Potenza sulla linea e legame con il generatore

Potenza complessa e potenza attiva

In un punto $-l$ della linea la potenza complessanumero complesso la cui parte reale è la potenza attiva e la parte immaginaria la potenza reattiva è $P_C=\tfrac12V(-l)I^*(-l)$. Con $V=V^+e^{j\beta l}(1+\Gamma)$ e $I=\dfrac{V^+}{Z_0}e^{j\beta l}(1-\Gamma)$, dove $\Gamma=\Gamma(-l)$, i fattori di faseangolo che indica a che punto del ciclo si trova una grandezza sinusoidale $e^{j\beta l}$ si elidono nel prodotto $VI^*$ e resta

$$P_C=\frac12\frac{|V^+|^2}{Z_0}(1+\Gamma)(1-\Gamma^*)=\frac12\frac{|V^+|^2}{Z_0}\left(1-|\Gamma|^2+\Gamma-\Gamma^*\right)=\frac12\frac{|V^+|^2}{Z_0}\left[1-|\Gamma|^2+2j\,\mathrm{Im}\,\Gamma\right].$$

La parte reale è la potenza attiva (media):

$$\boxed{P_A=\frac12\frac{|V^+|^2}{Z_0}\left(1-|\Gamma_L|^2\right)=\underbrace{\frac12\frac{|V^+|^2}{Z_0}}_{P_{inc}}-\underbrace{\frac12\frac{|V^-|^2}{Z_0}}_{P_{rifl}}}$$

È la differenza fra la potenza trasportata dall'onda incidente e quella riportata indietro dall'onda riflessa, e non dipende dalla posizione: in una linea senza perditelinea ideale con resistenza e conduttanza nulle, in cui la potenza attiva si conserva la potenza attivapotenza media effettivamente dissipata o trasferita, misurata in watt si conserva in ogni punto. La parte immaginaria, la potenza reattivapotenza che oscilla avanti e indietro tra campo e sorgente senza essere dissipata $Q=\dfrac{|V^+|^2}{Z_0}|\Gamma|\sin(\varphi_L-2\beta l)$, invece cambia lungo la linea. Il fattore $\tfrac12$ nella potenza attiva compare perché le ampiezze sono di picco: nel dominio del tempo $v(t)i(t)$ contiene un termine $\cos^2$ la cui media è $\tfrac12$ (l'esempio più semplice: $\langle V_0^2\cos^2\omega t\rangle/Z_0=\tfrac12V_0^2/Z_0$).

Conseguenze utili.

• Sul carico: tutta la potenza attiva viene assorbita dalla parte resistiva. Per $Z_L=R_L+jX_L$ in serie $P_A=\tfrac12R_L|I_L|^2$, quindi $|I_L|=\sqrt{2P_A/R_L}$ e $|V_L|=|Z_L||I_L|$. Per un carico in parallelo ($Y_L=G_L+jB_L$) $P_A=\tfrac12G_L|V_L|^2$. Attenzione: la conservazione della potenza dà solo i moduli, non le fasi.
• Nei massimi di tensione l'impedenza è $SZ_0$ e $P_A=\dfrac{|V|_{max}^2}{2SZ_0}$; nei minimi l'impedenza è $Z_0/S$ e $P_A=\dfrac{|V|_{min}^2S}{2Z_0}$. Perciò

$$|V|_{max}=\sqrt{2P_AZ_0S},\quad|V|_{min}=\sqrt{\frac{2P_AZ_0}{S}},\quad|I|_{max}=\sqrt{\frac{2P_AS}{Z_0}},\quad|I|_{min}=\sqrt{\frac{2P_A}{SZ_0}}.$$

Il rapporto $|V|_{max}/|V|_{min}=S$ conferma la definizione.

Quanta potenza passa. La frazione di potenza incidente che arriva al carico è $\dfrac{P_A}{P_{inc}}=1-|\Gamma|^2=\dfrac{4S}{(1+S)^2}$.

Il legame con il generatore

Finora $V^+$ era un dato. Dipende in realtà dal generatore (tensione a vuototensione del generatore quando non è collegato a nessun carico $V_g$, impedenza internaimpedenza in serie al generatore ideale di tensione $Z_g$) e da tutto ciò che sta a destra: la linea lunga $L$ e il carico. Il generatore è collegato in $z=-L$. L'impedenza che vede è $Z_{in}=Z(-L)=Z_0\dfrac{1+\Gamma(-L)}{1-\Gamma(-L)}$ con $\Gamma(-L)=\Gamma_Le^{-j2\beta L}$. Il partitore di tensionecircuito di due impedenze in serie che divide la tensione in proporzione ai loro valori fra $Z_g$ e $Z_{in}$ dà la tensione ai morsetti:

$$V(-L)=V_g\frac{Z_{in}}{Z_g+Z_{in}}=V_g\frac{Z_0\left(1+\Gamma(-L)\right)}{Z_g\left(1-\Gamma(-L)\right)+Z_0\left(1+\Gamma(-L)\right)}.$$

