettoper incidenza normale da un dielettrico (impedenza $\eta_1$) su un buon conduttore ($\sigma_2\gg\omega\varepsilon_2$) l'onda trasmessa è $E_0^te^{-\alpha_2z}e^{-j\beta_2z}$ con $\alpha_2=\beta_2=\sqrt{\pi f\mu_2\sigma_2}$ e impedenza $\eta_{c2}=R_{s2}(1+j)$, $R_{s2}=\sqrt{\frac{\pi f\mu_2}{\sigma_2}}$; il coefficiente di riflessione è $\Gamma=\frac{\eta_{c2}-\eta_1}{\eta_{c2}+\eta_1}$, con modulo vicinissimo a $1$ ($R_s\ll\eta_1$): per $\sigma=10^7$ S/m e $f=10$ GHz $R_s=0{,}063\ \Omega$ e viene riflesso il $99{,}93%$ della potenza; a frequenze ottiche ($2\cdot10^{14}$ Hz) $R_s=8{,}9\ \Omega$ e si riflette solo il $91%$ (si perde circa il $10%$ a ogni riflessione). Per il conduttore perfetto ($\sigma\to\infty$, $\delta_s=0$): $\Gamma=-1$, $E_0^t=0$, $E_0^r=-E_0^i$, il campo magnetico tangente raddoppia ed è la corrente superficiale: $|J_S|=\frac{2E_0^i}{\eta_1}$. Nel mezzo $1$ l'onda è puramente stazionaria: $\bar E_1=-2j\hat xE_0^i\sin k_1z$, $\bar H_1=2\hat y\frac{E_0^i}{\eta_1}\cos k_1z$; nodi di $E$ (ventri di $H$) in $z=-N\frac{\lambda_1}2$ (compresa l'interfaccia), ventri di $E$ (nodi di $H$) in $z=-(2N+1)\frac{\lambda_1}4$.Riflessione su un buon conduttore e su un conduttore perfetto →). Quindi il campo irradiato sopra il suolo da un'antenna filiforme di lunghezza $L/2$ posta sul piano conduttore coincide con quello irradiato da un'antenna di lunghezza $L$ in un mezzo uniforme (la parte immagine è fornita dal riflesso nel suolo). Per esempio un'antenna verticale lunga $\lambda/4$ su un piano di massa irradia sopra il piano come un dipolo a mezz'ondadipolo lungo mezza lunghezza d'onda, con corrente cosinusoidale. Le antenne ad aperturaantenne come le parabole, che irradiano da una superficie aperta, molto direttive e ben puntate, si possono considerare in un mezzo omogeneo (effetto suoloinfluenza del terreno sul campo irradiato, tipicamente schematizzato come piano conduttore trascurabile).

Applicazioni e antenne planari

• CB (27 MHz): dipolo corto, poco efficiente.
• WiFi (2,441 GHz): mezz'onda di circa 5 cm, facile da costruire con un cavo coassiale; efficienza elevata.
• Antenne planari (patch): nei telefoni se ne integrano molte (mezz'onda) per le diverse bande: 900 MHz e 1,8 GHz (telefonia), GPS (1,575 GHz), WiFi (2,4 GHz). I loro principi di funzionamento sono simili a quelli dei fili.

Errori comuni

• Usare per il dipolo corto $\frac l\lambda$ al posto di $\frac l{2\lambda}$ nella formula di $P_{rad}$ (la corrente triangolare vale in media $\frac12I_0$). Nota. Se un testo dà la potenza di riferimento per il caso elementare ($\Delta z$, corrente costante), il rapporto fra due casi si fa con $\left(\Delta z/\lambda\right)^2$ in modo coerente.
• Dire che un'antenna più lunga è sempre più direttiva: oltre $\lambda/2$ non migliora, può peggiorare.
• Dimenticare che per un'antenna corta $R_{rad}\ll R_{diss}$: il rendimento è basso.
• Confondere $l$ (lunghezza totale) con $\frac l2$ (lunghezza di un braccio).