Esercizio 30guadagno, direttività, rendimento, area efficace e campo irradiato (temi d'esame ed esercitazione 3)

---

Teoria usata: Parametri d'antenna - diagramma, direttività, guadagno e resistenza di radiazionel'intensità di radiazione normalizzata $F(\theta,\varphi)=\frac{S(R,\theta,\varphi)}{S_{MAX}}$ (a $R$ fissata) dà il diagramma di radiazionegrafico dell'intensità di radiazione normalizzata in funzione degli angoli (lobo principale, lobi secondari; in dB $F_{dB}=10\log_{10}F$); per il dipolo elementare $F=\sin^2\theta$. La direttività è $D=\frac{F_{MAX}}{F_{av}}=\frac{4\pi}{\iint_{4\pi}F,d\Omega}=\frac{4\pi R^2S_{MAX}}{P_{rad}}\ge1$ ($D=1$ antenna isotropa; dipolo elementare $D=1{,}5=1{,}76$ dB). Il guadagno è $G=\frac{4\pi R^2S_{MAX}}{P_t}$ con $P_t$ potenza di alimentazione e il rendimento $\xi=\frac{P_{rad}}{P_t}$, per cui $G=\xi D$. Nel circuito equivalente $P_{rad}=\frac12R_{rad}|I|^2$, $P_t=\frac12(R_{rad}+R_{diss})|I|^2$, $\xi=\frac{R_{rad}}{R_{rad}+R_{diss}}$. Dal guadagno: $S_{MAX}=\frac{GP_t}{4\pi R^2}$ e $|E_{MAX}|=\frac1R\sqrt{\frac{\eta GP_t}{2\pi}}=\frac{\sqrt{60,G,P_t}}{R}$ (nel vuoto). Dipolo elementare/corto: $D=1{,}5$; dipolo a mezz'onda: $D\simeq1{,}64$, $R_{rad}=72\ \Omega$.Parametri d'antenna - diagramma, direttività, guadagno e resistenza di radiazione →, Area efficace, antenne a parabola e formula di Friisl'area efficace di un'antenna ricevente è $A_e=\frac{P_{rec}}{S_i}$ (potenza ricevuta nelle condizioni di massimo diviso la densità di potenza incidente $S_i=\frac{|E_i|^2}{2\eta}$), quindi $P_{rec}=A_eS_{MAX}=A_e\frac{GP_t}{4\pi R^2}$. Per il teorema di reciprocitàscambiando generatore e carico in un sistema lineare la corrente letta resta la stessa $\frac{A_e}{G}$ è una costante indipendente dall'antenna: $A_e=\frac{G\lambda^2}{4\pi}$. Ne segue la formula di Friis $P_{rec}=P_tG_TG_R\left(\frac{\lambda}{4\pi R}\right)^2$ (puntamento ottimale, adattamento in potenza e in polarizzazione, spazio libero), con attenuazione di spazio liberofattore quadrato di quattro pi R diviso lambda che riflette la diluizione della potenza su una sfera $A_{sl}=\left(\frac{4\pi R}\lambda\right)^2$; in dB $P_{rec}=P_t+G_T+G_R-A_{sl}$. Antenne filiformi: $G$ quasi indipendente da $\lambda$ ($A_e\propto\lambda^2$); antenne ad aperturaantenne come le parabole, il cui comportamento dipende dall'area della bocca (parabole): $A_e=\xi_G\frac{\pi d^2}{4}$ indipendente da $\lambda$ e $G=\xi_G\left(\frac{\pi d}\lambda\right)^2\propto\frac{1}{\lambda^2}$. Quindi con due filiformi $P_{rec}\propto\lambda^2$, con due parabole $P_{rec}\propto\lambda^{-2}$, con una filiforme e una parabola $P_{rec}$ non dipende da $\lambda$; per le parabole $P_{rec}\propto d_T^2d_R^2$.Area efficace, antenne a parabola e formula di Friis →, Decibel e neper - attenuazioni e guadagniil decibel esprime un rapporto di potenze su scala logaritmica: guadagno $G_{dB}=10\log_{10}\frac{P_2}{P_1}$, attenuazione $A_{dB}=-10\log_{10}\frac{P_2}{P_1}=10\log_{10}\frac{P_1}{P_2}$; per rapporti di campi (o tensioni) $20\log_{10}$. Da ricordare: $\times2\leftrightarrow3$ dB, $\times4\leftrightarrow6$ dB, $\times10\leftrightarrow10$ dB, $\times100\leftrightarrow20$ dB, $\times1000\leftrightarrow30$ dB (e i loro inversi con segno meno); combinando: $13$ dB $\approx\times20$, $16$ dB $\approx\times40$, $27$ dB $\approx\times500$. Inversione: $\frac{P_2}{P_1}=10^{G_{dB}/10}$. Il neper misura l'attenuazione del campo: $e^{-\alpha L}$; poiché la potenza va come $e^{-2\alpha L}$, $A_{dB}=10\log_{10}e^{2\alpha L}=8{,}686,\alpha L$ ($1$ Np $=8{,}686$ dB). Livelli assoluti: dBW $=10\log_{10}\frac{P}{1\text{ W}}$, dBm $=10\log_{10}\frac{P}{1\text{ mW}}$; in un collegamento le grandezze in dB si sommano: $P_{rec,dB}=P_{t,dB}+G_{T,dB}+G_{R,dB}-A_{sl,dB}$.Decibel e neper - attenuazioni e guadagni →.