D'altra parte $V(-L)=V^+e^{j\beta L}(1+\Gamma(-L))$. Uguagliando le due espressioni (il fattore $1+\Gamma(-L)$ si semplifica):

$$\boxed{V^+=V_g\,e^{-j\beta L}\,\frac{Z_0}{Z_g\left(1-\Gamma(-L)\right)+Z_0\left(1+\Gamma(-L)\right)}}$$

Così l'onda che va verso il carico dipende dal generatore, dalla lunghezza $L$ e anche dal carico (attraverso $\Gamma(-L)$). Il motivo: un generatore sinusoidale è acceso da $t=-\infty$; l'onda emessa si riflette sul carico, torna al generatore, si riflette ancora (se $Z_g\neq Z_0$) e così via: $V^+$ è la somma di infinite onde dirette al carico e $V^-$ di infinite onde dirette al generatore.

Generatore adattato alla linea ($Z_g=Z_0$). Il denominatore diventa $Z_0\left[(1-\Gamma)+(1+\Gamma)\right]=2Z_0$ e la dipendenza dal carico sparisce:

$$V^+=\frac{V_g}{2}e^{-j\beta L},\qquad|V^+|=\frac{|V_g|}{2}.$$

Non ci sono riflessioni multipleonda che rimbalza più volte fra carico e generatore quando entrambi sono disadattati: l'onda riflessa dal carico arriva al generatore e vi viene assorbita da $Z_g$. La potenza attiva disponibile in linea è

$$P_A=\frac12\frac{|V_g|^2}{4Z_0}\left(1-|\Gamma_L|^2\right)=\frac{|V_g|^2}{8Z_0}\left(1-|\Gamma_L|^2\right),$$

e con il carico adattato ($\Gamma_L=0$) raggiunge il massimo $\dfrac{|V_g|^2}{8Z_0}$, detto potenza disponibilemassima potenza che il generatore può trasferire, quando il carico è adattato del generatore. Dopo aver inserito un adattatoretratto di linea o elemento che rende nulla la riflessione sul carico senza dissipare potenza senza perdite la potenza che arriva al carico aumenta fino a questo valore: l'aumento è dovuto solo al fatto che la potenza riflessa è diventata nulla (Adattatore a quarto d'ondaun adattatore a quarto d'ondatratto di linea lungo un quarto di lunghezza d'onda che trasforma l'impedenza del carico è un tratto di linea lungo $\lambda/4$ e con impedenza caratteristica $Z_{01}$, inserito fra la linea ($Z_0$) e un carico resistivo $R$: l'impedenza vista a monte è $Z_{in}=\frac{Z_{01}^2}{R}$, quindi per avere $Z_{in}=Z_0$ si sceglie $Z_{01}=\sqrt{Z_0R}$ ($\Gamma_{in}=0$, adattamento di uniformità). Con carico complesso lo si inserisce in un punto dove l'impedenza è reale: nel massimo di tensione ($Z=SZ_0$) con $Z_{01}=Z_0\sqrt S>Z_0$, oppure nel minimo ($Z=Z_0/S$) con $Z_{01}=Z_0/\sqrt S<Z_0$; i due punti distano $\lambda/4$ e la soluzione esiste sempre. A monte dell'adattatore $S=1$; fra adattatore e carico resta il $|\Gamma_L|$ originale; nell'adattatore il ROS vale $\sqrt S$ (e $|\Gamma|=\frac{\sqrt S-1}{\sqrt S+1}$). La potenza attiva disponibile sale a $\frac{|V_g|^2}{8Z_0}$ perché la potenza riflessa diventa nulla.Adattatore a quarto d'onda → e Stub e adattatore a singolo stubuno stub è uno spezzone di linea (stessa $Z_0$) chiuso in corto circuitocarico di impedenza nulla o in circuito aperto: ha impedenza puramente immaginaria, $z=j\tan\beta l$ (corto: induttiva per $l<\lambda/4$, capacitiva per $\lambda/4<l<\lambda/2$), $z=-j\cot\beta l$ (aperto: capacitiva per $l<\lambda/4$). Nei testi "stub" senza altro è a corto circuito. L'adattatore a singolo stub si collega in parallelo alla linea a distanza $d$ dal carico, dove l'ammettenza normalizzata vale $y(-d)=1+jb$; lo stub (di ammettenza $jb_s$ con $b_s=-b$) la riporta a $1$: $\Gamma=0$ a monte. Con $y_L=g+jb$ e $t=\tan\beta d$: $(|y_L|^2-g)t^2-2bt+(1-g)=0$ (due soluzioni per periodo $\lambda/2$). Lunghezza dello stub in corto: $-\cot\beta l=b_s$; in aperto: $\tan\beta l=b_s$. Nella carta di Smith: si passa a $y_L$ (punto opposto), si ruota in senso orario fino alla circonferenza $g=1$ (due punti, $d$ = differenza di lettura), si legge $b$, e la lunghezza dello stub si legge dal corto circuito (estremo sinistro) fino a $-b$.Stub e adattatore a singolo stub →).