Formule. $G=\xi D$; $A_e=\dfrac{G\lambda^2}{4\pi}$; $|E_{MAX}|=\dfrac{\sqrt{60\,G\,P_t}}{R}$ (nel vuoto); $\xi=\dfrac{R_{rad}}{R_{rad}+R_{diss}}$; $G_{lin}=10^{G_{dB}/10}$.

1. Guadagno da area efficace

$\lambda=\dfrac{3\cdot10^8}{12\cdot10^9}=0{,}025$ m; $G=\dfrac{4\pi A_e}{\lambda^2}=\dfrac{4\pi\cdot0{,}002}{6{,}25\cdot10^{-4}}=40{,}2$, cioè $10\log_{10}40{,}2=\mathbf{16{,}0}$ dB (risposta d).

2. Campo da guadagno e potenza

$G=3$ dB $\to1{,}995\approx2$: $|E_{MAX}|=\dfrac{\sqrt{60\cdot2\cdot10}}{10}=\dfrac{\sqrt{1200}}{10}=\mathbf{3{,}46}$ V/m (risposta c). (Dalla densità di potenza: $S=\dfrac{GP_t}{4\pi R^2}=\dfrac{20}{1257}=15{,}9$ mW/m$^2$, $E=\sqrt{2\eta S}=3{,}46$ ✓.)

3. Guadagno dal campo

$G=\dfrac{(|E_{MAX}|R)^2}{60P_t}=\dfrac{(0{,}3\cdot100)^2}{60\cdot5}=\dfrac{900}{300}=\mathbf3$ (risposta b).

4. Potenza dal guadagno e dal campo

$G=6$ dB $=3{,}98$: $P_t=\dfrac{(|E_{MAX}|R)^2}{60G}=\dfrac{(0{,}1\cdot100)^2}{60\cdot3{,}98}=\dfrac{100}{238{,}9}=\mathbf{0{,}419}$ W (risposta d, $0{,}417$ W con $G=4$).

5. Direttività

$G=10^{0{,}9}=7{,}94$: $D=\dfrac G\xi=\dfrac{7{,}94}{0{,}8}=9{,}93$, cioè $10\log_{10}9{,}93=\mathbf{9{,}97}$ dB ($D_{dB}=G_{dB}-10\log_{10}\xi=9+0{,}97$).

6. Resistenza di radiazione

$\xi=\dfrac{R_{rad}}{R_{rad}+R_{diss}}\Rightarrow R_{rad}=R_{diss}\dfrac\xi{1-\xi}=0{,}15\cdot\dfrac{0{,}95}{0{,}05}=\mathbf{2{,}85\ \Omega}$.

7. Potenza di alimentazione

$G=3{,}98$: $P_t=\dfrac{(0{,}2\cdot100)^2}{60\cdot3{,}98}=\dfrac{400}{238{,}9}=\mathbf{1{,}67}$ W.

8. Area efficace

$\lambda=\dfrac{3\cdot10^8}{6\cdot10^9}=0{,}05$ m; $G=D\xi=10^{1{,}9}=79{,}4$: $A_e=\dfrac{G\lambda^2}{4\pi}=\dfrac{79{,}4\cdot0{,}0025}{4\pi}=\mathbf{0{,}0158}$ m².

9. Guadagno di una parabola con la frequenza

Per un'antenna ad apertura $G\propto\dfrac1{\lambda^2}\propto f^2$ (con $A_e$ costante): raddoppiando la frequenza il guadagno quadruplica, cioè aumenta di $10\log_{10}4=6$ dB: $G_2=17+6=\mathbf{23}$ dB.

10. Rendimento da dB

$\xi=\dfrac GD=10^{(8-10)/10}=10^{-0{,}2}=\mathbf{0{,}63}$ (risposta c).

11. Area efficace da dB

$\lambda=\dfrac{3\cdot10^8}{3\cdot10^9}=0{,}1$ m; $G=10^{1{,}5}=31{,}6$: $A_e=\dfrac{31{,}6\cdot0{,}01}{4\pi}=\mathbf{0{,}0252}$ m² (risposta b).

12. Guadagno in dB dal campo

$G=\dfrac{(0{,}1\cdot100)^2}{60\cdot0{,}417}=\dfrac{100}{25{,}02}=4{,}0\to10\log_{10}4=\mathbf{6{,}0}$ dB (risposta a).

Errori comuni

• Usare $G$ in dB nella formula $\sqrt{60GP_t}$: va convertito in rapporto.
• Dimenticare il quadrato: $G=\dfrac{(ER)^2}{60P_t}$, e $P_t=\dfrac{(ER)^2}{60G}$.
• Confondere guadagno e direttività: $G=\xi D$ (con $\xi=0{,}8$ la direttività è maggiore del guadagno).
• Dire che il guadagno di una parabola non dipende dalla frequenza: $G\propto f^2$ (è l'area efficace a non dipenderne).