Esempio 1: potenza e tensioni con generatore adattato

Un generatore con $V_g=10$ V e $Z_g=50\ \Omega$ alimenta a $f=300$ MHz ($\lambda=1$ m) una linea con $Z_0=50\ \Omega$ lunga $L=12{,}125$ m, chiusa su $Z_L=200-j100\ \Omega$.

• $z_L=4-j2$, $\Gamma_L=\dfrac{z_L-1}{z_L+1}=\dfrac{3-j2}{5-j2}=\dfrac{19-j4}{29}=0{,}655-j0{,}138$, quindi $|\Gamma_L|=0{,}6695$ e $S=\dfrac{1+0{,}6695}{1-0{,}6695}=5{,}05$.
• Potenza attiva: $P_A=\dfrac{10^2}{8\cdot50}\left(1-0{,}6695^2\right)=0{,}25\cdot0{,}5518=137{,}9$ mW.
• Tensione sul carico: $|V^+|=\tfrac{10}{2}=5$ V (generatore adattatogeneratore con impedenza interna uguale a quella caratteristica della linea), $|V_L|=|V^+||1+\Gamma_L|=5\cdot|1{,}655-j0{,}138|=5\cdot1{,}661=8{,}3$ V.
• Massimo del modulo di corrente (nei minimi di tensione): $|I|_{max}=\sqrt{\dfrac{2P_AS}{Z_0}}=\sqrt{\dfrac{2\cdot0{,}1379\cdot5{,}05}{50}}=0{,}167$ A $=167$ mA.
• Con un adattatore senza perdite: la potenza dissipata sul carico sarebbe $\dfrac{10^2}{8\cdot50}=250$ mW.

Esempio 2: carico complesso, potenza e modulo di $V_L$ senza usare le fasi

Stessi dati del generatore ma $Z_L=50-j100\ \Omega$ e $L=16{,}125$ m. $z_L=1-j2$, $\Gamma_L=\dfrac{-j2}{2-j2}=0{,}5-j0{,}5=0{,}707\,e^{-j45^\circ}$. $P_A=\dfrac{10^2}{400}\left(1-\tfrac12\right)=125$ mW. Poiché $R_L=50\ \Omega$: $|I_L|=\sqrt{\dfrac{2\cdot0{,}125}{50}}=70{,}7$ mA e $|V_L|=|Z_L||I_L|=111{,}8\cdot0{,}0707=7{,}9$ V. Per avere anche le fasi serve l'equazione completa: $V^+=\dfrac{10}2e^{-j\beta L}=5e^{-j2\pi\cdot16{,}125}=5e^{-j\pi/4}$ V (la parte intera dei metri non conta, solo $0{,}125\lambda$), $V_L=V^+(1+\Gamma_L)=5e^{-j45^\circ}\cdot1{,}58e^{-j18{,}4^\circ}=7{,}9\,e^{-j63{,}4^\circ}$ V e $I_L=\dfrac{V^+(1-\Gamma_L)}{Z_0}=\dfrac{5e^{-j45^\circ}\cdot0{,}707e^{j45^\circ}}{50}=70{,}7\ \text{mA}\ \angle0^\circ$. Verifica: $V_L/I_L=\dfrac{7{,}9\,e^{-j63{,}4^\circ}}{0{,}0707}=111{,}8\,e^{-j63{,}4^\circ}=50-j100\ \Omega$, cioè proprio $Z_L$.

Errori comuni

• Dimenticare il fattore $\tfrac12$ nella potenza attiva (le ampiezze sono di picco).
• Usare $P_A=\frac12|V_L|^2/Z_0$ sul carico: sul carico $P_A=\frac12R_L|I_L|^2$ con $R_L$ la parte resistiva di $Z_L$, non $Z_0$.
• Pensare che $V^+$ dipenda solo dal generatore: se $Z_g\ne Z_0$ dipende anche dal carico (riflessioni multiple).
• Ricavare le fasi dalla conservazione della potenza: dà solo i moduli.
• Con $Z_g=Z_0$, usare $|V^+|=|V_g|$ invece di $|V_g|/2$.